第一届『Citric杯』NOIP提高组模拟赛题解

【官方题解】第一届『Citric杯』NOIP提高组模拟赛题解

第一题柠檬超市

这题是本次模拟赛的送分题。做法显然。
但是注意此题有一个陷阱：
注意W和C的规模都是10^9，所以如果直接用double来存储性价比会挂精度（999999999/1000000000和999999998/999999999的差距只有10^-18，这么微小的差距double是分辨不出来的）
正确做法是，把除法的除数移项，转化成乘法，然后用int64或long long。
另外一个讨巧的方法是用long double或extended来存储性价比，因为long double/extended的有效数字比double更多，所以勉强能不挂精度。
很不幸，如果挂精度的话就只有20分了。

需要的知识：模拟
代码长度小于0.5KB.

第二题柠檬的坦克游戏

此题20%数据的做法显然，直接照着题目要求模拟即可，O(N^3)

此题40%数据做法也比较简单，有两个做法：
1.对20%的做法进行改进，预先对所有的武器按D值排序，这样查找有没有更优的武器时直接查找D值比它大的就行了，时间复杂度可以证明被均摊到了O(N^2)。
2.依然预先对所有武器按D值从小到大排序，然后每次扫一遍，用一个单调栈维护即可，只要遇到R值比栈顶大就弹栈，否则入栈。扫一次就能得出一组，也是O(N^2)的。

此题满分做法是对上一个做法的改进。
仔细观察题目的流程，我们可以发现一个更优的做法。
首先我们发现同一组内的武器，按D值从大到小排序后，R值必然也是从小到大的。
而且我们发现，如果一件武器A的D值比另一件武器B的D值大，那么武器B不会影响到武器A的分组。
于是考虑把武器按D值从大到小排序，然后逐个加入武器，并为新加入的武器找到合适的组。因为在新加入一件武器之前，我们已经加入了所有D值更大的武器，而剩下的武器都不会影响当前武器的分组，所以现在得出的组号就是最终的组号。
假设D值最大的前x个武器已经全部加入组，而且现在已经有k组了，定义第i组里最大的R值为maxR(i)，那么我们发现maxR(i)必然随i递减。
我们考虑加入第x+1个武器，我们发现，按照题目要求，这件武器必然会加入到第i组，i是最小的让maxR(i)<D成立的i值。
于是我们直接用数组存储所有组的maxR，新加入武器时二分查找到加入位置，然后更新对应的那个maxR即可。
时间复杂度O(NlgN)

需要的知识：二分查找
代码长度 0.5KB ~ 1KB

第三题柠檬当上了JC局长！

此题20%数据做法显然，直接爆搜即可。
想要得到更高的分数，首先我们要观察一些性质。
首先，我们发现罪犯的逃跑方式，实际是在给定图的点1的最短路径图上，从根开始，每次随机选择一个孩子移动，移动到叶子后如果还没被抓到就失败了。
而且，题目保证了从结点1到任意结点的最短路唯一，所以点1的最短路径图实际是一棵树！
于是，我们可以先做一次点1为源点的dijkstra或直接floyd，把点1的最短路径树建立出来。
然后问题就变成了，给定一棵树，你可以在树的结点上设置埋伏，以获得最高的抓捕成功几率。
我们发现一个非常显然的动态规划状态：dp[i][j]在点i为根的子树内共设置j个**，罪犯到达i后能获得的最高成功率。

那么50%数据的做法就非常显然了。
因为我们保证了任意一个结点度数不超过3，也就是每个结点最多只有2个孩子（根可能有3个孩子，不过这不会影响复杂度）
于是我们转移时，暴力枚举根以及其孩子分别分配到了多少个人进行埋伏。时间复杂度是O(N*P^4)

进一步思考，很容易得出满分做法。
我们发现，在一个结点上所要进行的分配人力的任务，实际是一个背包。于是在结点上做一个背包即可。
但是注意这个背包是以当前结点的所有的孩子做背包，然后因为当前节点抓捕失败后才能往孩子走，所以当前结点要枚举埋伏人数，才能得出最终的答案。
时间复杂度是O(N*P^2)

需要的知识：最短路径算法、最短路径树的概念、背包DP、树形DP
代码长度 1KB～2KB

数据和标程的下载地址： http://pan.baidu.com/share/link?shareid=3747&uk=2249476017

最后，感谢诸位的参与。感谢Vani,kAc,applepi等人的验题

PS：以上是sillycross大神的官方题解，他写的是pascal，我等c++支持者便是抓瞎，当然，我真的没看他的代码。因为看了也不懂。

以下是我自己写的c++的代码，大神不要BS我啊！

第一题：我这个蒟蒻，一看大水，果断5分钟敲完交了，没想精度问题，果断20分。。

View Code

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstdlib>
 3 using namespace std;
 4 __int64 ans,n,s,w,c,i,fz=0,fm=1;
 5 void read()
 6 {
 7     scanf("%I64d%I64d",&n,&s);
 8     for(i=1;i<=n;i++)
 9     {
10         scanf("%I64d%I64d",&w,&c);
11         if(c<=s)
12         {
13             if(fz*c<fm*w)
14             {
15                 fz=w;
16                 fm=c;
17                 ans=i;
18             }
19         }
20     }
21     printf("%I64d",ans);
22 }
23 int main()
24 {
25     read();
26     system("pause");
27     return 0;
28 }

