第二章：狭义相对论

5、流与密度

假定有一个粒子体系，各粒子的带电荷量为ene_nen，位于位置xn(t)x_n(t)xn(t)处，则可以定义一个四矢量：
Jα≡∑nenδ3(x⃗−x⃗n(t))dxnα(t)dtJ^\alpha\equiv \sum_n e_n\delta^3(\vec x-\vec x_n(t))\frac{dx^\alpha_n(t)}{dt} Jα≡n∑enδ3(x−xn(t))dtdxnα(t)
说明：

（1）JαJ^\alphaJα是四矢量

证明：

先证δ4(x)\delta^4(x)δ4(x)是标量：

恒等式∫δ4(x)d4x=1\int\delta^4(x)d^4 x=1∫δ4(x)d4x=1，在xα→x′αx^\alpha\rightarrow x'^\alphaxα→x′α变换下：
d4x′α=∣∣∂x′∂x∣∣d4x=∣Λ∣d4x=d4xd^4 x'^\alpha=\left|\left|\frac{\partial x'}{\partial x}\right|\right|d^4 x=|\Lambda|d^4 x=d^4 x d4x′α=∣∣∣∣∣∣∣∣∂x∂x′∣∣∣∣∣∣∣∣d4x=∣Λ∣d4x=d4x
所以d4xd^4 xd4x是标量，从而表明δ4(x)\delta^4(x)δ4(x)是标量

定义：xn0(t)≡tx^0_n (t)\equiv txn0(t)≡t，xn0(t′)=t′x^0_n(t')=t'xn0(t′)=t′
Jα=∑nenδ3(x⃗−x⃗n(t))dxnα(t)dt=∫dt′[∑nenδ3(x⃗−x⃗n(t′))δ(t−xn0(t′))dxnα(t′)dt′]\begin{aligned} J^\alpha&=\sum_n e_n\delta^3(\vec x-\vec x_n(t))\frac{dx_n^\alpha(t)}{dt}\\ &=\int dt'\left[\sum_ne_n\delta^3(\vec x-\vec x_n(t'))\delta(t-x^0_n(t'))\frac{dx^\alpha_n(t')}{dt'}\right] \end{aligned} Jα=n∑enδ3(x−xn(t))dtdxnα(t)=∫dt′[n∑enδ3(x−xn(t′))δ(t−xn0(t′))dt′dxnα(t′)]
（利用了∫dt′f(t′)δ(t−t′)=f(t)\int dt' f(t')\delta(t-t')=f(t)∫dt′f(t′)δ(t−t′)=f(t)）
=∫dt′[∑nenδ4(x−xn(t′))dxnα(t′)dt′]=∫dτ[∑nenδ4(x−xn)dxnαdτ]=Jα\begin{aligned} &=\int dt'\left[\sum_n e_n\delta^4(x-x_n(t'))\frac{d x^\alpha_n(t')}{dt'}\right]\\ &=\int d\tau\left[\sum_n e_n\delta^4(x-x_n)\frac{d x_n^\alpha}{d\tau}\right]\\ &= J^\alpha \end{aligned} =∫dt′[n∑enδ4(x−xn(t′))dt′dxnα(t′)]=∫dτ[n∑enδ4(x−xn)dτdxnα]=Jα
QED.

（2）此四矢量的各个分量为：
{J0≡ϵ(x⃗,t)=∑nenδ3(x⃗−x⃗n(t))J⃗=∑nenδ3(x⃗−x⃗n(t))dx⃗n(t)dt\left\{\begin{aligned} &J^0\equiv \epsilon(\vec x,t)=\sum_n e_n\delta^3(\vec x-\vec x_n(t))\\ &\vec J=\sum_ne_n\delta^3(\vec x-\vec x_n(t))\frac{d\vec x_n(t)}{dt} \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧J0≡ϵ(x,t)=n∑enδ3(x−xn(t))J=n∑enδ3(x−xn(t))dtdxn(t)
其中J0J^0J0称为电荷密度，J⃗\vec JJ称为流密度

（3）∂Jα(x)∂xα=0\dfrac{\partial J^\alpha(x)}{\partial x^\alpha}=0∂xα∂Jα(x)=0

（4）若一个流Jα(x)J^\alpha(x)Jα(x)满足∂Jα(x)∂xα=0\dfrac{\partial J^\alpha(x)}{\partial x^\alpha}=0∂xα∂Jα(x)=0时，就可以定义一个“总荷”QQQ，即：
Q≡∫d3xJ0(x)Q\equiv \int d^3 x J^0(x) Q≡∫d3xJ0(x)
其值与时间无关，即守恒荷

