Jacobi（雅可比）迭代原理与matlab，C代码

Jacobi迭代分量形式:
xi(k+1)=1/aii(bi−∑j≠ii=1naijxj(k))\ x_i^{(k+1)}=1/a_{ii}(b_i-\sum_{\stackrel{i=1}{ j\neq i} }^na_{ij}x_j^{(k)}) xi(k+1)=1/aii(bi−j=ii=1∑naijxj(k))
矩阵形式：
X(k+1)=D−1(L+U)X(k)+D−1b\ X^{(k+1)}=D^{-1}(L+U)X^{(k)}+D^{-1}b X(k+1)=D−1(L+U)X(k)+D−1b

1.理论分析

比较gauss seidel迭代法与J迭代法解方程组差异见图1（以3*3方程组为例），gauss seidel迭代法每次计算使用解x的最新值，而J迭代法使用上一次x的解，如果解是收敛的，那么gauss seidel迭代过程使用的最好的估计值，性能应该比J迭代法好：

2.算法描述

Jacobi迭代法：
根据A=D-L-U将A拆分成对角矩阵D，下三角矩阵L，上三角矩阵U；
循环迭代操作迭代矩阵x(k+1)=BJx(k)+g,其中BJ=D−1∗（L+U），g=D−1b\ x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+g,其中B_J=D^{-1}*（L+U），g=D^{-1}b x(k+1)=BJx(k)+g,其中BJ=D−1∗（L+U），g=D−1b；
使用为无穷范数小于等于E-6终止条件；

3.计算程序（matlab）

3.1分量形式用循环不用matlab自带写迭代过程

% Jacobi method A*X=bclearclcn=input('输入问题维度 n:  ');A = zeros(n,n);                         %生成矩阵需要的储存单元b = zeros(n,1);                         %生成矩阵需要的储存单元Xnow = zeros(n);                          %生成解向量需要的储存单元Xafter = zeros(n);                          %生成解向量需要的储存单元tol = input('输入你题目中的误差: ');     %生成解向量误差x(k+1)-x(k)需要的储存单元m = 300;                                %最多迭代300次。超过可能有问题？A=[4 2 3; 3 -5 2; -2 3 8];b=[8 -14 27 ];Xnow=[0 0 0];k = 1;                                 %记录迭代次数while k <= m err = 0;for i = 1 : n s = 0;for j = 1 : n s = s-A(i,j)*Xnow(j);ends = (b(i)+s)/A(i,i);if abs(s) > err err = abs(s);endXafter(i) = Xnow(i)+s;endif err <= tol break;elsek = k+1;for i = 1 : n Xnow(i) = Xafter(i);endendendfprintf('Jacobi方法迭代了 %d 次 :\n', k-1);for i = 1 : n fprintf(' %11.8f \n', Xafter(i));end

3.2矩阵迭代用matlab自带的函数求解

clear
clcn = input('Enter number of equations, n:  ');          %根据提示输入题目要求的n%构造矩阵Afor m=nA=zeros(m,m);for m=1:mA(m,m)=20;endfor m=2:mA(m,m-1)=-8;A(m-1,m)=-8;endfor m=3:mA(m,m-2)=1;A(m-2,m)=1;endendx = ones(n,1);
b = zeros(n,1);
D = diag(diag(A));                              %求A的对角矩阵
L = tril(A,-1);                                %求A的下三角矩阵
U = triu(A,1);                                 %求A的上三角矩阵
err = 1E-6;
%Jacobil迭代
I=eye(n);                                      %生成单位矩阵
BJ=I-D\A;                                      %生成迭代矩阵BJ
pJ=vrho(BJ);                                    % 矩阵的谱半径
R_j = -log(pJ);                                  %J迭代渐进收敛速度
g=D\b;
jacobilk = 1;                                   %jacobil迭代次数
xJ = ones(n,1);                                %初始迭代向量（1，1，1，1,..）T
it_max = 200;                                   %设定上限，万一无限循环
while jacobilk <= it_maxxjafter=BJ*xJ+g; xJ=xjafter;if norm(xJ,inf)<errbreak;endjacobilk = jacobilk +1;
end

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