信号与系统 chapter7 因果与非因果

“因果”这个词常常在佛教里提到，比如有因才有果，放在信号与系统里就是你有输入才有输出，但是在所有的系统中你有输入就一定有输出吗？又或者是你有输出但没有输入，这样的系统如何称呼？
此类系统称为非因果系统
学术界过去有一种观点是非因果系统在物理上是不可实现的，这个观点引起了好多人的争议，但因为时间轴是人为确定的，争论这个其实没有多少意义。
因果系统：

可以很明显的看到，两边的t没有对上，这两个式子是非因果系统

首先我们需要知道的是每一种初始状态对应一个零输入响应与一个零状态响应，我们可以看到，题目中给出了两个初始状态。
第一个初始状态为x(0)=1x(0)=1x(0)=1,设零状态响应为yzs1(t)y_{zs1}(t)yzs1(t),零输入响应为yz1(t)y_{z1}(t)yz1(t)，输入因果信号为f1(t)f_1(t)f1(t)，因为我们题目中都说了这是LTI因果系统，前面的线性性质就可以用在这里，第二个状态时x(0)=2x(0)=2x(0)=2，所以可得：
零输入响应：yz2(t)=2yz1y_{z2}(t)=2y_{z1}yz2(t)=2yz1
又输入信号为：f2(t)=3f1(t)f_{2}(t)=3f_{1}(t)f2(t)=3f1(t)
得到零状态响应yzs2(t)=3yzs1(t)y_{zs2}(t)=3y_{zs1}(t)yzs2(t)=3yzs1(t)
我们不难发现，零状态响应与输入紧密相关，千万不要搞混零状态与零输入，零输入是不用看输入信号的
这样我们就可以得到：

回归到题目里的要求，它让我们求零状态响应，那么我们这里就要得到yzs1y_{zs1}yzs1把它带入底下这个式子

你也可以理解这里的f(t)f(t)f(t)都是咱们刚才求出来的零状态响应
后面就按部就班的带入：

这里的计算值得注意的是求导要小心，按照阶跃函数→\rightarrow→冲激函数→\rightarrow→冲激偶函数，这个求导链来展开，不要忘记冲激函数旨在t=0t=0t=0时刻有值这一特性哦

最终结果如下：

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