证明：

守恒荷，即：
dQdt=0\frac{dQ}{dt}=0 dtdQ=0

dQdt=∫d3x∂J0(x)∂x0=∫d3x[−∂Ji(x)∂xi]=∫d3x(−∇⋅J⃗)=−∫J⃗(x)dS=0\begin{aligned} \frac{dQ}{dt}&=\int d^3x\frac{\partial J^0(x)}{\partial x^0}\\ &=\int d^3 x\left[-\frac{\partial J^i(x)}{\partial x^i}\right]\\ &=\int d^3 x (-\nabla \cdot \vec J)\\ &=-\int\vec J(x)dS\\ &=0 \end{aligned} dtdQ=∫d3x∂x0∂J0(x)=∫d3x[−∂xi∂Ji(x)]=∫d3x(−∇⋅J)=−∫J(x)dS=0

（第一步怎么变过去的？——注意爱因斯坦求和约定）其中，用到了高斯定理：
∮F⃗⋅dS⃗=∫(∇⋅F⃗)dV\oint\vec F\cdot d\vec S=\int(\nabla\cdot \vec F)dV ∮F⋅dS=∫(∇⋅F)dV
QED.

6、电动力学

三维空间的Levi-Civita符号ϵijk\epsilon^{ijk}ϵijk定义为：
ϵijk={+1,如果i,j,k对1,2,3偶置换−1,如果i,j,k对1,2,3奇置换0,其他情况\epsilon^{ijk}= \left\{\begin{aligned} &+1,\ 如果i,j,k对1,2,3偶置换\\ &-1,\ 如果i,j,k对1,2,3奇置换\\ &0,\ 其他情况 \end{aligned}\right. ϵijk=⎩⎪⎨⎪⎧+1, 如果i,j,k对1,2,3偶置换−1, 如果i,j,k对1,2,3奇置换0, 其他情况
并且有ϵijk=ϵijk\epsilon^{ijk}=\epsilon_{ijk}ϵijk=ϵijk

麦克斯韦方程组为：
∇⋅E⃗=4πϵ∇×B⃗=∂E⃗∂t+4πJ⃗∇⋅B⃗=0∇×E⃗=−∂B⃗∂t\begin{aligned} \nabla\cdot \vec E&=4\pi\epsilon\\ \nabla\times \vec B&=\frac{\partial \vec E}{\partial t}+4\pi \vec J\\ \nabla \cdot \vec B&=0\\ \nabla\times \vec E&=-\frac{\partial \vec B}{\partial t} \end{aligned} ∇⋅E∇×B∇⋅B∇×E=4πϵ=∂t∂E+4πJ=0=−∂t∂B
定义电磁张量为：
Fαβ=(0E1E2E3−E10B3−B2−E2−B30B1−E3B2−B10)F^{\alpha\beta}= \left(\begin{matrix} 0 & E_1 & E_2 & E_3\\ -E_1 & 0 & B_3 & -B_2\\ -E_2 & -B_3 & 0 & B_1\\ -E_3 & B_2 & -B_1 & 0 \end{matrix}\right) Fαβ=⎝⎜⎜⎛0−E1−E2−E3E10−B3B2E2B30−B1E3−B2B10⎠⎟⎟⎞
即F0i=EiF^{0i}=E_iF0i=Ei，Fij=ϵijkBkF^{ij}=\epsilon^{ijk}B_kFij=ϵijkBk，电磁张量是一个反对称张量

前两式等价于：∂∂xαFαβ=−4πJβ\dfrac{\partial}{\partial x^\alpha}F^{\alpha\beta}=-4\pi J^\beta∂xα∂Fαβ=−4πJβ

后两式等价于：ϵαβγδ∂∂xβFγδ=0\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\dfrac{\partial}{\partial x^\beta}F_{\gamma\delta}=0ϵαβγδ∂xβ∂Fγδ=0

证明：前两式的等价关系
{β=i时，ϵijk∂jBk−∂0Ei=4πJiβ=0时，∂iEi=4πJ0\left\{\begin{aligned} &\beta=i时， \epsilon^{ijk}\partial_jB_k-\partial_0E_i=4\pi J^i\\ &\beta=0时，\partial_i E_i=4\pi J^0 \end{aligned}\right. {β=i时，ϵijk∂jBk−∂0Ei=4πJiβ=0时，∂iEi=4πJ0
合并后得到：∂αFβα=−4πJβ\partial_\alpha F^{\beta\alpha}=-4\pi J^\beta∂αFβα=−4πJβ

QED.

