国赛培训——最优化智能算法——模拟退火
文章目录
- 引入
- 1.1：模拟退火与蒙特卡洛模拟的区别
- 1.2：爬山法与模拟退火法的区别
- 1.3：基于爬山法的解决方案
- 2：模拟退火算法
- 2.1 算法流程
- 2.2 C_t的设置
- 2.3 时间t的实现与停止搜索的条件
- 2.4 如何产生新解（最关键，可通过查询论文或自己制定）
- 3. 例题学习
- 3.1 含上下界约束的规非线性划问题
- 3.2 旅行商问题（无指定起点）
- 3.2 旅行售货员(TSP)问题 （有起点限制）
- 3.3 书店买书问题
- 3.4 背包问题
- Reference
引入
1.1：模拟退火与蒙特卡洛模拟的区别
1.1 蒙特卡洛模拟：
① 随机生成多组解–>② 验证是否满足约束条件–>③ 将满足约束条件的加入“可行集”中，并计算出可行集中每个解对应的目标函数值–>④ 找出最优解
1.2 区别
①蒙特卡洛模拟法在搜索过程中不改进搜索策略，称为盲目搜索。
②启发式搜索算法会利用中间信息改进搜索策略。
1.2：爬山法与模拟退火法的区别
2.1 爬山法：
① 在解空间随机生成一个初始解
② 向左右邻域走一步，比较大小选择移动方向
③ 不断重复步骤，直到找到一个极大值点
缺点：容易找到局部最优解（找到不符合优化目标的就退出循环）
1.3：基于爬山法的解决方案
为了解决爬山法容易找到局部最优解的情况，设定概率p(0<p<1)，表示接受非当前优化目标解的概率。
（1）f(xi)与f(xj)越接近，概率p越大
（2）接受新解的概率p越大意味着解空间搜索范围越大
（3）搜索前期搜索范围较大，搜索后期搜索范围较小。即前期概率p大，后期概率p小
（4）C_t表示时间相关的系数，时间越长，p越小，C_t越大。C_t关于t递增。
2：模拟退火算法
2.1 算法流程
假设求最大值的问题
（1）随机生成解A，计算A对应的目标函数值f(A)
（2）在A附近随机生成B，验证B是否满足约束条件后，计算B对应的目标函数值f(B)
（3）若f(B) > f(A)，f(A) = f(B)，作为当前最优解
（4）若f(B) < f(A)，计算接受概率P。生成随机数r∈[0,1]，若r < P则接受解B并将B值赋值给A
2.2 C_t的设置
其中T_0=100与α=0.95为初始数据设置，C_t = 1 / T_t
2.3 时间t的实现与停止搜索的条件
（1）通过循环实现t的迭代
通过迭代次数表示时间t的变化，并在同一个t下进行多次搜索。可以通过两层循环实现
for i=1:Max %时间t
for j=1:N %表示相同t内的搜索次数
（2）什么时候停止搜索
① 达到指定迭代次数（循环执行完毕）
② 达到指定温度，比如T < 0.000001
③ 找到最优解连续M次不改变
2.4 如何产生新解（最关键，可通过查询论文或自己制定）
（1）matlab内置函数定义方法
y = randn(1,narvs); %生成N(0,1)的随机数
z = y / sqrt(sum(y .^2)); %生成z
x_new = x0 + T*z; %根据规则生成x_new
%定义域调整
for j=1:narvsif x_new(j) < x_lb(j)r = rand(1);x_new(j) = r*x_lb(j)+(1-r)*x0(j);elseif x_new(j) > x_ub(j)r = rand(1);x_new(j) = r*x_ub(j)+(1-r)*x0(j);end
end
3. 例题学习
步骤一：绘制图形（限制在三维以下）
步骤二：参数初始化
步骤三：随机生成初始解并scatter标点
步骤四：定义中间变量
步骤五：模拟退火算法
步骤六：画出最大y值图形
3.1 含上下界约束的规非线性划问题
例题1：
SA 模拟退火: 求解函数y = 11sin(x) + 7cos(5*x)在[-3,3]内的最大值
产生新解的方法：matlab内置函数生成方法 x_new = x0+z*T
① code.m
clc,clear;
%% 第一步：绘制函数图形
x = -3:0.1:3;
y = 11*sin(x) + 7*cos(5*x);
plot(x,y,'b-')
hold on %不关闭图形%% 第二步：参数初始化
%需修改项
narvs = 1; %变量个数（需修改）
maxgen = 200; %最大迭代次数
Lk = 100; %每个温度下的搜索次数
x_lb = -3; %变量下界
x_ub = 3; %变量上界%不需修改项
T0 = 100; %初始温度
T = T0； %第一次迭代时的温度
alfa = 0.95;%% 第三步：随机生成初始解 unifrnd(lb,ub) 标点scatter
x0 = zeros(1,narvs);
for i=1:narvsx0(i) = unifrnd(x_lb(i),x_ub(i));
end
y0 = Obj_fun1(x0);
h = scatter(x0,y0,'*r'); % scatter是绘制二维散点图的函数%% 第四步：定义中间变量
max_y = y0; %初始化找到的最佳解对应的函数值y0
MAXY = zeros(maxgen,1); %每一次外层循环求得的max_y%% 第五步：模拟退火过程
% 双重循环迭代查找
