（据说是）鏼爷和吴凯路爷爷出的NOIP模拟神题集锦

文章目录

（据说是）鏼爷神题
- Day1
- - T1 回文切割（pal）
  - T2 模（mod）
- Day2
- - T1 数列（sequence）
  - T2 子集和（subsetsum）
  - T3 棋盘（board）
- Day3
- - T1 海龟（turtle）
- Day4
- - T2 欧拉回路（euler）
（据说是）吴凯路爷爷神题
- Day4
- - T2 挣钱（trade）
- Day5
- - T2 马拉松路径（path）

（据说是）鏼爷神题

Day1

T1 回文切割（pal）

题目大意： 给定一个长为nnn（nnn是偶数）的01串sss，我们要反转里面的几位，使得这个01串能由若干偶数长度的回文串连接而成，反转第iii位的代价是wiw_iwi，求最小代价。n≤2000n\le 2000n≤2000。时限2s2s2s。
做法： 本题需要用到DP。
显然有区间型DP的思路，令f(i)f(i)f(i)为使长为iii的前缀满足条件的最小代价，则有：
f(i)=min⁡{f(j)+w(j+1,i)}f(i)=\min\{f(j)+w(j+1,i)\}f(i)=min{f(j)+w(j+1,i)}
现在的问题就是如何求w(l,r)w(l,r)w(l,r)：使[l,r][l,r][l,r]一段为回文串的最小代价。
显然偶回文串一定有一个对称轴，在中间的两个数之间。为了让它们回文，那么应该使第lll位和第rrr位相等，第l+1l+1l+1位和第r−1r-1r−1位相等…那么最小代价就是，如果对应的两个位置当前不等，就要更改其中代价较小的一个。但是，如果我们固定lll，枚举rrr来计算，会发现非常难算，需要O(n3)O(n^3)O(n3)，但如果改成枚举对称轴计算就会非常简单了，时间复杂度为O(n2)O(n^2)O(n2)，DP的复杂度也是O(n2)O(n^2)O(n2)，我们就解决了这一题。

T2 模（mod）

题目大意： 给定一个集合SSS，内含nnn个非负整数aia_iai，qqq个询问，每次询问给出一个质数ppp和r(0≤r<p)r(0\le r<p)r(0≤r<p)，询问集合SSS有多少个子集，使得子集内元素的乘积对ppp取模的结果是rrr。空集乘积算作111。q≤5,n≤35,p≤109q\le 5,n\le 35,p\le 10^9q≤5,n≤35,p≤109。时限4s4s4s。
做法： 本题需要用到折半+map+逆元。
由于询问数很小，可以直接当作多组数据处理。如果看到了部分分的话，50分的范围是n≤18n\le 18n≤18，这显然就可以二进制枚举暴力计算了。而全部的数据范围是n≤35n\le 35n≤35，这就提示了我们利用折半的思想，把集合拆成两个大小分别为171717和181818的集合。对于大小为181818的集合，暴力枚举，在map中存储乘积模ppp为bbb的子集的个数。然后再枚举大小为171717的集合中的子集，假设这个子集的乘积模ppp为aaa，我们要求出所有满足ab≡r(modp)ab\equiv r(\mod p)ab≡r(modp)的bbb来累加答案。显然，因为ppp是质数，所以满足要求的bbb有且仅有111个，直接算出aaa的逆元再乘rrr就是了，直接在map中查找即可。于是时间复杂度为O(217⋅(18+log⁡p))O(2^{17}\cdot (18+\log p))O(217⋅(18+logp))，可以通过此题。

Day2

T1 数列（sequence）

题目大意： qqq次询问，每次给定a,b,c,da,b,c,da,b,c,d，求以下数列：x0=c,xi=axi−1+bx_0=c,x_i=ax_{i-1}+bx0=c,xi=axi−1+b中，编号最小的≥d\ge d≥d的一项的编号，如果不存在输出−1-1−1。q≤5000,∣a∣,∣b∣,∣c∣,∣d∣≤109q\le 5000,|a|,|b|,|c|,|d|\le 10^9q≤5000,∣a∣,∣b∣,∣c∣,∣d∣≤109。
做法： 本题需要用到分类讨论。
分类讨论神题。根据正常高中数学推理，得到数列的通项公式：xi=(c+ba−1)⋅ai−ba−1(a≠1)x_i=(c+\frac{b}{a-1})\cdot a^i-\frac{b}{a-1}(a\ne 1)xi=(c+a−1b)⋅ai−a−1b(a=1)，数列有四种可能的增长情况：循环(a=0,−1)(a=0,-1)(a=0,−1)，单调增，单调减，或者上下波动（a<−1a<-1a<−1）。其他的就直接计算或者二分即可，最麻烦的情况是上下波动，它会呈现奇数项单调增，偶数项单调减（或者相反）的状态，再分类讨论一下二分即可。
（什么毒瘤题啊…完全不想动手写…）

