动态规划之背包问题的一些基础简单入门题

前言

参考视频教程洛谷试练场普及组动态规划的背包问题

主要有01背包问题、完全背包问题、分组背包问题。

01背包问题一般从右往左推；

完全背包问题一般从左往右推；

分组背包一般用01的方法但需要记得分组；

还是需要慢慢理解。

以简单基础普及题型为例，可在洛谷上查找题目提交，代码仅供参考。

题目列表：

1.P1048 [NOIP2005 普及组] 采药

2.P1060 [NOIP2006 普及组] 开心的金明

3.P1049 [NOIP2001 普及组] 装箱问题

4.P1164 小A点菜

5.P1734 最大约数和

6.P1510 精卫填海

7.P1466 [USACO2.2]集合 Subset Sums

8.P1616 疯狂的采药

9.P1679 神奇的四次方数

10.P1757 通天之分组背包

11.P1064 [NOIP2006 提高组] 金明的预算方案

1.P1048 [NOIP2005 普及组] 采药

题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

第一行有 22 个整数 TT（1 \le T \le 10001≤T≤1000）和 MM（1 \le M \le 1001≤M≤100），用一个空格隔开，TT 代表总共能够用来采药的时间，MM 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 MM 行每行包括两个在 11 到 100100 之间（包括 11 和 100100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

说明/提示

【数据范围】

对于 30%30% 的数据，M \le 10M≤10；
对于全部的数据，M \le 100M≤100。

代码

#include <iostream>using namespace std;
int t, m, tt[105], money[105], dp[1005];int main()
{cin >> t >> m;for (int i = 1; i <= m; i++){cin >> tt[i] >> money[i];}for (int i = 1; i <= m; i++){for (int j = t; j >= tt[i]; j--){dp[j] = max(dp[j - tt[i]] + money[i], dp[j]);}}cout << dp[t];
}

2.P1060 [NOIP2006 普及组] 开心的金明

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过NN元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的NN元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为55等：用整数1-51−5表示，第55等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过NN元（可以等于NN元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第jj件物品的价格为v[j]v[j]，重要度为w[j]w[j]，共选中了kk件物品，编号依次为j_1,j_2,…,j_kj1,j2,…,j**k，则所求的总和为：

v[j_1] \times w[j_1]+v[j_2] \times w[j_2]+ …+v[j_k] \times w[j_k]v[j1]×w[j1]+v[j2]×w[j2]+…+v[j**k]×w[j**k]。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行，为22个正整数，用一个空格隔开：n,mn,m（其中N(<30000)N(<30000)表示总钱数，m(<25)m(<25)为希望购买物品的个数。）

从第22行到第m+1m+1行，第jj行给出了编号为j-1j−1的物品的基本数据，每行有22个非负整数v pv**p（其中vv表示该物品的价格(v \le 10000)(v≤10000)，pp表示该物品的重要度(1-51−5)

输出格式

11个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值(<100000000)(<100000000)。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

代码

#include <iostream>using namespace std;
int n, m, v[30], w[30], dp[30010];int main()
{cin >> n >> m;        //跟上面一题同样思路for (int i = 1; i <= m; i++){cin >> v[i] >> w[i];}for (int i = 1; i <= m; i++){for (int t = n; t >= v[i]; t--){dp[t] = max(dp[t - v[i]] + v[i] * w[i], dp[t]);}}cout << dp[n];
}

3.P1049 [NOIP2001 普及组] 装箱问题

题目描述

有一个箱子容量为VV（正整数，0 \le V \le 200000≤V≤20000），同时有nn个物品（0<n \le 300<n≤30，每个物品有一个体积（正整数）。

要求nn个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

输入格式

11个整数，表示箱子容量

11个整数，表示有nn个物品

接下来nn行，分别表示这nn个物品的各自体积

输出格式

11个整数，表示箱子剩余空间。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

代码

#include <iostream>using namespace std;
int v, n, t[35], dp[20020];
//int vis[35];
//int maxx;//void dfs(int sum)
//{
//  for(int i=1;i<=n;i++)
//  {
//      if(vis[i]==1)
//      {
//          continue;
//      }else
//      {
//          vis[i]=1;
//          if(sum+t[i]<=v)
//          {
//              maxx = max(maxx,sum+t[i]);
//          }else
//          {
//              vis[i]=0;
//              continue;
//          }
//          dfs(sum+t[i]);
//          vis[i]=0;
//      }
//  }
//}int main()
{cin >> v;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> t[i];}for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = v; j >= t[i]; j--){dp[j] = max(dp[j - t[i]] + t[i], dp[j]);if (dp[j] == v){cout << "0";return 0;}}}cout << v - dp[v];return 0;//  for(int i=1;i<=n;i++)   //尝试用递归的方法做，超时 // {//     vis[i]=1;//        dfs(t[i]);//        vis[i]=0;//    }// cout<<v-maxx;
}

