51Nod 13831048 整数分解为2的幂

题目

任何正整数都能分解成2的幂，给定整数N，求N的此类划分方法的数量。
V1:n≤106n≤106n≤10^6。要对答案模1e9+71e9+71e9+7。
V2:n≤1030n≤1030n≤10^{30}。将整个答案输出。

解题思路

考虑每一种划分方法的序列是怎样从一个空的序列变来的。
显然，它是要么+1+1+1，要么集体乘222。
因此很快乐地得出F[x]=F[x−1]+F[x/2]∗[x%2==0]F[x]=F[x−1]+F[x/2]∗[x%2==0]F[x]=F[x-1]+F[x/2]*[x\%2==0]
当然，如果要与V2V2V2接轨，那么要换一种思路。
考虑将nnn转换为二进制，则n=Σ 2xn=Σ 2xn=\Sigma\ 2^x。
因此，如果知道每个2i2i2^i划分为2的幂的和的方案数，那么这题就很好做了。
对于某个2i2i2^i的一种划分方案，如果不是只有它本身一个数，一定可以把这些2的幂按照升序排序，然后分成两段，每一段的和都是2i−12i−12^{i−1}。
设g[i][j]g[i][j]g[i][j]表示做完了222进制下的前iii位，最大的数为2j2j2^j的方案数。
设f[i][j]f[i][j]f[i][j]表示组成2i2i2^i，最大的数为2j2j2^j的方案数。
有人想到这样的转移方程：
g[i][j]=Σjk=0 g[i−1][k]∗f[i][j]g[i][j]=Σk=0jg[i−1][k]∗f[i][j]g[i][j]=\Sigma_{k=0}^j\ g[i-1][k]*f[i][j]
f[i][j]=Σjk=0 f[i−1][k]∗f[i−1][j]f[i][j]=Σk=0jf[i−1][k]∗f[i−1][j]f[i][j]=\Sigma_{k=0}^j\ f[i-1][k]*f[i-1][j]
但是这样会算重。
为了避免这，所以强制让后面的数字大于等于2k2k2^k。
所以将后面的数字都除以2k2k2^k之后，可以得出这么一个方程：
g[i][j]=Σjk=0 g[i−1][k]∗f[i−k][j−k]g[i][j]=Σk=0jg[i−1][k]∗f[i−k][j−k]g[i][j]=\Sigma_{k=0}^j\ g[i-1][k]*f[i-k][j-k]
f[i][j]=Σjk=0 f[i−1][k]∗f[i−1−k][j−k]f[i][j]=Σk=0jf[i−1][k]∗f[i−1−k][j−k]f[i][j]=\Sigma_{k=0}^j\ f[i-1][k]*f[i-1-k][j-k]
显然先预处理fff。
然后套上高精度，再卡常，就可以通过此题了。
卡常很重要，就是拿个long doublelong doublelong\ double，确定一下log2(n)log2(n)log_2(n)
然而不知道为什么，高精度压8位WA了，压9位就没事？！

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 100
#define M 150
#define mo 1000000000
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
struct note{int w,a[M];
};note f[N][N],g[N][N],ans,n,c;
int i,j,k,l,ys,x,tot;
int xx;
char s[32];
double x1,x2,x3;
note operator + (const note &a,const note &b){c.w=a.w>b.w?a.w:b.w;memset(c.a,0,sizeof(c.a));int i;fo(i,1,c.w){c.a[i]+=a.a[i]+b.a[i];c.a[i+1]+=c.a[i]/mo;c.a[i]%=mo; }if(c.a[c.w+1])c.w++;return c;
}
note operator * (const note &a,const note &b){memset(c.a,0,sizeof(c.a));int i,j;long long kk;fo(i,1,a.w)fo(j,1,b.w){kk=c.a[i+j-1]+1ll*a.a[i]*b.a[j];c.a[i+j]=c.a[i+j]+kk/mo;c.a[i+j-1]=kk%mo;}c.w=a.w+b.w;while(!c.a[c.w]&&c.w>1)c.w--;return c;
}
int main(){scanf("%s",s+1);l=strlen(s+1);fo(i,1,l){x1=x1*10+s[i]-'0';}x2=log(x1)/log(2);n.w=l/9+1;fo(i,1,l){int j=(l-i)/9;n.a[j+1]=n.a[j+1]*10+(s[i]-'0');}while(!n.a[n.w]&&n.w>1)n.w--;f[0][0].w=f[0][0].a[1]=1;fo(i,1,x2){fo(j,0,i-1)fo(k,0,j)f[i][j]=f[i][j]+f[i-1][k]*f[i-1-k][j-k];f[i][i].w=f[i][i].a[1]=1;}fo(i,0,x2){if(n.a[1]&1){tot++;if(tot==1){fo(j,0,i)g[tot][j]=f[i][j];}else{fo(j,0,i)fo(k,0,j)g[tot][j]=g[tot][j]+g[tot-1][k]*f[i-k][j-k];}}ys=0;fd(j,n.w,1){x=n.a[j];n.a[j]=(n.a[j]+ys*mo)/2;ys=(ys*mo+x)&1;}while(!n.a[n.w]&&n.w>1)n.w--;}fo(i,0,99)ans=ans+g[tot][i];printf("%d",ans.a[ans.w]);fd(i,ans.w-1,1){xx=log(ans.a[i])/log(10)+1;fo(j,1,9-xx)putchar('0');printf("%d",ans.a[i]);}return 0;
}

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