for iter= 1:maxgenfor j=1:Lk%(1)产生新解，此处的方法是matlab内置函数方法y = randn(1,narvs); %生成N(0,1)的随机数z = y / sqrt(sum(y .^2));x_new = x0 + T*z; %生成新解公式for j=1:narvsif x_new(j) < x_lb(j)r = rand(1);x_new(j) = r*x_lb(j)+(1-r)*x0(j);elseif x_new(j) > x_ub(j)r = rand(1);x_new(j) = r*x_ub(j)+(1-r)*x0(j);endend%(2)生成新解函数值x1 = x_new;y1 = Obj_fun1(x1);%(3)搜索，当满足优化目标更新；不满足则求解接受概率if y1 > y0x0 = x1;y0 = y1;elsep = exp(-(y0-y1)/T); % 根据Metropolis准则计算一个概率if rand(1) < px0 = x1;y0 = y1;endend%(4)判断本轮内部搜索是否为最佳解if y0 > max_ymax_y = y0;best_x = x0;endend%(5)一个温度情况结束，更新温度与最优值并画图MAXY(iter) = max_y;T = T*alfa;pause(0.01)h.XData = x0;h.YData = Obj_fun1(x0);
end
%(6)模拟退火结束后的可视化表述
disp('最佳的位置是：'); disp(best_x)
disp('此时最优值是：'); disp(max_y)
pause(0.5)
h.XData = []; h.YData = []; % 将原来的散点删除
scatter(best_x,max_y,'*r'); % 在最大值处重新标上散点
title(['模拟退火找到的最大值为', num2str(max_y)]) % 加上图的标题%% 第六步：画出最大y值图形
figure
plot(1:maxgen,MAXY,'r-');
xlabel("迭代次数");
ylabel("y值");
② Obj_fun1.m
function y = Obj_fun1(x)y = 11*sin(x) + 7*cos(5*x);
end
结果：
最佳的位置是：
1.2750
此时最优值是：
17.4928
例题2：求解下面这个函数的最大值
知识点
（1）如何生成三维网格图
[x1,x2]=meshgrid(x1,x2) --> mesh(x1,x2,y)
①home1.m
clc,clear;
%SA模拟退火法解非线性规划问题
%%第一步：绘制图形
x1 = -3:0.01:12,1;
x2 = 4.1:0.01:5.8;
[x1,x2] = meshgrid(x1,x2);
y = 21.5 + x1.*sin(4*pi*x1) + x2.*sin(20*pi*x2);
figure
mesh(x1,x2,y);
xlabel('x1');ylabel('x2');zlabel('y');
axis vis3d;
hold on%%第二步：初始化参数值
nvars = 2; %变量的个数
T0 = 200;
T = T0;
alfa = 0.95;
maxgen = 1000;
Lk = 300;
lb = [-3 4.1];
ub = [12.1 5.8];%%第三步：随机生成初始解
x0 = zeros(1,nvars);
for i=1:nvarsx0(i) = unifrnd(lb(i),ub(i));
end
y0 = Obj_fun3(x0);
h = scatter3(x0(1),x0(2),y0,'*r');%%第四步：定义中间变量
max_y = y0;
best_x = x0;
MAXY = zeros(maxgen,1);%%第五步：模拟退回
for iter=1:maxgenfor k=1:Lk%(1)产生新解(采用matlab内置方法产生新解)y = randn(1,nvars);z = y / sqrt(sum(y.^2));x_new = x0+T*z;for i=1:nvarsif x_new(i) < lb(i)r = rand(1);x_new(i) = r*lb(i)+(1-r)*x0(i);elseif x_new(i) > ub(i)r = rand(1);x_new(i) = r*ub(i)+(1-r)*x0(i);endend%(2)计算新解的函数值x1 = x_new;y1 = Obj_fun3(x1);%(3)当满足优化目标则更新，不满足则生成接受概率if y1 > y0x0 = x1;y0 = y1; %注意 是将新值赋值给x0else p = exp(-(y0-y1)/T);if rand(1) < px0 = x1;y0 = y1;endend%(4)更新本轮的最优解if y0 > max_ymax_y = y0;best_x = x0;endend%(5)一个温度结束 保存最优值并更新温度MAXY(iter) = max_y;T = T*alfa;pause(0.01);h.XData = x0(1);h.YData = x0(2);h.ZData = y0;
enddisp('最佳的位置是：'); disp(best_x)
disp('此时最优值是：'); disp(max_y)%%第六步：画出每次迭代最大值图形与最优散点位置
pause(1);
h.XData = [];
h.YData = [];
h.ZData = [];
scatter3(best_x(1),best_x(2),max_y,'*r');
title(['模拟退火找到的最大值为',num2str(max_y)]);figure
plot(1:maxgen,MAXY,'b-');
