模拟角频率和数字角频率的关系

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概念

模拟频率f：每秒经历多少个周期，单位Hz，即1/s；
模拟角频率Ω：每秒经历多少弧度，单位rad/s；
数字频率w：每个采样点间隔之间的弧度，单位rad。
数字频率与模拟频率相互转化：w=2*pi*f/fs

解释

我们通常所说的频率，在没有特别指明的情况下，指的是模拟频率，其单位为赫兹(Hz)，或者为1/秒(1/s)，数学符号用f来表示。这是因为现实世界中的信号大多为模拟信号，频率是其重要的物理特性。以赫兹表示的模拟频率表示的是每秒时间内信号变化的周期数。如果用单位圆表示的话，如图1所示，旋转一圈表示信号变化一个周期，则模拟频率则指的是每秒时间内信号旋转的圈数。

图1 数字频率与模拟频率

模拟频率中还有一个概念是模拟角频率，数学符号常用Ω来表示，其单位为弧度/秒(rad/s)。从单位圆的角度看，模拟频率是每秒时间内信号旋转的圈数，每一圈的角度变化数为2π2π的弧度。即：

Ω=2π∗f(rad/s)(1)(1)Ω=2π∗f(rad/s)

数字信号大多是从模拟信号采样而得，采样频率通常用fs表示。数字频率更准确的叫法应该是归一化数字角频率，其单位为弧度(rad)，数学符号常用ω表示。即：

ω=2pi*f/fs(rad) (2)

其物理意义是相邻两个采样点之间所变化的弧度数，如图1所示。

有了公式(1)和(2)，我们就可以在模拟频率与数字频率之间随意切换。假定有一个正弦信号x[n]，其频率f=100Hz，幅度为A，初始相位为0，则这个信号用公式可以表示为：

x(t) =A*sin(2*pi*100*t)

用采样频率fs=500Hz对其进行采样，得到的数字信号x[n]为：

x[n] =A*sin(2*pi*100*n/fs)= A*sin(0.4*pi*n)

很明显，这个数字信号的频率为0.4pi。

由上述讨论可知，对应两个数字频率完全相同的信号，其模拟频率未必相同，因为这里还要考虑采样频率。这种归一化为处理带来了方便，但也给理解带来了困惑。在数字信号中，虽然经常不显式地出现采样频率，但它却是架起模拟信号与数字信号的桥梁，对信号处理的过程有举足轻重的影响。

表达式：
模拟频率f： cos(2pi*f*t)
模拟角频率Ω： cos(Ω*t);
数字频率w： cos(w*n)=cos(Ω*n*T) [T为采样间隔时间]。

关系：
Ω=2pi*f；
w =Ω*T。

推导：
cos(2pi*f*t) = cos(Ω*t) = cos(Ω*n*T) = cos(Ω*T*n) = cos(w*n)。

举例：
x(n)=sin(n*4*PI/7)的数字频率=4*PI/7

关键点：
t = n*T：

从时域角度理解：
模拟信号周期：经过2*pi需多长时间，单位s；
ex：f = 10Hz，则周期0.1s;
数字信号周期：经过2*pi需多少个点，单位1；
ex：f = 10Hz，fs = 20Hz，则周期2；
基准关系是2*pi：

从频域角度理解：站在这一角度，重新理解上述变量

补充：
在模拟信号中 f是模拟频率；Ω是模拟角频率，比如sin（Ωt）其中Ω=2*pi*f 当对模拟信号进行抽样后t=n*Ts，其中Ts为抽样周期，Ts=1/fs，fs为抽样频率。把t=n*Ts回带入式子中，这时sin（Ωt）就变成了sin（Ω*Ts*n），此时的角频率称为数字角频率w，w=Ω*Ts，即sin（Ω*Ts*n）=sin（wn）。w=Ω/fs=2*pi*f/fs。此时w也称为数字频率，因为它是一个相对频率（仅仅是一种称呼），这时的w就不能简单的用w=2*pi*f来计算了，因为此时f是谁？不过当把f/fs当做一个新的f时也是可以等效为w=2*pi*f的。

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https://blog.csdn.net/gtkknd/article/details/51887025

模拟频率、数字频率、模拟角频率

概念：
模拟频率f：每秒经历多少个周期，单位Hz，即1/s；
模拟角频率Ω：每秒经历多少弧度，单位rad/s；
数字频率w：每个采样点间隔之间的弧度，单位rad。

表达式：
模拟频率f： cos(2pift)
模拟角频率Ω： cos(Ωt);
数字频率w： cos(wn)=cos(ΩnT) [T为采样间隔时间]。

关系：
Ω=2pif；
w =ΩT。

推导：
cos(2pift) = cos(Ωt) = cos(ΩnT) = cos(ΩTn) = cos(wn)。

举例：
x(n)=sin(n4PI/7)的数字频率=4*PI/7

关键点：
t = n*T：

从时域角度理解：
模拟信号周期：经过2pi需多长时间，单位s；
ex：f = 10Hz，则周期0.1s;
数字信号周期：经过2pi需多少个点，单位1；
ex：f = 10Hz，fs = 20Hz，则周期2；
基准关系是2*pi：

从频域角度理解：站在这一角度，重新理解上述变量

补充：
在模拟信号中 f是模拟频率；Ω是模拟角频率，比如sin（Ωt）其中Ω=2pif 当对模拟信号进行抽样后t=nTs，其中Ts为抽样周期，Ts=1/fs，fs为抽样频率。把t=nTs回带入式子中，这时sin（Ωt）就变成了sin（ΩTsn），此时的角频率称为数字角频率w，w=ΩTs，即sin（ΩTsn）=sin（wn）。w=Ω/fs=2pif/fs。此时w也称为数字频率，因为它是一个相对频率（仅仅是一种称呼），这时的w就不能简单的用w=2pif来计算了，因为此时f是谁？不过当把f/fs当做一个新的f时也是可以等效为w=2pi*f的。

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