4.P1164 小A点菜

题目背景

uim神犇拿到了uoi的ra（镭牌）后，立刻拉着基友小A到了一家……餐馆，很低端的那种。

uim指着墙上的价目表（太低级了没有菜单），说：“随便点”。

题目描述

不过uim由于买了一些辅（e）辅（ro）书，口袋里只剩MM元(M \le 10000)(M≤10000)。

餐馆虽低端，但是菜品种类不少，有NN种(N \le 100)(N≤100)，第ii种卖a_ia**i元(a_i \le 1000)(a**i≤1000)。由于是很低端的餐馆，所以每种菜只有一份。

小A奉行“不把钱吃光不罢休”，所以他点单一定刚好吧uim身上所有钱花完。他想知道有多少种点菜方法。

由于小A肚子太饿，所以最多只能等待11秒。

输入格式

第一行是两个数字，表示NN和MM。

第二行起NN个正数a_ia**i（可以有相同的数字，每个数字均在10001000以内）。

输出格式

一个正整数，表示点菜方案数，保证答案的范围在intint之内。

输入输出样例

输入 #1复制

4 4
1 1 2 2

输出 #1复制

代码

#include <iostream>using namespace std;   //这题理解不透彻
int n, m, a[1010], dp[10010][10010];
int dpp[10010] = { 1 };   //方案数肯定有一个 ，但我另一个方法又可以过，有点懵
int sum;
int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> a[i];}for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = m; j >= a[i]; j--){dpp[j] = dpp[j] + dpp[j - a[i]];   //有点难理解，就是方案数等于当前方案数加上剩下的钱的方案数 }}//  for(int i=1;i<=n;i++)//  {//     for(int j=1;j<=m;j++)//      {//         if(a[i]<j) //当前菜品价格小于花费钱数 ，则可以方案数加上剩下钱的方案数 //         dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-a[i]];//            if(a[i]==j)  //当前菜品价格等于花费钱数 ，则方案加一 //          dp[i][j]=dp[i-1][j]+1;//          if(a[i]>j) //当前菜品价格等于花费钱数 ，则方案不变 //           dp[i][j]=dp[i-1][j];//     }// }// cout<<dp[n][m];cout << dpp[m];
}

5.P1734 最大约数和

题目描述

选取和不超过S的若干个不同的正整数，使得所有数的约数（不含它本身）之和最大。

输入格式

输入一个正整数S。

输出格式

输出最大的约数之和。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

说明/提示

样例说明

取数字4和6，可以得到最大值(1+2)+(1+2+3)=9。

数据规模

S<=1000

代码

#include <iostream>using namespace std;int s, v[1010], dp[1010];int main()
{cin >> s;for (int i = 1; i <= s; i++){for (int j = 1; j < i; j++){if (i % j == 0){v[i] += j;}}}for (int i = 1; i <= s; i++){for (int j = s; j >= i; j--){dp[j] = max(dp[j], dp[j - i] + v[i]);   //突然就不是很理解了  2021.4.11 17:12 }}cout << dp[s];
}

6.P1510 精卫填海

【问题描述】

发鸠之山，其上多柘木。有鸟焉，其状如乌，文首，白喙，赤足，名曰精卫，其名自詨。是炎帝之少女，名曰女娃。女娃游于东海，溺而不返，故为精卫。常衔西山之木石，以堙于东海。——《山海经》

精卫终于快把东海填平了！只剩下了最后的一小片区域了。同时，西山上的木石也已经不多了。精卫能把东海填平吗？

事实上，东海未填平的区域还需要至少体积为v的木石才可以填平，而西山上的木石还剩下n块，每块的体积和把它衔到东海需要的体力分别为k和m。精卫已经填海填了这么长时间了，她也很累了，她还剩下的体力为c。

输入格式

输入文件的第一行是三个整数：v、n、c。

从第二行到第n+1行分别为每块木石的体积和把它衔到东海需要的体力。

输出格式

输出文件只有一行，如果精卫能把东海填平，则输出她把东海填平后剩下的最大的体力，否则输出’Impossible’（不带引号）。

输入输出样例

输入 #1复制

100 2 10
50 5
50 5

输出 #1复制

输入 #2复制

10 2 1
50 5
10 2

输出 #2复制

Impossible

说明/提示

【数据范围】

对于20%的数据，0<n<=50。

对于50%的数据，0<n<=1000。

对于100%的数据，0<n<=10000，所有读入的数均属于[0,10000]，最后结果<=c。

代码

#include <iostream>using namespace std;
int v, n, c, tj[10010], li[10010], dp[100101];int main()
{cin >> v >> n >> c;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> tj[i] >> li[i];}for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = c; j >= li[i]; j--)    //以 力 为衡量{dp[j] = max(dp[j], dp[j - li[i]] + tj[i]);}}for (int i = 1; i <= c; i++){if (dp[i] >= v){cout << c - i;return 0;}}cout << "Impossible";return 0;
}