xlabel('迭代次数');
ylabel('y的值');
②Obj_fun3.m
function y = Obj_fun3(x)y = 21.5 + x(1)*sin(4*pi*x(1)) + x(2)*sin(20*pi*x(2));
end
结果：
最佳的位置是：
11.6255 5.7250
此时最优值是：
38.8503
3.2 旅行商问题（无指定起点）
问题描述：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路（此时无固定的起点与终点）。
① 优化目标：访问城市间的路径最短
路程d(i,j)：本题中设定所有城市均可相通。在具体题目中可以根据实际连通情况设定距离矩阵d
② 初始化方法：randperm产生1-n的随机序列作为当前访问路径
③ 产生新解的方法：引入多种算子 (如:移位, 交换, 倒置等等)来产生新解空间。并且以一定的概率来决定运用哪种算子来产生新的解空间。
参考：苗卉, 杨韬. 旅行商问题(TSP)的改进模拟退火算法[J]. 微计算机信息, 2007
① test_TSP.m
clc,clear;
rng('shuffle') % 根据当前时间为随机数生成函数提供种子 每次生成随机序列
%% 第一步：绘制函数图形（本题为城市结点分布位置）
coord = [11003.611100,42102.500000;11108.611100,42373.888900;11133.333300,42885.833300;11155.833300,42712.500000;11183.333300,42933.333300;11297.500000,42853.333300;11310.277800,42929.444400;11416.666700,42983.333300;11423.888900,43000.277800;11438.333300,42057.222200;11461.111100,43252.777800;11485.555600,43187.222200;11503.055600,42855.277800;11511.388900,42106.388900;11522.222200,42841.944400;11569.444400,43136.666700;11583.333300,43150.000000;11595.000000,43148.055600;11600.000000,43150.000000;11690.555600,42686.666700;11715.833300,41836.111100;11751.111100,42814.444400;11770.277800,42651.944400;11785.277800,42884.444400;11822.777800,42673.611100;11846.944400,42660.555600;11963.055600,43290.555600;11973.055600,43026.111100;12058.333300,42195.555600;12149.444400,42477.500000;12286.944400,43355.555600;12300.000000,42433.333300;12355.833300,43156.388900;12363.333300,43189.166700;12372.777800,42711.388900;12386.666700,43334.722200;12421.666700,42895.555600;12645.000000,42973.333300];
n = size(coord,1);
figure
plot(coord(:,1),coord(:,2),'o'); %画出城市分布散点图
for i=1:ntext(coord(i,1)+0.01,coord(i,2)+0.01,num2str(i));
end
hold on
% 计算城市间距离（也可以根据图的相连情况设定距离矩阵d）
d = zeros(n,n);
for i=1:nfor j=i+1:ncoord_i = coord(i,:); coord_j = coord(j,:);x_i = coord_i(1); y_i = coord_i(2);x_j = coord_j(1); y_j = coord_j(2);d(i,j) = sqrt((x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2);end
end
d = d+d';%% 第二步：参数初始化
T0 = 100; % 初始温度
T = T0;
maxgen = 1000; % 迭代次数
Lk = 500; % 每次迭代的搜索次数
alpfa = 0.95;%% 第三步：随机生成一个初始解
path0 = randperm(n); % 生成1-n的随机序列作为城市遍历顺序
result0 = calculate_tsp_d(path0,d); % 计算当前序列的总路程长度%% 第四步 定义中间值
min_result = result0;
RESULT = zeros(margen,1);%% 第五步：模拟退火
