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题目传送门 - BZOJ2287

题意

　　有$n$个物品，第$i$个物品的体积为$w_i$。

　　令$cnt_{i,j}$表示不取第$i$个物品，占用$j$体积的方案总数。

　　每一个物品只能取或者不取。

　　让你对于每一个$i,j(1\leq i\leq n,1\leq j\leq m)$输出$cnt_{i,j}$。

　　$n,m\leq 2\times 10^3$

题解

　　这题有两种做法，时间复杂度不同，但是跑出来差不多，嘻嘻。

　　$\Large Solution\ 1:$

　　这个是经典的分治背包问题。第$i$个物品的出现时间为[1,i)U(i,n]。

　　然后你会发现这个就是上一题BZOJ4025的弱化版。只是把并查集的一系列操作改成了$O(m)$背包DP而已。

　　具体不再赘述，自行感受BZOJ4025的做法。

　　时间复杂度$O(n^2\log n)$。

　　$\Large Solution\ 2:$

　　动态规划。

　　首先处理出$f_n$表示没有任何限制搞01背包占用$n$体积的方案总数。

　　考虑得到$cnt_{i,j}$。

　　接下来分两种情况讨论。

　　$j<w_i\Rightarrow cnt_{i,j}=f_j$：显然$f_j$的方案中不可能拿第$i$个物品啊。所以直接等于啊。

　　$j\geq w_i\Rightarrow cnt_{i,j}=f_j-cnt_{i,j-w_i}$：考虑到$f_j$的方案中会有拿了第$i$个物品的情况，所以我们只要考虑减掉拿了第$i$个物品的情况。其他物品所占用的容量显然为$j-w_i$的。但是第$i$个物品只能拿一次啊，所以以后就不能拿了，所以是$cnt_{i,j-w_i}$。

　　时间复杂度$O(n^2)$。

　　然而，实际上跑出来差不多。

2679062	zhouzhendong	2287	Accepted	17008 kb	388 ms	C++/Edit	610 B	2018-03-31 20:01:27
2679058	zhouzhendong	2287	Accepted	17004 kb	452 ms	C++/Edit	942 B	2018-03-31 19:56:48

　　下面的那个是分治的耗时，上面的那个是直接DP。

代码

分治

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2005;
vector <int> x,y;
int n,m,w[N],cnt[N][N];
void solve(int L,int R,vector <int> x,vector <int> &y){vector <int> z;z.clear();for (int i=0;i<y.size();i++){int id=y[i];if (L<=id&&id<=R){z.push_back(id);continue;}for (int j=m-w[id];j>=0;j--)x[j+w[id]]=(x[j+w[id]]+x[j])%10;}if (L==R){for (int i=0;i<=m;i++)cnt[L][i]=x[i];return;}int mid=(L+R)>>1;solve(L,mid,x,z);solve(mid+1,R,x,z);
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);x.clear(),y.clear();x.push_back(1);for (int i=1;i<=m;i++)x.push_back(0);for (int i=1;i<=n;i++)y.push_back(i);solve(1,n,x,y);for (int i=1;i<=n;i++,puts(""))for (int j=1;j<=m;j++)printf("%d",cnt[i][j]);return 0;
}

DP

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2005;
int n,m,w[N],f[N],cnt[N][N];
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);memset(f,0,sizeof f);f[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=m-w[i];j>=0;j--)f[j+w[i]]=(f[j+w[i]]+f[j])%10;for (int i=1;i<=n;i++){for (int j=0;j<w[i];j++)cnt[i][j]=f[j];for (int j=w[i];j<=m;j++)cnt[i][j]=(f[j]-cnt[i][j-w[i]]+10)%10;}for (int i=1;i<=n;i++,puts(""))for (int j=1;j<=m;j++)printf("%d",cnt[i][j]);return 0;
}

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