强化学习读书笔记 - 03 - 有限马尔科夫决策过程

学习笔记：
Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto c 2014, 2015, 2016

代理-环境接口(The agent-environment interface)

代理(agent) - 学习者或者决策者
环境(environment) - 代理外部的一切，代理与之交互。

情节性任务(Episodic Tasks)和连续任务(Continuing Tasks)

情节性任务(Episodic Tasks)，所有的任务可以被可以分解成一系列情节。逻辑上，可以看作为有限步骤的任务。
连续任务(Continuing Tasks) ，所有的任务不能分解。可以看作为无限步骤任务。

马尔科夫属性(The Markov property)

state - 马尔科夫属性，表示当前环境的状态。
举个例子：一个国际象棋的state可能包含：棋盘上所有棋子的位置，上一步的玩家，上一步的走法。

看看下面的公式：
这个公式在计算下一步（状态是\(s'\)、奖赏是\(r\)）的概率。
并说明这个概率是由至今为止所有的状态\(S*\)，行动\(A*\)和奖赏\(R*\)决定的。
\[ Pr\{s_{t+1} = s', R_{t+1} = r | S_0, A_0, R_1, S_1, A_1, \dots, R_t, S_t, A_t \} \\ \]

如果，我们有马尔科夫属性state，有了现在环境的所有状态，那么上面的公式可以简化为：
这个公式的含义是下一步（状态是\(s'\)、奖赏是\(r\)）的概率是由马尔科夫属性\(s\)和行动\(a\)决定的。
\[ p(s', r | s, a) = Pr \{S_{t+1} = s', R_{t+1} = r | S_t = s, A_t = a \} \]

马尔科夫决策过程 - 数学模型

马尔科夫决策过程是一个强化学习问题的数学描述模型。
这个数学模型可以从几个视图来学习。

• 状态(state)-行动(action)-奖赏(reward)视图
• 目标(goal)-奖赏(reward)视图
• 决策过程视图
• 策略(policy)视图

状态(state)-行动(action)-奖赏(reward)视图

这是一个马尔科夫抉择过程的基本视图。
描述agent在状态\(s\)下，选择了行动\(a\)，状态变为\(s'\)，获得了奖赏\(r\)。
这个很容易理解，说明奖赏是行动引起状态转变后得到的。
举个特殊例子：天上掉馅饼的过程：行动是等待；新状态是获得馅饼。

目标(goal)-奖赏(reward)视图

奖赏假设(reward hypothesis) - 目标就是：最大化长期累计奖赏的期望值。
注：不是立即得到的奖赏。
回报\(G_t\)：
\[ G_t \doteq \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1} \\ where \\ \gamma \text{ - is a parameter, discount rate, } 0 \leqslant \gamma \leqslant 1 \]
\(\gamma\)折扣率决定了未来奖赏的当前价值：
在k步之后的一个奖赏，如果换算成当前奖赏，需要乘以它的\(\gamma^{k-1}\)倍。

情节性任务(episodic tasks)的回报计算
\[ G_t \doteq \sum_{k=0}^{T-t-1} \gamma^k R_{t+k+1} \quad (T = \infty \text{ or } \gamma = 1 \text{ (but not both)}) \\ where \\ T \ne \infty \text{ - case of episodic tasks} \\ T = \infty \text{ - case of continuing tasks} \]

决策过程视图

上图说明了：

1. 状态\(s\)下，采取行动\(a\)，转变成新状态\(s'\)，是由概率\(p(s' | s, a)\)决定的。
2. 状态\(s\)下，采取行动\(a\)，转变成新状态\(s'\)，获得的奖赏\(r\)，是由概率\(p(s', r | s, a)\)决定的。
3. 引起状态\(s\)到状态\(s'\)的转变行动，不一定是唯一的。

相应的数学定义和公式

在状态\(s\)下，执行行动\(a\)，转变为状态\(s'\)并获得奖赏\(r\)的可能性：
\[ p(s', r | s, a) \doteq Pr \{S_{t+1} = s', R_{t+1} = r | S_t = s, A_t = a \} \]

在状态\(s\)下，执行行动\(a\)的期望奖赏：
\[ r(s,a) \doteq \mathbb{E}[R_{t+1} | S_t = s, A_t = a] = \sum_{r \in \mathcal{R}} r \sum_{s' \in \mathcal{S}} p(s', r|s,a) \]

在状态\(s\)下，执行行动\(a\)，转变为状态\(s'\)的可能性：
\[ p(s' | s,a) \doteq Pr \{S_{t+1} = s' | S_t=s, A_t=a \} = \sum_{r \in \mathcal{R}} p(s',r | s,a) \]