for iter=1:maxgenfor i=1:Lk% （1）产生新解并计算新的目标值path1 = gen_new_path(path0);result1 = calculate_tsp_d(path1,d);if result1 < result0 % 符合优化目标result0 = result1;path0 = path1;else % (2) 不符合优化目标计算接受概率p = exp(-(result1-result0)/T);if rand(1) < p %满足接受概率result0 = result1;path0 = path1;endend% (3) 更新本轮最优解if result0 < min_resultmin_result = result0;best_path = path0;endend% (4)保存本轮最优解并使温度下降RESULT(iter) = min_result;T = T*alpfa;
end
disp('最佳的方案是：'); disp(mat2str(best_path))
disp('此时最优值是：'); disp(min_result)%% 第六步：可视化最优结果
best_path = [best_path,best_path(1)];
n = n+1;
for i = 1:n-1 j = i+1;coord_i = coord(best_path(i),:); x_i = coord_i(1); y_i = coord_i(2); coord_j = coord(best_path(j),:); x_j = coord_j(1); y_j = coord_j(2);plot([x_i,x_j],[y_i,y_j],'-b') pause(0.02) % 暂停0.02s再画下一条线段hold on
end%% 第七步：画出每次迭代的最优结果
figure
plot(1:maxgen,RESULT,'b-');
xlabel('迭代次数');
ylabel('最短路径');
② calculate_tsp_d.m：计算当前城市序列的长度
function result = calculate_tsp_d(path,d)n = length(path);result = 0;for i=1:n-1result = result+d(path(i),path(i+1));endresult = result+d(path(n),path(1));
end
③ gen_new_path.m
引入多种算子 (如:移位, 交换, 倒置等等)来产生新解空间。并且以一定的概率来决定运用哪种算子来产生新的解空间。
function path1 = gen_new_path(path0)n = length(path0);p1 = 0.33; % 交换的概率p2 = 0.33; % 移位的概率r = rand(1);if r < p1 % 交换产生新解% 随机产生两个位置并交换c1 = randi(1,n);c2 = randi(1,n);path1 = path0;path1(c1) = path0(c2);path1(c2) = path0(c1);elseif r < p1+p2 % 移位产生新解% 随机产生三个位置 排序后将四段序列切割重组c1 = randi(1,n);c2 = randi(1,n);c3 = randi(1,n);sort_c = sort([c1 c2 c3]); % 按照从小到大排序c1 = sort_c(1); c2 = sort_c(2);c3 = sort_c(3);temp1 = path0(1:c1-1);temp2 = path0(c1:c2);temp3 = path0(c2+1:c3);temp4 = path0(c3+1:end);path1 = [temp1 temp2 temp3 temp4];else % 倒置法产生新路径c1 = randi(1,n);c2 = randi(1,n);if c1 > c2 % 交换保证c1 < c2tmp = c1;c1 = c2;c2 = tmp;endtemp1 = path0(1:c1-1);temp2 = path0(c1:c2);temp2 = fliplr(temp2);% 左右对称翻转 fliplr，上下对称翻转 flipudtemp3 = path0(c2+1:end);path1 = [temp1 temp2 temp3];end
end
结果：
此时最优值是：
6.6594e+03
3.2 旅行售货员(TSP)问题 （有起点限制）
问题描述：假设起点城市 M 和终点城市 N 是给定的，要我们求出一个从 M 出发依次经过所有城市并最终到达 N 的最短路径
（1）优化目标：使形成的TSP回路路径最短
（2）解空间：1-n的序列
（3）产生新解的方法：同3.2无起点限制的方法
改进之处：在产生①初始解 ②新解 的时候搜索指定起点的位置，并将指定起点移位到序列1号位置。
① TSP2.m
clc,clear;
%利用SA模拟退火算法解决TSP问题
rng('shuffle'); %根据当前时间生成随机函数种子%%第一步：绘制函数图形(使用函数前修改为实际图的信息即可)
%(1)设置坐标画出图形
%coord = [1.2 2;3 5;2 0.5;1.5 1];
