【高等数学】去心邻域与邻域的意义

先来看看自变量趋于有限值时函数极限的定义（以下简称函数极限的定义）和函数连续性的定义：

自变量趋于有限值时函数极限的定义
设函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0的某一去心邻域内有定义
如果存在常数AAA，对于任意给定的正数ε\varepsilonε（不论它多么小），总存在正数δ\deltaδ，使得当xxx满足不等式0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta0<∣x−x0∣<δ时，对应的函数值f(x)f(x)f(x)都满足不等式∣f(x)−A∣<ε|f(x)-A|<\varepsilon∣f(x)−A∣<ε
那么常数AAA就叫做函数f(x)f(x)f(x)当x→x0x\rightarrow x_0x→x0时的极限
记作
lim⁡x→x0f(x)=A或f(x)→A(当x→x0)\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A或f(x)\rightarrow A(当x\rightarrow x_0) x→x0limf(x)=A或f(x)→A(当x→x0)

函数连续性的定义
设函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0的某一邻域内有定义
如果lim⁡Δx→0Δy=lim⁡Δx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0Δx→0limΔy=Δx→0lim[f(x0+Δx)−f(x0)]=0
那么就称函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0连续

由上述定义我们可以发现高亮标记所示的区别，为什么会有这样的区别呢？

1. 去心邻域与邻域

以x0x_0x0为中心的任何开区间称为点x0x_0x0的邻域，记作U(x0)U(x_0)U(x0)

在U(x0)U(x_0)U(x0)中去掉中心x0x_0x0后，称为点x0x_0x0的去心邻域，记作U∘(x0)\overset{\circ}{U}(x_0)U∘(x0)

由以上定义可知：去心邻域与邻域的区别在于是否包含中心点x0x_0x0。

2. 解释

函数极限要表达的是一种趋势，要的是逼近点x0x_0x0，因而与函数在点x0x_0x0处是否有定义无关，即不包含中心点x0x_0x0，所以选择去心邻域；
函数连续性要求函数在点x0x_0x0必须要有定义，否则在该点就是间断的，即包含中心点x0x_0x0，所以选择邻域。

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