在状态\(s\)下，执行行动\(a\)，转变为状态\(s'\)的期望奖赏：
\[ r(s,a,s') \doteq \mathbb{E}[R_{t+1} | S_t = s, A_t = a, S_{t+1} = s'] = \frac{\sum_{r \in \mathcal{R}} r p(s',r|s,a)}{p(s'|s,a)} \]

策略视图

强化学习的目标是找到（可以获得长期最优回报）的最佳策略。

\(\pi\) - 策略(policy)。
\(\pi\) - 策略(policy)。强化学习的目标：找到最优策略。
策略规定了状态\(s\)时，应该选择的行动\(a\)。
\[ \pi = [\pi(s_1), \cdots, \pi(s_n)] \]
\(\pi(s)\) - 策略\(\pi\)在状态\(s\)下，选择的行动。
\(\pi_*\) - 最优策略(optimal policy)。
\(\pi(a | s)\) - 随机策略\(\pi\)在状态\(s\)下，选择的行动\(a\)的概率。

价值方法(Value Functions)

使用策略\(\pi\)，状态价值方法 - state-value function
\[ v_{\pi}(s) \doteq \mathbb{E}[G_t | S_t = s] = \mathbb{E}_{\pi} \left [ \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1} | S_t = s \right ] \\ where \\ \pi \text{ - polity} \\ \mathbb{E}_{\pi}[\cdot] \text{ - the expected value of a value follows policy } \pi \]

使用策略\(\pi\)，行动价值方法 - action-value function
\[ q_{\pi}(s,a) \doteq \mathbb{E}[G_t | S_t = s, A_t = a] = \mathbb{E}_{\pi} \left [ \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1} | S_t = s, A_t = a \right ] \\ \]

使用策略\(\pi\)，迭代状态价值方法 - iterative state-value function
a.k.a Bellman equation for \(v_{\pi}\)

\[ \begin{align} v_{\pi}(s) & \doteq \mathbb{E}[G_t | S_t = s] \\ & = \mathbb{E}_{\pi} \left [ \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1} | S_t = s \right ] \\ & = \mathbb{E}_{\pi} \left [ R_{t+1} + \gamma\sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+2} | S_t = s \right ] \\ & = \sum_{a} \pi(a|s) \sum_{s'} \sum_{r} p(s',r|s,a) \left [ r + \gamma\mathbb{E}_{\pi} \left [ \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+2} | S_{t+1} = s' \right ] \right ] \\ & = \sum_{a} \pi(a|s) \sum_{s',r} p(s',r|s,a) \left [ r + \gamma v_{\pi}(s') \right ], \ \forall s \in \mathcal{S} \end{align} \]

最优价值方法(Optimal Value Functions)

最优状态价值方法 - optimal state-value function
\[ v_*(s) \doteq \underset{\pi}{max} \ v_{\pi}(s), \forall s \in \mathcal{S} \]

最优行动价值方法 - optimal action-value function
\[ q_*(s, a) \doteq \underset{\pi}{max} \ q_{\pi}(s, a), \ \forall s \in \mathcal{S} \ and \ a \in \mathcal{A}(s) \]

最优的行为价值等于最优的状态价值下的最大期望：
\[ q_*(s,a) = \mathbb{E}[R_{t+1} + \gamma v_* (S_{t+1}) \ | \ S_t = s, A_t = a] \]

最优状态价值迭代方法 - interval optimal state-value function
\[ \begin{align} v_*(s) & = \underset{a \in \mathcal{A}(s)}{max} \ q_{\pi_*}(s, a) \\ & = \underset{a}{max} \ \mathbb{E}_{\pi*} [G_t \ | \ S_t=s, A_t=a] \\ & = \underset{a}{max} \ \mathbb{E}_{\pi*} \left [ \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1} \ | \ S_t=s, A_t=a \right ] \\ & = \underset{a}{max} \ \mathbb{E}_{\pi*} \left [ R_{t+1} + \gamma\sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+2} \ | \ S_t=s, A_t=a \right ] \\ & = \underset{a}{max} \ \mathbb{E}[R_{t+1} + \gamma v_*(S_{t+1}) \ | \ S_t=s, A_t=a ] \\ & = \underset{a \in \mathcal{A}(s)}{max} \sum_{s',r} p(s',r|s,a)[r + \gamma v_*(s')] \\ \end{align} \]

参照

• Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto c 2014, 2015, 2016
• 强化学习读书笔记 - 00 - 术语和数学符号
• 强化学习读书笔记 - 01 - 强化学习的问题
• 强化学习读书笔记 - 02 - 多臂老O虎O机问题