7.P1466 [USACO2.2]集合 Subset Sums

题目描述

对于从 1\sim n1∼n 的连续整数集合，能划分成两个子集合，且保证每个集合的数字和是相等的。举个例子，如果 n=3n=3，对于 {1,2,3}{1,2,3} 能划分成两个子集合，每个子集合的所有数字和是相等的：

{3}{3} 和 {1,2}{1,2} 是唯一一种分法（交换集合位置被认为是同一种划分方案，因此不会增加划分方案总数）
如果 n=7n=7，有四种方法能划分集合 {1,2,3,4,5,6,7 }{1,2,3,4,5,6,7}，每一种分法的子集合各数字和是相等的:

{1,6,7}{1,6,7} 和 {2,3,4,5}{2,3,4,5}
{2,5,7}{2,5,7} 和 {1,3,4,6}{1,3,4,6}
{3,4,7}{3,4,7} 和 {1,2,5,6}{1,2,5,6}
{1,2,4,7}{1,2,4,7} 和 {3,5,6}{3,5,6}

给出 nn，你的程序应该输出划分方案总数。

输入格式

输入文件只有一行，且只有一个整数 nn

输出格式

输出划分方案总数。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

说明/提示

【数据范围】
对于 100%100% 的数据，1\le n \le 391≤n≤39。

代码

#include <iostream>using namespace std;long long  dp[10010] = { 1 };  //注意默认有一个方案 int main()
{int n;cin >> n;int m = (1 + n) * n / 2;if (m % 2 == 1){cout << "0";return 0;}for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = m / 2; j >= i; j--){dp[j] = dp[j] + dp[j - i];}}cout << dp[m / 2] / 2;return 0;
}

8.P1616 疯狂的采药

题目描述

LiYuxiang 是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是 LiYuxiang，你能完成这个任务吗？

此题和原题的不同点：

每种草药可以无限制地疯狂采摘。
药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

输入格式

输入第一行有两个整数，分别代表总共能够用来采药的时间 tt 和代表山洞里的草药的数目 mm。

第 22 到第 (m + 1)(m+1) 行，每行两个整数，第 (i + 1)(i+1) 行的整数 a_i, b_ia**i,b**i 分别表示采摘第 ii 种草药的时间和该草药的价值。

输出格式

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

说明/提示

数据规模与约定

对于 30%30% 的数据，保证 m \le 10^3m≤103 。
对于 100%100% 的数据，保证 1 \leq m \le 10^41≤m≤104，1 \leq t \leq 10^71≤t≤107，且 1 \leq m \times t \leq 10^71≤m×t≤107，1 \leq a_i, b_i \leq 10^41≤a**i,b**i≤104。

代码

#include <iostream>using namespace std;  //完全背包问题
long long t, m, a[1000010], b[1000010], dp[10000010];int main()
{cin >> t >> m;for (long long i = 1; i <= m; i++){cin >> a[i] >> b[i];}for (long long i = 1; i <= m; i++){for (long long j = a[i]; j <= t; j++)   //完全背包从左往右 {dp[j] = max(dp[j], dp[j - a[i]] + b[i]);}}cout << dp[t];return 0;
}

9.P1679 神奇的四次方数

题目描述

在你的帮助下，v神终于帮同学找到了最合适的大学，接下来就要通知同学了。在班级里负责联络网的是dm同学，于是v神便找到了dm同学，可dm同学正在忙于研究一道有趣的数学题，为了请dm出山，v神只好请你帮忙解决这道题了。

题目描述：将一个整数m分解为n个四次方数的和的形式，要求n最小。例如，m=706,706=5⁴⁺³4,则n=2。

输入格式

一行，一个整数m。

输出格式

一行，一个整数n。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

说明/提示

数据范围：对于30%的数据，m<=5000;对于100%的数据，m<=100,000

代码

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m, dp[100010], a[100010];
int main()
{cin >> m;int cnt;memset(dp, 60, sizeof(dp));dp[0] = 0;for (int i = 1; i <= m; i++){a[i] = pow(i, 4);if (a[i] > m){cnt = i;break;}}for (int i = 1; i <= cnt; i++){for (int j = a[i]; j <= m; j++){dp[j] = min(dp[j], dp[j - a[i]] + 1);}}cout << dp[m];return 0;
}

