【XSY2733】Disembrangle DP

题目描述

　　有一个3×n3\times n的网格，一些格子里已经有棋子了，一些格子里还没有。

　　每次你可以选择往一个没有棋子的格子里放一个棋子，但要满足这个格子上下两个格子都有棋子或左右两个格子都有棋子。

　　你的任务是把这个网格填满。问你有几种填法。

　　n≤2000n\leq 2000

题解

　　先判无解。

　　如果四个角没有棋子或在第1/31/3行有两个相邻的空格就无解。

　　然后DP。

　　可以对于每个连通块分开DP，然后把结果合并。

　　可以看出一个连通块只可能通过第22行相邻。

　　设fi,j,kf_{i,j,k}为前面ii行，(2,i)(2,i)这个格子在前面所有空格中是第jj个放的，(2,i+1)(2,i+1)是否需要在(2,i)(2,i)之前放的方案数。

　　转移：枚举(2,i+1)(2,i+1)是在什么时候放的。

　　设cc为第i+1i+1列两边的空格数。

　　fi,j,1→fi+1,l,0(l≤j)f_{i,j,1}\rightarrow f_{i+1,l,0}(l\leq j)，上下都要先放：A(l−1,c)A(l-1,c)

　　fi,j,0→fi+1,l,1(l>j)f_{i,j,0}\rightarrow f_{i+1,l,1}(l>j)，上下有一个后放：c(l−1)A(cnt−l,c−1)c(l-1)A(cnt-l,c-1)，两个都后放：A(cnt−l,2)A(cnt-l,2)

　　fi,j,0→fi+1,l,0f_{i,j,0}\rightarrow f_{i+1,l,0} ，上下都要先放：A(l−1,c)A(l-1,c)

　　其中A(n,m)A(n,m)为排列数。

　　可以用前缀和优化DP。

　　还要考虑(2,i)(2,i)不是空格但(1,i),(3,i)(1,i),(3,i)是空格的情况。

　　时间复杂度：O(n2)O(n^2)

代码

$f_{i,j,1}\rightarrow f_{i+1,l,0}(l\leq j)$，上下要先放：$A(l-1,c)$

$f_{i,j,0}\rightarrow f_{i+1,l,1}(l>j)$，上下至少有一个没放：$c(l-1)A(cnt-l,c-1)$

$f_{i,j,0}\rightarrow f_{i+1,l,0}$，上下先放：$A(l-1,c)$

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