电磁力与洛伦兹力

fα=eFαγdxγdτf^\alpha=e{F^\alpha}_\gamma\dfrac{dx^\gamma}{d\tau}fα=eFαγdτdxγ

静止坐标系：τ=t,γ=0\tau=t,\ \gamma=0τ=t, γ=0

fα=eFα0dtdτf^\alpha=e{F^\alpha}_0\dfrac{dt}{d\tau}fα=eFα0dτdt，前者等于EEE，后者等于111，因此：
f0=0fi=eEi\begin{aligned} &f^0=0\\ &f^i =eE_i \end{aligned} f0=0fi=eEi
得到：f⃗=eE⃗\vec f = e\vec Ef=eE

电磁力与Lorentz力的关系：
fα=dpαdτ=eFαγdxγdτ→dpαdt=eFαγdxγdt→α=idpidt=eFiγdxγdt→dp⃗dt=e(E⃗+v⃗×B⃗)\begin{aligned} f^\alpha=\frac{dp^\alpha}{d\tau}&=e{F^\alpha}_\gamma\frac{dx^\gamma}{d\tau}\\ \rightarrow \frac{dp^\alpha}{dt}&=e{F^\alpha}_\gamma\frac{dx^\gamma}{dt}{\mathop\rightarrow\limits^{\alpha = i}}\frac{dp^i}{dt}=e{F^i}_\gamma\frac{dx^\gamma}{dt}\\ \rightarrow \frac{d\vec p}{dt}&= e(\vec E+\vec v\times \vec B) \end{aligned} fα=dτdpα→dtdpα→dtdp=eFαγdτdxγ=eFαγdtdxγ→α=idtdpi=eFiγdtdxγ=e(E+v×B)

7、能量-动量张量

对于由质量为mnm_nmn，位置为x⃗n(t)\vec x_n(t)xn(t)的粒子组成的体系，之前已定义能量-动量四矢量：
pnα≡mndxnαdτp^\alpha_n\equiv m_n\frac{dx^\alpha_n}{d\tau} pnα≡mndτdxnα
由此构造能量-动量张量：
Tαβ(x)=∑npnαpnβEnδ3(x⃗−x⃗n(t))T^{\alpha\beta}(x)=\sum_n\frac{p^\alpha_n p^\beta_n}{E_n}\delta^3(\vec x-\vec x_n(t)) Tαβ(x)=n∑Enpnαpnβδ3(x−xn(t))
说明：

（1）TαβT^{\alpha\beta}Tαβ关于α,β\alpha,\betaα,β对称

（2）TαβT^{\alpha\beta}Tαβ是张量

证明：

定义xn0(t)=tx^0_n(t)=txn0(t)=t，pnβ=mndxnβdτp^\beta_n=m_n\dfrac{dx^\beta_n}{d\tau}pnβ=mndτdxnβ，En=mndtdτE_n=m_n\dfrac{dt}{d\tau}En=mndτdt
Tαβ(x)=∑npnαdxnβ(t)dtδ3(x⃗−x⃗n(t))=∫dt′∑npnαdxnβ(t′)dt′δ3(x⃗−x⃗n(t′))δ(t−xt0(t′))=∫dτ∑npnαdxnβdτδ4(x−xn)\begin{aligned} T^{\alpha\beta}(x)&=\sum_n p^\alpha_n\frac{dx^\beta_n(t)}{dt}\delta^3(\vec x-\vec x_n(t))\\ &=\int dt' \sum_n p^\alpha_n \frac{dx^\beta_n(t')}{dt'}\delta^3(\vec x-\vec x_n(t'))\delta(t-x^0_t(t'))\\ &=\int d\tau \sum_n p^\alpha_n\frac{dx_n^\beta}{d\tau}\delta^4(x-x_n) \end{aligned} Tαβ(x)=n∑pnαdtdxnβ(t)δ3(x−xn(t))=∫dt′n∑pnαdt′dxnβ(t′)δ3(x−xn(t′))δ(t−xt0(t′))=∫dτn∑pnαdτdxnβδ4(x−xn)
QED.

（3）此张量的各个分量为：
{Tα0(x⃗,t)=∑npnαδ3(x⃗−x⃗n(t))Tαi(x⃗,t)=∑npnαdxni(t)dtδ3(x⃗−x⃗n(t))\left\{\begin{aligned} &T^{\alpha 0}(\vec x, t)=\sum_n p^\alpha_n\delta^3(\vec x-\vec x_n(t))\\ &T^{\alpha i}(\vec x,t)=\sum_n p^\alpha_n\frac{dx^i_n(t)}{dt}\delta^3(\vec x-\vec x_n(t)) \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧Tα0(x,t)=n∑pnαδ3(x−xn(t))Tαi(x,t)=n∑pnαdtdxni(t)δ3(x−xn(t))
其中Tα0T^{\alpha 0}Tα0称为pαp^\alphapα的密度，TαiT^{\alpha i}Tαi称为pαp^\alphapα的流

