【数学】求一类数列的通项公式
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- 1. f(n)f(n)f(n) 为常数 ppp
- 1.1 p=1p = 1p=1
- 1.2 p≠1p \ne 1p=1
- 1.2.1 g(n)g(n)g(n) 非指数函数，为某常数 qqq
- 1.2.2 g(n)g(n)g(n) 非指数函数，为一次函数
- 1.2.3 g(n)g(n)g(n) 非指数函数，为二次函数
- 1.2.4 g(n)g(n)g(n) 为指数函数
- 2. f(n)f(n)f(n) 不为常数
求数列的通项公式，靠着列举->猜想->归纳法这三板斧，是远远不够的。不过我们能归纳总结出一类常见题型的解法——假设一种简单的递推关系，给出它的递推式如下，要求通项公式：
an=f(n)an−1+g(n)a_n = f(n) a_{n-1} + g(n)an=f(n)an−1+g(n)
我们针对 f(n),g(n)f(n), g(n)f(n),g(n) 的类型进行分类讨论：
- f(n)f(n)f(n) 为常函数，即某常数 ppp
- p=1p = 1p=1 ，用累加法
- p≠1p \ne 1p=1
- g(n)g(n)g(n) 非指数函数，用构造法
- g(n)g(n)g(n) 为常函数，即某常数 qqq
- g(n)g(n)g(n) 为一次函数
- g(n)g(n)g(n) 为二次函数
- g(n)g(n)g(n) 为指数函数，用同除法
- g(n)g(n)g(n) 非指数函数，用构造法
- f(n)f(n)f(n) 不为常函数
- g(n)=0g(n) = 0g(n)=0 ，用累乘法
1. f(n)f(n)f(n) 为常数 ppp
当 f(n)=p(p∈R)f(n) = p\ (p \in \R)f(n)=p (p∈R) 时，递推式变为：
an=pan−1+g(n)a_n = pa_{n - 1} + g(n)an=pan−1+g(n)
1.1 p=1p = 1p=1
当 p=1p = 1p=1 时，递推式变为：
an=an−1+g(n)a_n = a_{n - 1} + g(n)an=an−1+g(n)
不难发现，相邻两项 an,an−1a_n, a_{n - 1}an,an−1 之差为一个有规律的表达式 g(n)g(n)g(n) 。我们可用累加法计算数列的通项公式，不论 g(n)g(n)g(n) 是一个常函数还是其他函数。
【例1】已知 an=an−1+1n(n−1)(n>1)a_n = a_{n - 1} + \dfrac{1}{n (n - 1)} \ (n > 1)an=an−1+n(n−1)1 (n>1) ，a1=1a_1 = 1a1=1 ，求 ana_nan 。
解：用累加法计算：
an−an−1=1n(n−1)=1n−1−1nan−1−an−2=1(n−1)(n−2)=1n−2−1n−1…a2−a1=12=1−12\begin{aligned} a_n - a_{n - 1} &= \dfrac{1}{n (n - 1)} = \dfrac{1}{n-1}- \dfrac{1}{n} \\ a_{n - 1} - a_{n - 2} &= \dfrac{1}{ (n - 1)(n - 2)} = \dfrac{1}{n - 2}- \dfrac{1}{ n - 1}\\ &\dots \\ a_2 - a_1 &= \dfrac{1}{2} = 1 - \dfrac{1}{2} \end{aligned} an−an−1an−1−an−2a2−a1=n(n−1)1=n−11−n1=(n−1)(n−2)1=n−21−n−11…=21=1−21
将这一系列递推式的左右两边分别相加，得：
an−a1=1−1n(n>1)a_n - a_1 = 1 - \dfrac{1}{n}\ (n > 1)an−a1=1−n1 (n>1) 从而解得： an=2−1na_n = 2 - \dfrac{1}{n}an=2−n1
【例2】已知数列 {an}\{a_n\}{an} ，a1=−1a_1 = -1a1=−1 ，an+1=an−2n(n∈N∗)a_{n + 1}= a_n - 2^n\ (n \in \N^*)an+1=an−2n (n∈N∗) ，求 ana_nan 。
解：用累加法计算：
an−an−1=−2n−1an−1−an−2=−2n−2…a2−a1=−21=−2\begin{aligned} a_{n } - a_{n - 1} &= - 2^{n-1} \\ a_{n - 1} - a_{n - 2} &=-2^{n - 2}\\ &\dots \\ a_2 - a_1 &= -2^1 = -2 \end{aligned} an−an−1an−1−an−2a2−a1=−2n−1=−2n−2…=−21=−2
将这一系列递推式的左右两边分别相加，得：
an−a1=−(2n−1+2n−2+⋯+2)=2−2n(n>1)a_n - a_1 = -(2^{n - 1} + 2^{n - 2} + \dots + 2) = 2 - 2^n\ (n >1)an−a1=−(2n−1+2n−2+⋯+2)=2−2n (n>1) 从而解得： an=1−2na_n = 1 -2^{n}an=1−2n