T2 子集和（subsetsum）

题目大意： 给定一个数列AAA，定义一个数列AAA是好的，当且仅当对于所有1≤t≤∑Ai1\le t\le \sum A_i1≤t≤∑Ai，都存在一个子集S⊆AS\subseteq AS⊆A，使得t=∑Sit=\sum S_it=∑Si。问数列AAA有多少个非空的子数列（不一定连续，所以一共有2n−12^n-12n−1个）是好的。n,Ai≤5000n,A_i\le 5000n,Ai≤5000。时限2s2s2s。
做法： 本题需要用到DP。
考虑贪心地判断一个数列是不是好的。由于我写过FJOI神秘数那题，因此思路很明显：先将数列从小到大排序，如果存在一个AiA_iAi，使得Ai>1+∑j=1i−1AjA_i> 1+\sum_{j=1}^{i-1}A_jAi>1+∑j=1i−1Aj，则数列就不是好的，如果不存在这样的AiA_iAi，数列就是好的。简单证明一下就是，在到这样的AiA_iAi之前，数列都是好的，但是加入AiA_iAi后，(∑j=1i−1Aj,Ai)(\sum_{j=1}^{i-1}A_j,A_i)(∑j=1i−1Aj,Ai)这一段开区间就无法表示了，而又因为后面的AxA_xAx都比AiA_iAi大，因此这一段开区间永远都不可能被表示出来了，所以数列就不是好的，否则它就是好的。
这样一来，我们显然把整个数列从小到大排序，然后令f(i,j)f(i,j)f(i,j)为最大的元素为AiA_iAi的元素和为jjj的好的子数列数目，有：
f(i,j)=∑k=1i−1∑p+1≥jf(k,p)f(i,j)=\sum_{k=1}^{i-1}\sum_{p+1\ge j}f(k,p)f(i,j)=∑k=1i−1∑p+1≥jf(k,p)
显然当j>Anj>A_nj>An时，具体的jjj值已经没有意义了（因为它可以被算作任何后面元素的贡献了），这时候直接令j=An+1j=A_n+1j=An+1即可。于是用前缀和优化就可以做到O(nAn)O(nA_n)O(nAn)的时间复杂度了。

T3 棋盘（board）

题目大意： 一个n×mn\times mn×m的棋盘，上面一些格子已经被涂成红色或黑色，现在要给其他的格子涂上红色或黑色，使得任意位于同一行或同一列的三个连续格子不被涂上相同的颜色，求方案数。n,m≤11n,m\le 11n,m≤11。时限5s5s5s。
做法： 本题需要用到状压DP。
容易想到按行状压DP，但是状态数看上去海量，直接暴做复杂度不可算，因此我们要精简状态。
首先从每一行的状态入手。暴力枚举的话，它会有2m2^m2m个状态。但鉴于可能有很多状态是不满足连续三格不涂同一颜色的条件的，我们考虑预处理排除掉不满足这个条件的状态。那么在合法状态中，颜色肯定是由长为111或222的连续段形成的，对于一种划分方案，有222种涂色方式（第一段涂红色或黑色），而这样的划分方案数是一个经典的问题，答案是斐波那契数列的第mmm项（前两项为1,21,21,2时），F11=144F_{11}=144F11=144，因此合法的状态数最多有288288288个，比211=20482^{11}=2048211=2048少了很多。
又因为每行的状态只有288288288个，而DP时只要考虑上面两行的状态即可判断是否满足条件，因此DP的时间复杂度应该是O(n⋅2883⋅m)O(n\cdot 288^3\cdot m)O(n⋅2883⋅m)，算出来有3e93e93e9这么大，肯定过不了。我们发现问题在于判定条件合法一次是O(m)O(m)O(m)的，能不能更快呢？这时候就要用位运算来强凑了。
首先一个问题是，如何快速判断当前状态在某些位上等于某些数？令当前状态为xxx，为了提取出固定的位，我们定义一个数yyy为，如果某一位被限制，这一位就是111，否则就是000，这样一个数，那么xandyx\space and \space yx and y就是xxx被提取出的那些位的数了。而zzz定义为如果某一位被限制，这一位就是被限制要成为的数，否则就是000，这样一个数，那么当且仅当xandyx\space and \space yx and y和zzz完全相同时，条件被满足，于是异或一下判断是不是000即可。
然后一个问题是，有了连续三行的状态x,y,zx,y,zx,y,z，如何判断存不存在某一位上全是000或者111？注意到，如果一位全是000或111，那么这一位上三个数andandand和ororor的结果应该是相同的，否则就不同，因此我们将xandyandzx\space and \space y\space and\space zx and y and z和xoryorzx\space or \space y\space or\space zx or y or z异或起来，如果它等于2m−12^m-12m−1（也就是全是111），就说明不存在某一位上全是000或111。
这样我们就可以O(1)O(1)O(1)（计算机中的）判断条件是否满足了，那么优化过的复杂度经过计算是2.6e82.6e82.6e8，5s5s5s的时间限制下也许能过，有时间写写试试吧…