coord = [11003.611100,42102.500000;11108.611100,42373.888900;11133.333300,42885.833300;11155.833300,42712.500000;11183.333300,42933.333300;11297.500000,42853.333300;11310.277800,42929.444400;11416.666700,42983.333300;11423.888900,43000.277800;11438.333300,42057.222200;11461.111100,43252.777800;11485.555600,43187.222200;11503.055600,42855.277800;11511.388900,42106.388900;11522.222200,42841.944400;11569.444400,43136.666700;11583.333300,43150.000000;11595.000000,43148.055600;11600.000000,43150.000000;11690.555600,42686.666700;11715.833300,41836.111100;11751.111100,42814.444400;11770.277800,42651.944400;11785.277800,42884.444400;11822.777800,42673.611100;11846.944400,42660.555600;11963.055600,43290.555600;11973.055600,43026.111100;12058.333300,42195.555600;12149.444400,42477.500000;12286.944400,43355.555600;12300.000000,42433.333300;12355.833300,43156.388900;12363.333300,43189.166700;12372.777800,42711.388900;12386.666700,43334.722200;12421.666700,42895.555600;12645.000000,42973.333300];
n = size(coord,1);
figure
plot(coord(:,1),coord(:,2),'o');
hold on
for i=1:ntext(coord(i,1)+0.01,coord(i,2)+0.01,num2str(i));
end
%(2)做出距离矩阵
% dist = [0 30 6 4
% 30 0 5 10
% 6 5 0 20
% 4 10 20 0];
dist = zeros(n,n);
for i=1:nfor j=i+1:ncoord_i = coord(i,:); coord_j = coord(j,:);x_i = coord_i(1); y_i = coord_i(2);x_j = coord_j(1); y_j = coord_j(2);dist(i,j) = sqrt((x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2);end
end
dist = dist+dist';
%(3)设置初始起点
start = 3;
%%第二步：设置参数初始值
T0 = 200;
T = T0;
alfa = 0.95;
maxgen = 2000;
Lk = 200;%%第三步：随机生成初始解
path0 = randperm(n);
%(1)将指定的起点交换至序列首位
index = find(path0==start);
path0(index) = path0(1);
path0(1) = start;
%(2)计算tsp初始值
result0 =calculate_tsp_d(path0,dist);%%第四步：定义中间变量
min_result = result0;
RESULT = zeros(maxgen,1);
best_path = path0;%%第五步：模拟退火
for iter=1:maxgenfor i=1:Lk%(1)生成新解path1 = gen_new_path(path0);index = find(path1==start);path1(index) = path1(1);path1(1) = start;result1 = calculate_tsp_d(path1,dist);%(2)判断是否更新result0，若不符合优化目标则计算接受概率if result1 < result0result0 = result1;path0 = path1;elsep = exp(-(result1-result0)/T);if rand(1) < p result0 = result1;path0 = path1;endend%(3)更新本轮最优解if result0 < min_resultmin_result = result0;best_path = path0;endend%(4)保存本轮最优解并使温度降低RESULT(iter) = min_result;T = T*alfa;
enddisp('最佳的方案是： '); disp(mat2str(best_path));
disp('此时的最优值是： ');disp(min_result);%%第六步：可视化最短路径情况
best_path = [best_path best_path(1)];
n = n+1;
for i=1:n-1j = i+1;coord_i = coord(best_path(i),:); coord_j = coord(best_path(j),:);x_i = coord_i(1); y_i = coord_i(2);x_j = coord_j(1); y_j = coord_j(2);plot([x_i,x_j],[y_i,y_j],'-b');pause(0.25);hold on
