高三女生因高中数学知识的数列解题技巧没掌握与梦想大学失之交臂

一漂亮高三女生在走出考场的那一刻已是泪流满面，问其原因竟是高考数学考试有关数列的考题没有能够做对，估计考分达不到自己理想大学的要求，其实高中数学知识的数列知识解题是非常需要技巧的。为了帮助更多的芊芊学子能取得好成绩，本文就高中数学数列知识点及解题技巧做下总结。
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，故而在高考中占有重要地位。高考对本章的考查比较全面，一方面考查等差数列、等比数列的基础知识和基本技能；另一方面常和函数、不等式、方程、解析几何、立体几何等相关内容交汇在一起综合，加以导数和向量等新增内容，使数列题更有了施展的舞台。
一．高考大纲对数列要求　　近几年高考数学考试大纲没有变化，特别是 04、05、06要求都是一样的，对于《数列》一章的考试内容及考试要求为：(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项; (2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题; (3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
二．高考命题的回顾与展望　　高考对数列这一章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。
考查的重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等比等差数列的性质的灵活运用，这一部分主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿。
在选择题、填空题中突出了“小、巧、活”的三大特点，在解答题中以中等难度以上的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要内容，试题中往往体现了函数与方程，等价转化，分类讨论等重要的数学思想，以及待定系数法、配方法、换元法、消元法等基本数学方法。高三学生及家长必看:数学高效提分知识分享
第一,数列的要点总结
等差数列等比数列
定义
递推公式；；
通项公式（）
中项（）（）
前项和

重要性质

⑴等差、等比数列：
等差数列等比数列
定义
通项公式 =+（n-1）d=+（n-k）d=±d

求和公式

中项公式 A= 推广：2= 。推广：
性质 1 若m+n=p+q则若m+n=p+q，则。
2 若成A.P（其中）则也为A.P。若成等比数列（其中），则成等比数列。
3 ．成等差数列。成等比数列。
4 ，
5

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
②2()
③(为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
②(，)①
注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.
ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.
iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.
iv. 且→为a、b、c等比数列的充要.
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
③(为非零常数).
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.
⑷数列{}的前项和与通项的关系：
[注]： ①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差{}前n项和 →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；
②若等差数列的项数为2，则；
③若等差数列的项数为，则，且，
.
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
②
③
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…； 5，55，555，….
4. 等比数列的前项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款：
=.
⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.

数列常见的几种形式：
⑴（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程（对应，x对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.
⑵（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定.
①转化等差，等比：.
②选代法：
.
③用特征方程求解：.
④由选代法推导结果：.
几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：
一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.
判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证都成立。
在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
　　　3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+…+n =
2） 1+3+5+…+(2n-1) =
3）
4）
5）
6）
第二部分经典案例的阐述
掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题下面我们以案例的方式为大家具体讲解数列的一些解题技巧···
1、求通项公式
（1）观察法。（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数）
例1、已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。
例1、解 ∵an+1-an=2为常数 ∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列
∴an=1+2（n-1）即an=2n-1
例2、已知满足，而，求=？

（2）递推式为an+1=an+f（n）

例3、已知中，，求.
解：由已知可知
令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）

★说明只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。
(3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）
例4、中，，对于n＞1（n∈N）有，求.
解法一：由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）
因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4
∴an+1-an=4·3n-1 ∵an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3n-1 即 an=2·3n-1-1
解法二：上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an-1=4·3n-2，

把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1

(4)递推式为an+1=p an+q n（p，q为常数）

由上题的解法，得： ∴

(5)递推式为
思路：设,可以变形为：，
想
于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。

求。

(6)递推式为Sn与an的关系式

关系；（2）试用n表示an。

∴

∴ ∴
上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。
∴2nan= 2+（n-1）·2=2n

2．数列求和问题的方法
（1）、应用公式法
等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。

1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2

【例8】求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。
解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=个奇数，
∴最后一个奇数为：1+[n(n+1)-1]×2=n2+n-1
因此所求数列的前n项的和为

（2）、分解转化法
对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。
【例9】求和S=1·（n2-1）+ 2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2）
解 S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3）

（3）、倒序相加法
适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。
例10、求和：
解

∴ Sn=3n·2n-1
（4）、错位相减法
如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．
例11、求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．
解设Sn=1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1． ①

(2)x=0时，Sn=1．
(3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得 xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，②
①-②，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn．

(5)裂项法：
把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。
常见裂项方法：

例12、求和

注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。
在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。
二、常用数学思想方法
1．函数思想
运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。
【例13】等差数列{an}的首项a1＞0，前n项的和为Sn，若Sl=Sk（l≠k）问n为何值时Sn最大？

此函数以n为自变量的二次函数。∵a1＞0 Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函数的图像开口向下

∵ f（l）=f（k）

2．方程思想
【例14】设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q。
分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。
解 ∵依题意可知q≠1。
∵如果q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0与等比数列不符。
∵q≠1

整理得 q3（2q6-q3-1）=0 ∵q≠0

此题还可以作如下思考：
S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），
∴由S3+S6=2S9可得2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=0

3．换元思想
【例15】已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R+，且
求证：a，b，c顺次成等比数列。
证明依题意令ax=by=cz=k
∴x=1ogak，y=logbk，z=logck

∴b2=ac ∴a，b，c成等比数列（a，b，c均不为0）
通过以上高中数学数列知识点的总结及经典案例的讲解，相信你对数列知识有了更多的认识和理解，在今后的学习做题当中将会更加的得心应手，更多的知识要点，解题技巧关注百度百家号链接

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