10.P1757 通天之分组背包

题目描述

自 0101 背包问世之后，小 A 对此深感兴趣。一天，小 A 去远游，却发现他的背包不同于 0101 背包，他的物品大致可分为 kk 组，每组中的物品相互冲突，现在，他想知道最大的利用价值是多少。

输入格式

两个数 m,nm,n，表示一共有 nn 件物品，总重量为 mm。

接下来 nn 行，每行 33 个数 a_i,b_i,c_ia**i,b**i,c**i，表示物品的重量，利用价值，所属组数。

输出格式

一个数，最大的利用价值。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

说明/提示

1 \leq m, n \leq 10001≤m,n≤1000。

代码

#include <iostream>using namespace std;
int m, n, dp[1010];
struct bag
{int tat;int w[1010];int v[1010];
}a[1010];int main()
{cin >> m >> n;int cnt = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){int x, y, z;cin >> x >> y >> z;cnt = max(cnt, z);  //组数 a[z].tat++;      //组内的数量 a[z].w[a[z].tat] = x;a[z].v[a[z].tat] = y;}for (int i = 1; i <= cnt; i++){for (int j = m; j >= 0; j--){for (int k = 1; k <= a[i].tat; k++){if (j - a[i].w[k] >= 0)dp[j] = max(dp[j], dp[j - a[i].w[k]] + a[i].v[k]);}}}cout << dp[m];return 0;
}

11.P1064 [NOIP2006 提高组] 金明的预算方案

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 nn 元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 00 个、11 个或 22 个附件。每个附件对应一个主件，附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的 nn 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 55 等：用整数 1 \sim 51∼5 表示，第 55 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 1010 元的整数倍）。他希望在不超过 nn 元的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 jj 件物品的价格为 v_jv**j，重要度为w_jw**j，共选中了 kk 件物品，编号依次为 j_1,j_2,\dots,j_kj1,j2,…,j**k，则所求的总和为：

v_{j_1} \times w_{j_1}+v_{j_2} \times w_{j_2}+ \dots +v_{j_k} \times w_{j_k}v**j1×w**j1+v**j2×w**j2+⋯+vjk×wjk。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行有两个整数，分别表示总钱数 nn 和希望购买的物品个数 mm。

第 22 到第 (m + 1)(m+1) 行，每行三个整数，第 (i + 1)(i+1) 行的整数 v_iv**i，p_ip**i，q_iq**i 分别表示第 ii 件物品的价格、重要度以及它对应的的主件。如果 q_i=0q**i=0，表示该物品本身是主件。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

说明/提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 1 \leq n \leq 3.2 \times 10^41≤n≤3.2×104，1 \leq m \leq 601≤m≤60，0 \leq v_i \leq 10^40≤v**i≤104，1 \leq p_i \leq 51≤p**i≤5，0 \leq q_i \leq m0≤q**i≤m，答案不超过 2 \times 10^52×105。

代码

#include <iostream>using namespace std;
int n, m, dp[100010];struct bag
{int tot;int p[5];  //总共有4种可能int v[5];
}a[100];int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= m; i++){int x, y, z;cin >> x >> y >> z;if (z == 0){a[i].tot = 1;a[i].p[1] = x;a[i].v[1] = x * y;}else{if (a[z].tot == 1){a[z].p[2] = a[z].p[1] + x;    //因为题目说最多两个附件，一个个放进去后面再dp的时候算最优的就行了 a[z].v[2] = a[z].v[1] + x * y;a[z].tot = 2;}else{a[z].p[3] = a[z].p[1] + x;a[z].v[3] = a[z].v[1] + x * y;a[z].p[4] = a[z].p[2] + x;a[z].v[4] = a[z].v[2] + x * y;a[z].tot = 4;}}}for (int i = 1; i <= m; i++){for (int j = n; j >= 0; j--){for (int k = 1; k <= a[i].tot; k++)  //分组背包噢 {if (j - a[i].p[k] >= 0)     //这个别忘了 dp[j] = max(dp[j], dp[j - a[i].p[k]] + a[i].v[k]);}}}cout << dp[n];return 0;
}

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题目来自lintcode,答案来自九章算术,将自己在lintcode上训练的一些简单算法题贴出来,作为知识的总结与整理.便于查看复习. 第一部分(入门级别,只做了开放的部分,大部分需要收费的VIP才有 ...
动态规划（dynamic programming）基础【背包问题】
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Python 基础之 jupyter notebook 中机器学习的简单入门书写数字识别 demo 操作学习
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