1. 什么是图

1.1 图的概述

图（Graph）：
∙ \bullet ∙ 表示“多对多”的关系
∙ \bullet ∙ 包含
⋄ \diamond ⋄ 一组顶点：通常用 V（Vertex）表示顶点集合
⋄ \diamond ⋄ 一组边：通常用 E（Edge）表示边的集合
⋅ \cdot ⋅ 边是顶点对：（v, w） ∈ ∈ ∈ E，其中 v,w ∈ ∈ ∈ V

⋅ \cdot ⋅ 有向边 <v,w> 表示从 v 指向 w 的边（单行线）

⋅ \cdot ⋅ 不考虑重边和自回路

1.2 抽象数据类型定义

类型名称： 图（Graph）
数据对象集： G(V，E)由一个非空的有限顶点集合 V 和一个有限边集合 E 组成
操作集： 对于任意图 G ∈ ∈ ∈ Graph，以及 v ∈ ∈ ∈ V，e ∈ ∈ ∈ E，主要操作有：

Graph Crate()：建立并返回空图；
Graph InsertVertex(Graph G,Vertex v)：将v插入G；
Graph InsertEdge(Graph G,Edge e)：将e插入G；
void DFS(Graph G,Vertex v)：从顶点v出发深度优先遍历图G；
void BFS(Graph G,Vertex v)：从顶点v出发宽度优先遍历图G；
void shortestPath (Graph G, vertex v, int Dist[])：计算图G中顶点v到任意其他顶点的最短距离；
void MST (Graph G)：计算图G的最小生成树。

1.3 常见术语

无向图：图中所有的边无所谓方向。
有向图： 图中的边可能是双向，也可能是单向的，方向是很重要的。
权值： 给图中每条边赋予的值，可能有各种各样的现实意义。
网络： 带权值的图。
邻接点： 有边直接相连的顶点。
出度： 从某顶点发出的边数。
入度： 指向某顶点的边数。
稀疏图： 顶点很多而边很少的图。
稠密图： 顶点多边也多的图。
完全图： 对于给定的一组顶点，顶点间都存在边。

1.4 怎么在程序中表示一个图

1.4.1 邻接矩阵

邻接矩阵： G [ N ] [ N ] G[N][N] G[N][N]——N个顶点从0到N-1编号
G [ i ] [ j ] = { 1 若 < v i , v j > 是 G 中的边 0 否则 G[i][j]=\left\{\begin{matrix} 1 \ _{}\ _{}若<v_{i},v_{j}>是G中的边\\ 0 \ _{}\ _{}否则 \ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{} \end{matrix}\right. G[i][j]={1 若<vi,vj>是G中的边0 否则下图左边所示的图的邻接矩阵如右边所示。

问题： 对于无向图的存储，怎样可以省一半空间?
方法： 用一个长度为N(N+1)/2的1维数组A存储 { G 00 , G 10 , G 11 , . . . . . . , G n − 1 0 , . . . . . . , G n − 1 n − 1 } \{G_{00},G_{10},G_{11},......,G_{n-1 \ _{}0} ,......,G_{n-1\ _{} n-1}\} {G00,G10,G11,......,Gn−1 0,......,Gn−1 n−1}，则 G i j G_{ij} Gij在A中对应的下标是 ( i ∗ ( i + 1 ) / 2 + j ) (i*(i+1)/2 +j) (i∗(i+1)/2+j)。

对于网络，只要把 G [ i ] [ j ] G[i][j] G[i][j]的值定义为边 < v i , v j > <v_{i},v_{j}> <vi,vj>的权重即可。
问题： v i v_{i} vi和 v j v_{j} vj之间若没有边该怎么表示?

优点： 1. 直观、简单、好理解；
2. 方便检查任意一对顶点间是否存在边；
3. 方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点)
4. 方便计算任一顶点的“度”(从该点发出的边数为“出度”，指向该点的边数为“入度”)
● 无向图：对应行（或列）非0元素的个数
● 有向图：对应行非0元素的个数是“出度”；对应列非0元素的个数是“入度”。

缺点： 1. 浪费空间：存稀疏图（点很多而边很少)有大量无效元素；
● 对稠密图（特别是完全图)还是很合算的
2. 浪费时间：统计稀疏图中一共有多少条边。

1.4.2 邻接表

邻接表： G[N]为指针数组，对应矩阵每行一个链表，只存非0元素。

下图左边所示的图的邻接表如右边所示。

对于网络，结构中要增加权重的域。

特点： 1. 方便找任一顶点的所有“邻接点”；
2. 节约稀疏图的空间；
● 需要N个头指针＋2E个结点（每个结点至少2个域)
3. 方便计算任一顶点的“度”?
● 对无向图：是的
● 对有向图：只能计算“出度”，需要构造“逆邻接表”（存指向自己的边)来方便计算“入度”
4. 方便检查任意一对顶点间是否存在边? No

