Description

任何正整数都能分解成2的幂，给定整数N，求N的此类划分方法的数量！
比如N = 7时，共有6种划分方法。

7=1+1+1+1+1+1+1
=1+1+1+1+1+2
=1+1+1+2+2
=1+2+2+2
=1+1+1+4
=1+2+4

Solution

设gi,j,kg_{i,j,k}表示一个序列组成2i2^i这个数，这个序列中最大的数为2j2^j，最小的为2k2^k的方案数；
设fi,jf_{i,j}表示已经做完了输入的数的后i位二进制，序列中最大的数为2j2^j的方案数；

gi,j,k=∑l=kjgi−1,j,l∗(∑t=klgi−1,t,k)

g_{i,j,k}=\sum_{l=k}^jg_{i-1,j,l}*(\sum_{t=k}^lg_{i-1,t,k})

fi,j=∑k=1jgi,j,k∗(∑l=1kfi−1,l)

f_{i,j}=\sum_{k=1}^jg_{i,j,k}*(\sum_{l=1}^kf_{i-1,l})
有两个很显然可以用前缀和，
复杂度： O(n4)O(n^4)

优化：
发现有性质

gi,j,k=gi−1,j−1,k−1=gi−2,j−2,k−2=......

g_{i,j,k}=g_{i-1,j-1,k-1}=g_{i-2,j-2,k-2}=......

所以只要记录g′i,jg'_{i,j}表示由最大2j2^j最小202^0组成2i2^i的方案数即可，

注意题目没有mo，要用高精度！
复杂度：O(n3∗高精度)O(n^3*高精度)

Code

标程只加了gi,j,k=gi−1,j−1,k−1g_{i,j,k}=g_{i-1,j-1,k-1}的优化，所以很丑QwQ而且还要卡常QwQ：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define max(q,w) ((q)>(w)?(q):(w))
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=102,YW=1000000000,YW1=9;
int m,n;
int a[N],z[N];
struct qqww
{int n;int a[151];
}f[2][N],g[2][N][N],LIN,YI,t;
int ss(int w)
{if(!a[0])return 0;int q=0;fod(i,a[0],1){a[i]+=q*10;q=a[i]&1;a[i]>>=1;}if(!a[a[0]])a[0]--;int OU=q;q=ss(w+1)+1;z[w]=OU;return q;
}
qqww s;
qqww operator * (qqww a,qqww b)
{if((a.n<2&&a.a[1]==0))return a;if((b.n<2&&b.a[1]==0))return b;fo(i,1,s.n)s.a[i]=0;s.n=a.n+b.n-1;fo(i,1,a.n)fo(j,1,b.n){LL t=s.a[i+j-1]+(LL)a.a[i]*b.a[j];s.a[i+j-1]=t%YW;s.a[i+j]+=t/YW;}while(s.a[s.n+1]){s.n++;s.a[s.n+1]+=s.a[s.n]/YW;s.a[s.n]%=YW;}return s;
}
qqww operator + (qqww a,qqww b)
{a.n=max(a.n,b.n);fo(i,1,a.n){a.a[i]+=b.a[i];while(a.a[i]>=YW){a.a[i+1]++;a.a[i]-=YW;}}while(a.a[a.n+1]){a.n++;a.a[a.n+1]+=a.a[a.n]/YW;a.a[a.n]%=YW;}return a;
}
int main()
{char ch;for(char ch=getchar();ch<='9'&&ch>='0';ch=getchar())a[++a[0]]=ch-48;fo(i,1,a[0]/2){int t=a[i];a[i]=a[a[0]-i+1];a[a[0]-i+1]=t;}n=ss(1);g[0][1][1].n=g[0][1][1].a[1]=1;fo(i,1,n)f[0][i].n=f[0][i].a[1]=1;bool nw=1,nwg=1;fo(i,2,n){fo(I,1,g[nwg][i][i].n)g[nwg][i][i].a[I]=0;g[nwg][i][i].n=g[nwg][i][i].a[1]=1;fo(I,1,g[nwg][1][1].n)g[nwg][1][1].a[I]=0;g[nwg][1][1].n=g[nwg][1][1].a[1]=1;fo(j,2,i-1)fo(k,2,j){fo(I,1,max(g[nwg][j][k].n,g[!nwg][j-1][k-1].n))g[nwg][j][k].a[I]=g[!nwg][j-1][k-1].a[I];g[nwg][j][k].n=g[!nwg][j-1][k-1].n;}fo(j,1,i-1){fo(I,1,max(t.n,g[!nwg][1][1].n))t.a[I]=g[!nwg][1][1].a[I];t.n=g[!nwg][1][1].n;g[nwg][j][1]=(g[!nwg][j][1]*t);fo(k,2,j){t=t+g[!nwg][k][1];g[nwg][j][1]=g[nwg][j][1]+g[!nwg][j][k]*t;}}if(z[i]){fo(j,1,n){fo(I,1,max(f[nw][j].n,f[nw][j-1].n))f[nw][j].a[I]=f[nw][j-1].a[I];f[nw][j].n=f[nw][j-1].n;fo(k,1,n)f[nw][j]=f[nw][j]+g[nwg][j][k]*f[!nw][k];}nw=!nw;}nwg=!nwg;}printf("%d",f[!nw][n].a[f[!nw][n].n]);fod(i,f[!nw][n].n-1,1)printf("%09d",f[!nw][n].a[i]);printf("\n");return 0;
}

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