一、连续

1.1某点连续

1.2 某邻域连续

注：可导是光滑的充分不必要条件

1.3 某去心邻域连续

二、可导

2.1 某点可导

2.2 某邻域内可导

2.3 某去心邻域内可导

推导：二阶可导

例题

一点处的导数推导不出邻域的单调性

（2004）设函数f(x)连续，且f′(x)>0,则存在δ>0,使得：

A. f(x)在(0,δ)内单调增加
B. f(x)在(−δ，0)单调减少
C. 对任意的x∈(0,δ),有f(x) > f(0)
D. 对任意的x∈(−δ,0),有f(x) > f(0)

分析：由选项特征可以判断出AB讲的是相近的意思，只不过是两个部分，而C，D则是相反，因此可以拍出A,B,再根据题干，感性认知都可以选出C.这是解题的技巧。

如果仔细思考，则由如下的结论需要细细体会：

推导不出单增单减这种强的特征。

即，仅仅给出一点的函数导数的范围，无法推导出区间的情况，只是根据局部保号性，可以确定函数的值的大小。在一点处的函数是有自己的场的，可能很小，但是也有自己的气场。这里的δ就是这个场的尺度，一旦进入这个场，函数值的范围就不允许比这个点的函数值大或者小，一切看这个点的增长趋势。

微观了看，函数是很神奇的事情。每一个点都是一个小场，单个场是无法推导跨场的结论的。要有这种把微观放大为宏观的思路，想象能力。

补充总结

函数在某一点极限存在的充要条件：

函数左极限和右极限在某点相等则函数极限存在且为左右极限。

如果左右极限不相同、或者不存在。则函数在该点极限不存在。

即从左趋向于所求点时的极限值和从右趋向于所求点的极限值相等。

函数极限存在的充要条件是在该点左右极限均存在且相等。

函数导数存在的充要条件是在该点左右导数均存在且相等。

可导必连续，不连续一定不可导，逆否命题同真假。

什么情况下极限不存在？

① 函数自变量靠近某一点时函数值趋于无穷

②函数只存在左极限或只存在右极限或虽然左右极限都存在但不相等

总结一下，函数在某点不存在极限的情形有这几种

函数在该点附近趋于无穷

函数在该点的左右极限只存在一个，或两者都存在但不相等

函数在该点附近不停地震荡

该点是函数无定义点的聚点

无定义点的聚点就是函数没有定义点列（数列）的极限点（极限值）。

比如说函数f(x)=sin(sin(1/x))/sin(1/x)在x=1/kπ（k为整数）处没有定义，而1/kπ→0（k→∞）此时x=0就是函数f(x)无定义点的聚点。）

用极限的归结原则也能得出这个结论。

归结原则：如果函数f(x)在x0处存在极限A，那么对于任意收敛于x0的数列{xn}，数列{f(xn)}也均收敛于A。利用这个原则更容易分析极限不存在的情况。

参考于如下视频，大家可以加以视频讲解食用。

一点处的导数推导不出邻域的单调性_DrCrypto的博客-CSDN博客_一点处的导数决定不了单调性

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