解题报告：P5960 【模板】差分约束算法（及常用技巧）

P5960 【模板】差分约束算法

差分约束系统
给出 n 个变量和 m 个约束条件，形如 xi−xj≤ckx_i - x_j \leq c_kxi−xj≤ck，你需要求出一组解，使得所有约束条件均被满足。
怎样解这个差分约束系统呢？我们将上面的不等式变形一下：xi≤xj+ckx_i \leq x_j + c_kxi≤xj+ck
容易发现这个形式和最短路中的三角形不等式 disv≤disu+wdis_v \leq dis_u + wdisv≤disu+w非常相似。
因此我们就将这个问题转化为一个求最短路的问题：比如对于上面这个不等式，我们从 j 向 i 连一条权值为 ckc_kck的边。接下来，我们再新建一个 0 号点，从 0 号点向其他所有点连一条权值为 0 的边。这个操作相当于新增了一个变量 x0x_0x0和 n 个约束条件：xi≤x0x_i \leq x_0xi≤x0，从而将所有变量都和 x0x_0x0这一个变量联系起来。
然后以 0 号点为起点，用 spfa 跑最短路。如果有负权环，差分约束系统无解。否则设从 0 号点到 i 号点的最短路为 disidis_idisi，则 xi=disix_i = dis_ixi=disi即为差分约束系统的一组可行解。

如上图，该图存在负环，如果一直沿着负环走，最短路径将会越来越小，最后到达−∞-∞−∞。
而此时的不等式就会出现矛盾，也就以为着没有正确的解

常用技巧

很多时候差分约束的条件并不是简单的小于等于号，这时候我们需要稍微做点变形。

如果有 xi−xj≥ckx_i - x_j \geq c_kxi−xj≥ck，则可以两边同时乘 −1，将不等号反转过来。
如果有 xi−xj=ckx_i - x_j = c_kxi−xj=ck，则可以把这个等式拆分为 xi−xj≤ckx_i - x_j \leq c_kxi−xj≤ck和 xi−xj≥ckx_i - x_j \geq c_kxi−xj≥ck两个约束条件，如果要求的是最值问题，那么我们应该统一符号，A=BA = BA=B改成A>=B,B>=AA>= B,B>= AA>=B,B>=A。

#include<map>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>using namespace std;const int N = 5007;
const int M = 50007;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int,int> PII;int n,m;
int ver[M],edge[M],nex[M],head[N],tot;
int dis[N],vis[N],cnt[N];void add(int x,int y,int z){ver[++tot] = y;edge[tot] = z;nex[tot] = head[x];head[x] = tot;
}bool spfa(int s){queue<int>q;memset(vis,0,sizeof vis);memset(dis,0x3f,sizeof dis);dis[s] = 0;vis[s] = 1;q.push(s);while(q.size()){int x = q.front();q.pop();vis[x] = 0;for(int i = head[x];i;i = nex[i]){int y = ver[i],z = edge[i];if(dis[y] > dis[x] + z){dis[y] = dis[x] + z;cnt[y] = cnt[x] + 1;if(cnt[y] >= n)return false;if(!vis[y]){vis[y] = 1;q.push(y);}}}}return true;
}int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i = 1;i <= n;++i)//建超级源点add(0,i,0);for(int i = 1;i <= m;++i){int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);add(y,x,z);//xi - xj ≤ k//j来更新i，所以j向i连一条权值为k的边}if(!spfa(0))puts("NO");else {for(int i = 1;i <= n;++i)printf("%d ",dis[i]);puts("");}return 0;
}

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