1.2 p≠1p \ne 1p=1
现在讨论 g(n)g(n)g(n) 的四种常见表示形式。
1.2.1 g(n)g(n)g(n) 非指数函数，为某常数 qqq
当 g(n)=q(q∈R)g(n) = q\ (q \in \R)g(n)=q (q∈R) 时，递推式变为：
an=pan−1+qa_n = pa_{n - 1} + qan=pan−1+q
我们可用构造法（即不动点法）求其通项，方法简略如下：
- 首先构造一个 an+x=p(an−1+x)a_n + x = p(a_{n - 1} + x)an+x=p(an−1+x) ，解出 xxx ；
- 再令 bn=an+xb_n = a_n + xbn=an+x ，此时 xxx 已知；
- 因此 bn=pbn−1b_n = pb_{n - 1}bn=pbn−1 ，数列 {bn}\{ b_n\}{bn} 是首项为 b1=a1+xb_1 = a_1 + xb1=a1+x 、公比为 ppp 的等比数列；
- 解出 bnb_nbn ，再代入 bn=an+xb_n = a_n + xbn=an+x 即可得到 ana_nan 表达式。
示例见洛谷 P5743 【深基7.习8】猴子吃桃【递推/递归/数学】，以及求阿克曼函数 m=3m = 3m=3 时 f(3,n)f(3, n)f(3,n) 的通项公式。
1.2.2 g(n)g(n)g(n) 非指数函数，为一次函数
当 g(n)=qn+s(q,s∈R)g(n) = qn+ s\ (q, s\in \R)g(n)=qn+s (q,s∈R) 时，递推式变为：
an=pan−1+qn+sa_n = p a_{n - 1} +qn+ san=pan−1+qn+s
此时仍可用构造法，方法与1.2.1类似，构造出 an+xn+y=p(an−1+x(n−1)+y)a_n + xn + y = p(a_{n -1} + x(n - 1) + y)an+xn+y=p(an−1+x(n−1)+y) ，解出 x,yx, yx,y ，得到等比数列 {bn}\{b_n\}{bn} ，余下步骤相同。
1.2.3 g(n)g(n)g(n) 非指数函数，为二次函数
当 g(n)=qn2+sn+t(q,s,t∈R)g(n) = qn^2 + sn + t\ (q, s, t\in \R)g(n)=qn2+sn+t (q,s,t∈R) 时，递推式变为：
an=pan−1+qn2+sn+ta_n = p a_{n - 1} +qn^2+ sn + tan=pan−1+qn2+sn+t
此时仍可用构造法，方法与1.2.1类似，构造出 an+xn2+yn+z=p(an−1+x(n−1)2+y(n−1)+z)a_n + xn^2 + yn + z = p(a_{n -1} + x(n - 1)^2 + y(n - 1) + z)an+xn2+yn+z=p(an−1+x(n−1)2+y(n−1)+z) ，解出 x,y,zx, y, zx,y,z ，得到等比数列 {bn}\{b_n\}{bn} ，余下步骤相同。
1.2.4 g(n)g(n)g(n) 为指数函数
当 g(n)=qλn(q,λ∈R)g(n) = q\lambda^n\ (q, \lambda \in \R)g(n)=qλn (q,λ∈R) 时，递推式变为：
an=pan−1+qλna_n = pa_{n - 1} + q\lambda^nan=pan−1+qλn
此时：
若 p=λp = \lambdap=λ ，即 an=pan−1+qpna_n = p a_{n - 1} +qp^nan=pan−1+qpn ，不能用构造法求解，而用同除指数法，令两边同时除以 pnp^npn ，得：
anpn=an−1pn−1+q\dfrac{a_n}{p^n} = \dfrac{a_{n - 1}}{p^{n - 1}} + qpnan=pn−1an−1+q
再令 anpn=μn\dfrac{a_n}{p^n} = \mu_npnan=μn ，可得 μn=μn−1+q\mu_n = \mu_{n - 1} + qμn=μn−1+q 。进而用累加法求出数列 {μn}\{ \mu_n\}{μn} 的通项公式，也就求出了数列 {an}\{a_n\}{an} 的通项公式。若 p≠λp \ne \lambdap=λ ，既可用构造法，也可用同除指数法求出通项公式。构造法的步骤为——构造出 an+xλn=p(an−1+xλn−1)a_n + x\lambda^n = p(a_{n - 1} + x\lambda^{n - 1})an+xλn=p(an−1+xλn−1) ，解出 xxx 以构造等比数列，余下步骤相同。
2. f(n)f(n)f(n) 不为常数
为了简便，只讨论 g(n)=0g(n) = 0g(n)=0 时的情况。此时递推式为：
an=f(n)an−1a_n = f(n) a_{n - 1}an=f(n)an−1 显然，前后两项之商为一个有规律的表达式 f(n)f(n)f(n) ，于是可用累乘法求出通项公式。
注意，若 f(n)=pf(n) = pf(n)=p ，则该数列为等比数列，其通项公式也是用累乘法得出来的。
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