1.5 图的建立

对于图1所示的图，分别用邻接矩阵和邻接表表示法建立图。

图1

1.5.1 使用邻接矩阵表示图

使用邻接矩阵表示法建立图的代码实现如下所示。

#include<iostream>
using namespace std;/* 图的邻接矩阵表示法 */
#define MaxVertexNum 100    // 最大顶点数设为100
typedef int Vertex;         // 用顶点下标表示顶点,为整型
typedef int WeightType;        // 边的权值设为整型
typedef char DataType;        // 顶点存储的数据类型设为字符型/* 边的定义 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode {Vertex V1, V2;    // 有向边<V1,V2> WeightType Weight;  // 权重
};
typedef PtrToENode Edge;/* 图结点的定义 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode {int Nv;   // 顶点数 int Ne;   // 边数WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum];  //邻接矩阵DataType Data[MaxVertexNum]; // 存顶点的数据 /* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data[]可以不用出现 */
};
typedef PtrToGNode MGraph;  // 以邻接矩阵存储的图类型// 初始化图
MGraph CreateGraph(int VertexNum)
{Vertex V, W;MGraph Graph;Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode));  // 建立图Graph->Nv = VertexNum;Graph->Ne = 0;/* 初始化邻接矩阵 *//* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */for (V = 0; V < VertexNum; V++)for (W = 0; W < VertexNum; W++)Graph->G[V][W] = 0;return Graph;
}// 插入边
void InsertEdge(MGraph Graph, Edge E)
{// 插入边 <V1,V2>Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;// 如果是无向图，还需要插入边 <V2,V1>Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;
}// 建图
MGraph BuildGraph()
{MGraph Graph;Edge E;Vertex V;int Nv, i;cin >> Nv;   // 读入顶点数 Graph = CreateGraph(Nv);  // 初始化有Nv个顶点但没有边的图cin >>(Graph->Ne);  // 读入边数 if (Graph->Ne != 0)  // 如果有边{E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode));  // 建立边结点for (i = 0; i < Graph->Ne; i++) {cin >> E->V1 >> E->V2 >> E->Weight;// 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接矩阵 InsertEdge(Graph, E);}}// 如果顶点有数据的话，读入数据for (V = 0; V < Graph->Nv; V++)cin >> (Graph->Data[V]);return Graph;
}// 遍历图
void Print(MGraph Graph)
{Vertex V, W;for (V = 0; V < Graph->Nv; V++) {for (W = 0; W < Graph->Nv; W++)cout << Graph->G[V][W];cout << endl;}
}int main()
{MGraph Graph;Graph = BuildGraph();Print(Graph);system("pause");return 0;
}

对于图1所示的图，使用邻接矩阵表示法建立图的测试效果如下图所示。

1.5.2 使用邻接表表示图

使用邻接表表示法建立图的代码实现如下所示。

#include<iostream>
using namespace std;/* 图的邻接表表示法 */
#define MaxVertexNum 100  // 最大顶点数设为100
typedef int Vertex;  // 用顶点下标表示顶点,为整型
typedef int WeightType;  // 边的权值设为整型
typedef char DataType;  // 顶点存储的数据类型设为字符型/* 边的定义 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode {Vertex V1, V2;  // 有向边<V1, V2>WeightType Weight;  // 权重
};
typedef PtrToENode Edge;/* 邻接点的定义 */
typedef struct AdjVNode *PtrToAdjVNode;
struct AdjVNode {Vertex AdjV;  // 邻接点下标WeightType Weight;  // 边权重PtrToAdjVNode Next;  // 指向下一个邻接点的指针
};/* 顶点表头结点的定义 */
typedef struct Vnode {PtrToAdjVNode FirstEdge;  // 边表头指针DataType Data;  // 存顶点的数据/* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data可以不用出现 */
} AdjList[MaxVertexNum];  // AdjList是邻接表类型/* 图结点的定义 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode {int Nv;  // 顶点数int Ne;  // 边数AdjList G;  // 邻接表
};
typedef PtrToGNode LGraph;  // 以邻接表方式存储的图类型LGraph CreateGraph(int VertexNum)  // 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图
{Vertex V;LGraph Graph;Graph = (LGraph)malloc(sizeof(struct GNode));  // 建立图Graph->Nv = VertexNum;  // 初始化边Graph->Ne = 0;  // 初始化点/* 初始化邻接表头指针 *//* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */for (V = 0; V < Graph->Nv; V++)Graph->G[V].FirstEdge = NULL;return Graph;
}void InsertEdge(LGraph Graph, Edge E)  // 插入一条边到邻接表的顶点指针之后
{PtrToAdjVNode NewNode;/* 插入边 <V1, V2> */// 为V2建立新的邻接点NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));NewNode->AdjV = E->V2;NewNode->Weight = E->Weight;// 将V2插入V1的表头NewNode->Next = Graph->G[E->V1].FirstEdge;Graph->G[E->V1].FirstEdge = NewNode;/* 若是无向图，还要插入边 <V2, V1> */// 为V1建立新的邻接点NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));NewNode->AdjV = E->V1;NewNode->Weight = E->Weight;// 将V1插入V2的表头NewNode->Next = Graph->G[E->V2].FirstEdge;Graph->G[E->V2].FirstEdge = NewNode;
}// 建图
LGraph BuildGraph()
{LGraph Graph;Edge E;Vertex V;int Nv, i;cin >> Nv;  // 读入顶点个数Graph = CreateGraph(Nv);  // 初始化有Nv个顶点但没有边的图cin >> (Graph->Ne);  // 读入边数if (Graph->Ne != 0)  // 如果有边{E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode));  // 建立边结点for (i = 0; i < Graph->Ne; i++) {cin >> E->V1 >> E->V2 >> E->Weight;  // 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接矩阵InsertEdge(Graph, E);}}// 如果顶点有数据的话，读入数据for (V = 0; V < Graph->Nv; V++)cin >> (Graph->G[V].Data);return Graph;
}// 打印
void Print(LGraph Graph)
{Vertex v;PtrToAdjVNode temp;for (v = 0; v < Graph->Nv; v++) {temp = Graph->G[v].FirstEdge;cout << v << " ";while (temp) {cout << temp->AdjV << " ";temp = temp->Next;}cout << endl;}
}int main()
{LGraph Graph;Graph = BuildGraph();Print(Graph);system("pause");return 0;
}

对于图1所示的图，使用邻接表表示法建立图的测试效果如下图所示。

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