信息学奥赛一本通 1392：繁忙的都市(city) | 洛谷 P2330 [SCOI2005]繁忙的都市

【题目链接】

ybt 1392：繁忙的都市(city)
洛谷 P2330 [SCOI2005]繁忙的都市

【题目考点】

1. 图论最小生成树

【解题思路】

将题目叙述转为图论概念，交叉路口为顶点，道路为边，道路是双向的，且所有交叉路口都直接或间接连接起来，说明这是无向连通图。每条道路的分值，就是边的权值。政府要改造一些道路，就是选一些边。
三个要求的概念分别为：

选择的边构成的图应该是连通图，且应该包含原图所有顶点。
选择的边尽可能少。
边最少时，该图就成了无根树。边数为顶点数减1。
综合以上两点，选择的边及顶点构成的图就是原图的生成树。
生成树有多种方案，选择其中权值最大的边最小的那一种生成树方案，即瓶颈生成树。

树上最大边权值在图的所有生成树中最小的生成树，叫做瓶颈生成树。
最小生成树一定是瓶颈生成树，但瓶颈生成树未必是最小生成树。（其证明见百度百科）

题目要求的就是瓶颈生成树，我们可以直接求出最小生成树，它一定是瓶颈生成树。
该题顶点数<=300，边数<=100000，使用Prim，Prim堆优化，Kruskal都可以完成该题。

【题解代码】

解法1：朴素Prim算法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 305
struct Edge
{int t, w;Edge(){}Edge(int a, int b):t(a),w(b){};
};
vector<Edge> edge[N];
bool vis[N];
int n, m, mx;
int dis[N];
void initGraph()
{int f, t, w;cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= m; ++i){cin >> f >> t >> w;edge[f].push_back(Edge(t, w));edge[t].push_back(Edge(f, w));}
}
void prim()
{memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));dis[1] = 0;for(int k = 1; k <= n; ++k){int u = 0;for(int i = 1; i <= n; ++i){if(vis[i] == false && (u == 0 || dis[i] < dis[u]))u = i;}vis[u] = true;mx = max(mx, dis[u]);for(int i = 0; i < edge[u].size(); ++i){int v = edge[u][i].t, w = edge[u][i].w;if(vis[v] == false && dis[v] > w)dis[v] = w;}}
}
int main()
{initGraph();prim();cout << n-1 << ' ' << mx;return 0;
}

解法2：Prim算法堆优化

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 305
struct Pair
{int v, d;Pair(){}Pair(int a, int b):v(a),d(b){}bool operator < (const Pair &b) const{return b.d < d;}
};
struct Edge
{int t, w;Edge(){}Edge(int a, int b):t(a),w(b){};
};
vector<Edge> edge[N];
bool vis[N];
int n, m, mx;
int dis[N];
void initGraph()
{int f, t, w;cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= m; ++i){cin >> f >> t >> w;edge[f].push_back(Edge(t, w));edge[t].push_back(Edge(f, w));}
}
void prim()
{memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));priority_queue<Pair> pq;pq.push(Pair(1, 0));dis[1] = 0;while(pq.empty() == false){int u = pq.top().v;pq.pop();if(vis[u])continue;vis[u] = true;mx = max(mx, dis[u]);for(int i = 0; i < edge[u].size(); ++i){int v = edge[u][i].t, w = edge[u][i].w;if(vis[v] == false && dis[v] > w){dis[v] = w;pq.push(Pair(v, dis[v]));}}}
}
int main()
{initGraph();prim();cout << n-1 << ' ' << mx;return 0;
}

解法2：Kruskal算法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 305
struct Edge
{int f, t, w;Edge(){}Edge(int a, int b, int c):f(a),t(b),w(c){};bool operator < (const Edge &b) const{return w < b.w;}
};
vector<Edge> edges;
bool vis[N];
int fa[N];
int n, m, mx, en;
void initFa()
{for(int i = 1; i <= n; ++i)fa[i] = i;
}
int find(int x)
{return x == fa[x] ? x : (fa[x] = find(fa[x]));
}
void merge(int x, int y)
{fa[find(x)] = find(y);
}
void init()
{int f, t, w;cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= m; ++i){cin >> f >> t >> w;edges.push_back(Edge(f, t, w));}
}
void kruskal()
{sort(edges.begin(), edges.end());for(int i = 0; i < edges.size(); ++i){int f = edges[i].f, t = edges[i].t, w = edges[i].w;if(find(f) != find(t)){merge(f, t);mx = max(mx, w);if(++en == n - 1)break;}}
}
int main()
{init();initFa();kruskal();cout << n-1 << ' ' << mx;return 0;
}

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解法2：Prim算法堆优化

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