Day3

T1 海龟（turtle）

题目大意： 在一个网格图上，有一只海龟要顺次经过nnn个整点，行走的过程是走直线，问行走过程中一共经过多少个整点，重复经过不重复计算。n,x,y≤1000n,x,y\le 1000n,x,y≤1000。
做法： 本题需要用到找规律+模拟。
我们找到一个规律：在两个整点(x1,y1),(x2,y2)(x_1,y_1),(x_2,y_2)(x1,y1),(x2,y2)之间的线段上，有gcd(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)+1gcd(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)+1gcd(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)+1个整点，它们的坐标是(x1+k⋅x2−x1gcd(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣),y1+k⋅y2−y1gcd(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣))(x_1+k\cdot \frac{x_2-x_1}{gcd(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)},y_1+k\cdot \frac{y_2-y_1}{gcd(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)} )(x1+k⋅gcd(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)x2−x1,y1+k⋅gcd(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)y2−y1)。显然每次行走O(max⁡x)O(\max x)O(maxx)枚举kkk对点标记，最后O(max⁡x⋅max⁡y)O(\max x\cdot \max y)O(maxx⋅maxy)统计即可。

Day4

T2 欧拉回路（euler）

题目大意： 有nnn个点，点iii和点jjj之间有边当且仅当(i−j)⋅(ai−aj)>0(i-j)\cdot (a_i-a_j)>0(i−j)⋅(ai−aj)>0，问连出的图存不存在欧拉回路。n≤105,T≤10n\le 10^5,T\le 10n≤105,T≤10。时限2s2s2s。
做法： 本题需要用到图论结论+树状数组。
根据图论的结论，一个图存在欧拉回路，当且仅当图中每个点的度数是偶数，并且图连通。求每个点的度数应该简单了，直接求它左边有多少个比它小的，右边有多少个比它大的即可，用树状数组+离散化做到O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)。关键是如何判连通。
我们先证明一个引理：对于连续排列的三个连通块A,B,CA,B,CA,B,C，不存在A,CA,CA,C连通，但A,BA,BA,B和B,CB,CB,C间都没有边的情况。显然，根据A,CA,CA,C连通，说明AAA中存在一个元素比CCC中的某元素小，也就说明min⁡(A)<max⁡(C)\min(A)<\max(C)min(A)<max(C)，而A,BA,BA,B和B,CB,CB,C间没有边，可以同样地看成min⁡(A)≥max⁡(B),min⁡(B)≥max⁡(C)\min(A)\ge \max(B),\min(B)\ge \max(C)min(A)≥max(B),min(B)≥max(C)，那么min⁡(A)≥max⁡(C)\min(A)\ge \max(C)min(A)≥max(C)，所以这两个条件矛盾，因此结论成立。这也就意味着，如果图不连通的话，则必定存在一个分界点iii，使得min⁡{aj∣j≤i}≥max⁡{aj∣j>i}\min\{a_j|j\le i\}\ge \max\{a_j|j>i\}min{aj∣j≤i}≥max{aj∣j>i}，直接O(n)O(n)O(n)判定即可，这样我们就解决了这一题。

（据说是）吴凯路爷爷神题

Day4

T2 挣钱（trade）

题目大意： nnn个城市连成树状图，边有长度，现在要倒卖一种物品，这种物品在城市iii的价格为aia_iai，选择一个城市购买一件这种物品，再走到另一个城市卖掉，走过一条长度为xxx的边花费为xxx，求一次能得到的最大收益。n≤105n\le 10^5n≤105。
做法： 本题需要用到树形DP。
考虑枚举路径的LCA：vvv，如何计算过这一点的路径的最大价值呢？令disidis_idisi为点iii到vvv的距离，那么答案就是子树中ai−disia_i-dis_iai−disi的最大值加上−ai−disi-a_i-dis_i−ai−disi的最大值，这些显然都可以用树形DP很自然地维护出来。现在有的同学有疑问了，如果满足这两个最大值的两个点在vvv的同一个儿子的子树中怎么办呢？当然你想去重也可以去重，但这里因为如果它路径有重，那它肯定没有LCA在另一个点的情况时优，所以我们可以直接不管去重。这样就可以O(n)O(n)O(n)解决这一题了。

Day5

T2 马拉松路径（path）

题目大意： 给定一张带边权无向连通图，给定一个CCC个点的点集，要从里面选两个不同的点作为起点和终点，求最短路的最小值。C≤n≤105,m≤105C\le n\le 10^5,m\le 10^5C≤n≤105,m≤105。时限3s3s3s。
做法： 本题需要用到最短路+二进制分组。
神仙题。
如果是规定了起点集合和终点集合，直接建超级源点和超级汇点做即可。但是这个题给的CCC个点都可能作为起点或终点，还限制同一个点不能同时为起点或终点。直接枚举起点，每次做单源最短路，这和暴力没什么区别，我们需要更加优美地枚举所有可能的情况。
注意到两个点不同，一定代表着它们编号的二进制表示中，存在某一位不同。因此我们对每一个二进制位分组，是000的分为起点集合，是111的分为终点集合，这样就可以保证起点和终点集合不同，而这样O(log⁡n)O(\log n)O(logn)次最短路做下来一定会包含所有起点和终点的情况，这样就可以O(nlog⁡2n)O(n\log^2n)O(nlog2n)计算出答案了。