第二题：我表示我一看n^2的算法了，懒得写了，直接模拟的，rp不错，骗了30分。其实仔细想想nlogn也不是很难，还是做题缺乏深入思考。跪地。

View Code

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstdlib>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 int n,maxr[100010],cnt,len,num;
 6 struct P
 7 {
 8     int d,r,id,bh;
 9 }p[100010];
10 bool cmp(const P &x,const P &y)
11 {
12     return x.d>y.d;
13 }
14 bool cmp2(const P &x,const P &y)
15 {
16     return x.id<y.id;
17 }
18 void read()
19 {
20     scanf("%d",&n);
21     for(int i=1;i<=n;i++)
22     {
23         scanf("%d%d",&p[i].d,&p[i].r);
24         p[i].id=i;
25     }
26     sort(p+1,p+1+n,cmp);
27 }
28 void go()
29 {
30     len=1;
31     maxr[len]=p[1].r;
32     p[1].bh=1;
33     for(int i=2;i<=n;i++)
34     {
35         if(p[i].r<maxr[len])
36         {
37             len++;
38             maxr[len]=p[i].r;
39             p[i].bh=len;
40         }
41         else
42         {
43             int l=1,r=len;
44             while(l<=r)
45             {
46                 int mid=(l+r)>>1;
47                 if(maxr[mid]<p[i].r) num=mid,r=mid-1;
48                 else l=mid+1;
49             }
50             maxr[num]=p[i].r;
51             p[i].bh=num;
52         }
53     }
54     sort(p+1,p+1+n,cmp2);
55     for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",p[i].bh);
56 }
57 int main()
58 {
59     read();
60     go();
61     system("pause");
62     return 0;
63 }

第三题：到晚体觉得肚子疼，于是乎去厕所蹲了一会儿，突然来了灵感，发现这是一棵树，因为周克华走的永远是最短路，而spfa可以记录最短路的前继，利用这个前继来建树，剩下的就是树形DP+背包了。。可惜概率算错了。。就得了30分。。继续跪！

View Code

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <iostream>
 5 using namespace std;
 6 int n,m,cnt=1,a,b,c,start,h,t,head[220],next[20020],to[20020],len[20020],s,dis[220],que[500200];
 7 double dp[220][220],jl[220][220],f[220];
 8 bool vis[220];
 9 int pre[220],son[220];
10 void add(int v,int u,int w)
11 {
12     len[cnt]=w; to[cnt]=u; next[cnt]=head[v]; head[v]=cnt++;
13 }
14 void read()
15 {
16     scanf("%d%d",&n,&m);
17     for(int i=1;i<=m;i++)
18     {
19         scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
20         add(a,b,c); add(b,a,c);
21     }
22     scanf("%d",&s);
23     for(int i=1;i<=n;i++)
24         for(int j=1;j<=s;j++)
25             scanf("%lf",&jl[i][j]);
26 }
27 void spfa()
28 {
29     start=1;
30     memset(dis,0x3f,sizeof dis);
31     h=1;t=2;
32     que[1]=start;
33     vis[start]=true;
34     dis[start]=0;
35     while(h<t)
36     {
37         int sta=que[h++];
38         vis[sta]=false;
39         for(int i=head[sta];i;i=next[i])
40         {
41            if(dis[to[i]]>dis[sta]+len[i])
42            {
43                dis[to[i]]=dis[sta]+len[i];
44                pre[to[i]]=sta;
45                if(vis[to[i]]==false)
46                {
47                     vis[to[i]]=true;
48                     que[t++]=to[i];
49                }
50            }
51         }
52     }
53 }
54 void create()
55 {
56     memset(head,0,sizeof head);
57     cnt=1;
58     for(int i=2;i<=n;i++)
59         add(pre[i],i,1);
60     for(int i=1;i<=n;i++)
61         for(int j=head[i];j;j=next[j])
62             son[i]++;
63 }
64 void dfs(int u)
65 {
66     for(int i=1;i<=s;i++) dp[u][i]=jl[u][i];
67     if(head[u]==0) return;
68
69     for(int i=head[u];i;i=next[i]) dfs(to[i]);
70     for(int i=0;i<=s;i++) f[i]=0.0;
71
72     for(int i=head[u];i;i=next[i])
73         for(int j=s;j>=0;j--)
74             for(int k=0;k<=j;k++)
75                 f[j]=max(f[j],f[j-k]+dp[to[i]][k]);
76
77     for(int i=0;i<=s;i++) f[i]=f[i]/double(son[u]);
78     for(int i=0;i<=s;i++)
79         for(int j=0;j+i<=s;j++)
80             dp[u][i+j]=max(dp[u][i+j],f[j]*(1.0-jl[u][i])+jl[u][i]);
81 }
82 void gogo()
83 {
84     dfs(1);
85     printf("%.4lf",dp[1][s]);
86 }
87 void go()
88 {
89     spfa();
90     create();
91     gogo();
92 }
93 int main()
94 {
95     read();
96     go();
97     return 0;
98 }

总体来说这套题的难度还是低于NOIP的，（这么低分，你也好意思说！），应该得到的教训就是，简单题只要做了就必须拿满分！还有就是，思考完善了再动手敲代码！

转载于:https://www.cnblogs.com/proverbs/archive/2012/08/21/2648920.html

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