【证明】—— 二叉树的相关证明

0. 简单结论

对于堆，子树的最大节点数为 2/3n；（树的最底层恰好半满）
- 0 层节点数：20=120=12^0 = 1
- 1层节点数：21=221=22^1=2
- m-1 层节点数：2m−12m−12^{m-1}，一半有左右孩子，2m−22m−22^{m-2}，左右孩子也即底部的叶子节点的数量 2m−12m−12^{m-1}；
  - 前 m-1 层（排除掉最底层）节点数为 2m−12m−12^m-1，前 m−1m−1m-1 层，左边节点右边节点 (2m−1)/2(2m−1)/2(2^m-1)/2；

1. 数学归纳法

Proof that a binary tree with n leaves has a height of at least log n

高度为 nnn 的二叉树，叶子结点不多于 2n" role="presentation">2n2n2^n。

数学归纳法，证明三部曲：
- n=0n=0n=0，只有一个根节点，则叶子结点也为此根节点，为 1，不多于 20202^0
- 令高度为 kkk，叶子结点不多于 2k" role="presentation">2k2k2^k，我们需证明：高度为 k+1k+1k+1 时，叶子结点不多于 2k+12k+12^{k+1}
  
  高度为 k+1k+1k+1 时，考虑其左右孩子，则其左右孩子（也即左右子树），高度不高于 kkk，则左右孩子叶子节点数也均不高于 2k" role="presentation">2k2k2^k，即左子树，树高不高于 kkk，叶子结点数不高于 2k" role="presentation">2k2k2^k，右子树，树高不高于 kkk，叶子结点数不高于 2k" role="presentation">2k2k2^k，则总的叶子节点数：≤2k+2k=2k=1≤2k+2k=2k=1\leq 2^k+2^k=2^{k=1}

2. 二叉堆

任意一个正整数 nnn，均可拆分为 n=(2m−1)+k" role="presentation">n=(2m−1)+kn=(2m−1)+kn=(2^m-1)+k（mmm 为能取得的最大整数），对于包含 n" role="presentation">nnn 个节点的堆，前 m−1m−1m-1 层的节点数为 ∑m−1i=02i=2m−1∑i=0m−12i=2m−1\sum_{i=0}^{m-1}2^i=2^m-1，最底层有 kkk 个叶子节点，并非整个二叉树有 k" role="presentation">kkk 个叶子节点；
高度为 hhh 的堆中，元素个数最多最少分别是多少？

考虑高度为 h−1" role="presentation">h−1h−1h-1 和高度为 hhh 的满二叉树。
- 对于高度为 h−1" role="presentation">h−1h−1h-1 的满二叉树，树中节点的个数为：∑h−1i=02i=2h−1∑i=0h−12i=2h−1\sum_{i=0}^{h-1}2^i=2^h-1（全1二进制数），
- 高度为 hhh 的满二叉树，树中节点个数为：∑i=0h2i=2h+1−1" role="presentation">∑hi=02i=2h+1−1∑i=0h2i=2h+1−1\sum_{i=0}^{h}2^i=2^{h+1}-1
则高度为 h−1h−1h-1 满二叉树节点数+1，即 2h2h2^h 为高度为 hhh 堆节点个数最少的情况；高度为 h" role="presentation">hhh 满二叉树的节点数，即为高度为 hhh 的堆中，元素个数最多的情况；

即任意高度为 h" role="presentation">hhh 的堆中，其包含的节点数范围：[2h,2h+1−1][2h,2h+1−1][2^h, 2^{h+1}-1]

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