end%%第七步：画出每次迭代的最优结果
figure
plot(1:maxgen,RESULT,'b-');
xlabel('迭代次数');
ylabel('最短路径');
结果：
最佳的方案是：
[3 4 2 1 10 14 21 29 30 32 35 37 38 33 34 36 31 27 28 24 22 25 26 23 20 15 13 16 17 18 19 11 12 9 8 7 6 5]
此时的最优值是：
6.6594e+03
3.3 书店买书问题
问题描述：某同学要从15家线上商城选购20本书，每本书在不同商家的售价以及每个商家的单词运费如下表所示，请问同学制定最省钱的选购方案。
① 优化目标：制定采购方案，使总花费最小。总花费由单价与运费组成，即与哪一本书在哪一家书店购买相关。
解空间：X(x1,x2,…,x20)，其中xi ∈ [1,15]表示i本书在哪家书店购买
② 随机生成初始解：由于不同的书可以在同一家店购买，因此可以随机产生1*20的向量，向量元素取值在1~15范围内。
③ 产生新解的方法： 方法一：随机定位，随机修改。
数据： M(1520)：表示第i个书店购买j书的价格 freight(151)：表示i书店的运费。并保存在book_data.mat数据文件中
① Buy_book.m
clc,clear;
rng('shuffle')%% 第一步：数据初始化
load book_data
[s b] = size(M); %s代表书店数量 b代表书本数量%% 第二步：参数初始化
T0 = 1000;
T = T0;
maxgen = 500;
Lk = 200;
alfa = 0.95; %% 第三步：随机生成初始解
way0 = randi([1,s],1,b); % 取值为1-15的数字
money0 = calculate_money(way0,freight,M,b);%% 第四步：定义中间过程量
min_money = money0;
MONEY = zeros(maxgen,1);%% 第五步：模拟退火
for iter=1:maxgenfor i=1:Lk% (1)生成新解与新解值way1 = gen_new_way(way0,s,b);money1 = calculate_money(way1,freight,M,b);% (2)判断是否接受新解if money1 < money0way0 = way1;money0 = money1;else% (2.1)计算接受概率p = exp(-(money1-money0)/T);if rand(1) < pway0 = way1;money0 = money1;endend% (2.2)判断是否更新当前最优解if money0 < min_moneymin_money = money0;best_way = way0;endendMONEY(iter) = min_money;T = alfa*T;
end
disp('最佳的方案是：'); disp(mat2str(best_way))
disp('此时最优值是：'); disp(min_money)%% 第六步：迭代最佳方案可视化
figure
plot(1:maxgen,MONEY,'b-');
xlabel('迭代次数');
ylabel('最小花费');
② calculate_money.m
书本费用+运费，其中运费与书本数量无关，只与在那家购买了书有关。
function money = calculate_money(way,freight,M,b)% (1)计算运费（对涉及到的商家运费求和）index = unique(way); % unique实现数据去重money = sum(freight(index));% (2)计算书本花费for i=1:bmoney = money+M(way(i),i);end
end
③ gen_new_way.m：计算新解
function way1 = gen_new_way(way0,s,b)index = randi([1,20]); % 随机选取一本书way1 = way0;way1(index) = randi([1,15]); % 随机更换购买的书店
end
结果：
最佳的方案是：
[6 14 6 1 6 14 1 6 14 6 14 4 4 14 14 1 4 4 1 14]
此时最优值是：
467
3.4 背包问题
问题描述：
① 优化目标：确定运送的货物，使货物的总利润最大
② 约束条件：运送货物的总重量不能超过最大载重
解空间：X(x1,x2,…,x10)，其中xi=0或1
③ 随机生成的初始解：随机生成元素范围为0或1的1*10的向量
④ 新解的产生方法：
参考：梁国宏, 张生, 黄辉, et al. 一种改进的模拟退火算法求解 0-1 背包问题[J]. 广西民族大学学报(自然科学版), 2007(03):97-99.
Reference
清风模拟退火算法培训：
https://www.bilibili.com/video/BV1hK41157JL
苗卉, 杨韬. 旅行商问题(TSP)的改进模拟退火算法[J]. 微计算机信息, 2007
梁国宏, 张生, 黄辉, et al. 一种改进的模拟退火算法求解 0-1 背包问题[J]. 广西民族大学学报(自然科学版), 2007(03):97-99.
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