信号与系统常见问题总结（1）

在做题中遇到的一些问题和解决方案。

信号与线性系统

1.三大变换的正变换和逆变换
2.变换的时候注意看是单边还是双边变换。
3.对信号进行基本的尺度变换的顺序，先平移，再反转，再压缩。
4.怎么判断系统的特性 --线性，时变，因果，稳定
- 1.判断线性的标准步骤
- 2.判断时变和时不变
- 3.因果性判断
- 4.稳定性判断
5.最小取样频率的求解
6.离散系统分析--z变换
7.连续系统分析--拉普拉斯变换
8.两道傅里叶变换的应用--带通滤波器。

1.三大变换的正变换和逆变换

首先是傅里叶变换，从傅里叶级数而来。

再是拉普拉斯变换，有双边和单边的区分
先看双边的

再看单边的拉普拉斯变换，区别主要在于积分区间。

最后是z变换，对离散信号处理的，从拉普拉斯变换变化而来

双边和单边的，形式上的区别在k

2.变换的时候注意看是单边还是双边变换。

所以结果是B不是C

3.对信号进行基本的尺度变换的顺序，先平移，再反转，再压缩。

经过如下的步骤就得到答案。

4.怎么判断系统的特性 --线性，时变，因果，稳定

先来看看这题的解题思路。

1.判断线性的标准步骤

直接理解：方程中没有y(t)或者f(t)之间乘积项或者平方项就是线性，我们研究的就是线性的系统。

上面线性，下面非线性
当然，我们还有更加精确的判断方法。

分别带入，相等就可以。

2.判断时变和时不变

直观上看就是y(t)和f(t)的系数中没有包含t的项，且y(t)和f(t)中t的系数为1。

第一个，第三个是时变，第二个是时不变。
精确的看就是给输入和输出分别带t-td,看最后结果是不是一样，大概是这样的意思，看例子理解一下下。

3.因果性判断

因果和非因果，从直观上来看就是，对于某个时刻，比如t=0，分别带入输出和输入信号，看输入信号内参数小于等于输出信号就可以，即响应在激励后面出现。

此时的输入和未来时刻输入有关。

k时刻的输出和k时刻及以前的时刻相关。

4.稳定性判断

假设输入信号有界，看输出信号有界就是稳定了。

输入信号有界，输出不一定有界，求导之后可能会发生改变。

输入有界，输出当然就有界了。

5.最小取样频率的求解

这里组合过后信号的最高频率是原来的两倍。

根据时域采样定理，最小取样频率要大于信号最高频率的两倍。
这里的难点就在于不知道怎么判断信号的最高频率。下面给出一些例子来判断。
时域收缩，频域展宽

时域乘积，频域卷积，频率相加

时域卷积，频域相乘，取最小的频率
所以这里是频率等于原频率。

时域相加，取最大的那个
这里是原来的两倍。

6.离散系统分析–z变换

其中冲激响应的z变换就是系统函数了，用到了z变换的单边信号移动的性质，注意一下，得到两部分分别是零输入和零状态。逆变换一下就好了。

7.连续系统分析–拉普拉斯变换

这里的问题就在于自由响应和强迫响应，就是齐次解和特解的区别，零输入为齐次解，零状态为齐次解和特解加起来。
然后阶跃响应，用时域卷积等于频域乘积的性质来计算就好了，这两个题目多算就好一点。

还有一个就是裂项的小技巧，类似这样，用先乘对应项，带入极点，就可以得到系数。

8.两道傅里叶变换的应用–带通滤波器。

都是相同的思路。利用傅里叶变换转换到频域解决这些问题。
1.对称性求解傅里叶变换。
2.时域乘积等于频域卷积求解变换。
3.冲激函数的卷积特性。

先看第一题的解法

第二道题