动态规划 1.背包问题

原文链接：https://www.acwing.com/solution/content/1374/

文章目录

1. 题目介绍
2. 题解代码（C++）
- 2.1 版本1 二维
- 2.2 版本2 一维
- 2.3 版本3 优化输入

1. 题目介绍

有 N 件物品和一个容量为 V 的背包，每件物品有各自的价值且只能被选择一次，要求在有限的背包容量下，装入的物品总价值最大。

「0-1 背包」是较为简单的动态规划问题，也是其余背包问题的基础。

动态规划是不断决策求最优解的过程，「0-1 背包」即是不断对第 i 个物品的做出决策，「0-1」正好代表不选与选两种决定。

2. 题解代码（C++）

2.1 版本1 二维

（1）状态f[i][j]定义：在背包容量为 j 下，考虑前 i 个物品（从前 i 个物品中任意挑选）的最优解（最大价值）：
当前的状态依赖于之前的状态，可以理解为从初始状态f[0][0] = 0开始决策，有 N 件物品，则需要 N 次决策，每一次对第 i 件物品的决策，状态f[i][j]不断由之前的状态更新而来。
（2）当前背包容量不够（j < v[i]），则该状态一定是通过上一个状态不选择第i个物品而得到的。因此前 i 个物品背包容量 j 下的最优解即为前i−1 个物品背包容量 j 下的最优解，对应代码：f[i][j] = f[i - 1][j]。
（3）当前背包容量够，可以选，因此需要决策选与不选第 i 个物品：

选：f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]。
不选：f[i][j] = f[i - 1][j] 。
我们的决策是如何取到最大价值，因此以上两种情况取 max() 。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int MAXN = 1005;
int v[MAXN];    // 体积
int w[MAXN];    // 价值
int f[MAXN][MAXN];  // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值 int main()
{int n, m;   cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= m; j++){//  当前背包容量装不进第i个物品if(j < v[i]) f[i][j] = f[i - 1][j];// 能装，需进行决策是否选择第i个物品else    f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);}           cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

2.2 版本2 一维

将状态f[i][j]优化到一维f[j]，实际上只需要做一个等价变形。

为什么可以这样变形呢？我们定义的状态f[i][j]可以求得任意合法的 i 与 j 最优解，但题目只需要求得最终状态f[n][m]，因此我们只需要一维的空间来更新状态。

（1）状态 f[j] 定义：N 件物品，背包容量j下的最优解。

（2）注意枚举背包容量j必须从m开始。

（3）为什么一维情况下枚举背包容量需要逆序？在二维情况下，状态f[i][j]是由上一轮i - 1的状态得来的，f[i][j]与f[i - 1][j]是独立的。而优化到一维后，如果我们还是正序，则有f[较小体积]更新到f[较大体积]，则本应该用第i-1轮的状态却用的是第i轮的状态。例如，当更新到f[i][j]时，用 f[i - 1][j - v[i]] 计算f[i][j]，因为是从小到大枚举j，则在第i轮，更新到j时，j - v[i]一定已经被更新过了，所以此时用到的f[j - v[i]]实际上是第i轮的。而此时如果从大到小枚举j，在第i轮更新到f[i][j]时要用到的f[j - v[i]]在第i轮还没有被更新过，所以此时用到的f[j - v[i]]一定是上一轮，即第i-1轮的f[j - v[i]]，刚好与原二维代码等价。

状态转移方程为：f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]) 。

for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = m; j >= 0; j--){if(j < v[i]) //f[i][j] = f[i - 1][j];  // 优化前f[j] = f[j];            // 优化后，该行自动成立，可省略。else    //f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);  // 优化前f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);                   // 优化后}

实际上，只有当枚举的背包容量 >= v[i] 时才会更新状态，因此我们可以修改循环终止条件进一步优化。

for(int i = 1; i <= n; i++)
{for(int j = m; j >= v[i]; j--)  f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}

关于状态f[j]的补充说明
二维下的状态定义f[i][j]是前 i 件物品，背包容量 j 下的最大价值。一维下，少了前 i 件物品这个维度，我们的代码中决策到第 i 件物品（循环到第i轮），f[j]就是前i轮已经决策的物品且背包容量 j 下的最大价值。

因此当执行完循环结构后，由于已经决策了所有物品，f[j]就是所有物品背包容量 j 下的最大价值。即一维f[j]等价于二维f[n][j]。

2.3 版本3 优化输入

我们注意到在处理数据时，我们是一个物品一个物品，一个一个体积的枚举。

因此我们可以不必开两个数组记录体积和价值，而是边输入边处理。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int MAXN = 1005;
int f[MAXN];  // int main()
{int n, m;   cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) {int v, w;cin >> v >> w;      // 边输入边处理for(int j = m; j >= v; j--)f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);}cout << f[m] << endl;return 0;
}