（4）TαβT^{\alpha\beta}Tαβ的守恒律：∂∂xβTαβ=Gα\dfrac{\partial}{\partial x^\beta}T^{\alpha\beta}=G^\alpha∂xβ∂Tαβ=Gα

其中，GαG^\alphaGα是力密度，定义为：
Gα(x⃗,t)=∑nδ3(x⃗−x⃗n(t))dpnα(t)dt=∑nδ3(x⃗−x⃗n(t))dτdtfnα(t)G^\alpha(\vec x,t)=\sum_n\delta^3(\vec x-\vec x_n(t))\frac{dp^\alpha_n(t)}{dt}=\sum_n\delta^3(\vec x-\vec x_n(t))\frac{d\tau}{dt}f^\alpha_n(t) Gα(x,t)=n∑δ3(x−xn(t))dtdpnα(t)=n∑δ3(x−xn(t))dtdτfnα(t)
无外力时，fnα=0f^\alpha_n=0fnα=0，∂Tαβ∂xβ=0\dfrac{\partial T^{\alpha\beta}}{\partial x^\beta}=0∂xβ∂Tαβ=0，此张量守恒

证明：
∂∂xβTαβ=Gα=∑nδ3(x⃗−x⃗n(t))dτdtfnα(t)∂Tαi∂xi(x⃗,t)=∑npnαdxni(t)dt∂∂xiδ3(x⃗−x⃗n(t))=−∑npnαdxni(t)dt∂∂xniδ3(x⃗−x⃗n)=−∑npnα∂∂tδ3(x⃗−x⃗n)=−∑n{∂∂t[pnαδ3(x⃗−x⃗n(t))]−δ3(x⃗−x⃗n(t))dpnα(t)dt}\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x^\beta}T^{\alpha\beta}&=G^\alpha=\sum_n\delta^3(\vec x-\vec x_n(t))\frac{d\tau}{dt}f^\alpha_n(t)\\ \frac{\partial T^{\alpha i}}{\partial x^i}(\vec x, t)&=\sum_n p^\alpha_n \frac{dx^i_n(t)}{dt}\frac{\partial}{\partial x^i}\delta^3(\vec x-\vec x_n(t))\\ &=-\sum_n p^\alpha_n\frac{d x^i_n(t)}{dt}\frac{\partial}{\partial x^i_n}\delta^3(\vec x-\vec x_n)\\ &=-\sum_n p^\alpha_n \frac{\partial}{\partial t}\delta^3(\vec x-\vec x_n)\\ &=-\sum_n\left\{\frac{\partial}{\partial t}\left[p^\alpha_n \delta^3(\vec x-\vec x_n(t))\right]-\delta^3(\vec x-\vec x_n(t))\frac{dp^\alpha_n(t)}{dt}\right\} \end{aligned} ∂xβ∂Tαβ∂xi∂Tαi(x,t)=Gα=n∑δ3(x−xn(t))dtdτfnα(t)=n∑pnαdtdxni(t)∂xi∂δ3(x−xn(t))=−n∑pnαdtdxni(t)∂xni∂δ3(x−xn)=−n∑pnα∂t∂δ3(x−xn)=−n∑{∂t∂[pnαδ3(x−xn(t))]−δ3(x−xn(t))dtdpnα(t)}
从而得到：
∂Tαi∂xi+∂Tα0∂x0=∑ndpnαdtδ3(x⃗−x⃗n(t))∂Tαβ∂xβ=Gα\begin{aligned} \frac{\partial T^{\alpha i}}{\partial x^i}+\frac{\partial T^{\alpha 0}}{\partial x^0}&=\sum_n \frac{d p^\alpha_n}{dt}\delta^3(\vec x-\vec x_n(t))\\ \frac{\partial T^{\alpha\beta}}{\partial x^\beta}&=G^\alpha \end{aligned} ∂xi∂Tαi+∂x0∂Tα0∂xβ∂Tαβ=n∑dtdpnαδ3(x−xn(t))=Gα
QED.

电磁场的能动张量

电磁场的能量-动量张量为：
4πTemαβ≡FγαFβγ−14ηαβFγδFγδ4\pi T^{\alpha\beta}_{em}\equiv F^\alpha_\gamma F^{\beta\gamma}-\frac{1}{4}\eta^{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}F^{\gamma\delta} 4πTemαβ≡FγαFβγ−41ηαβFγδFγδ
分量形式为：
4πTem00=12(E⃗2+B⃗2)4πTemi0=(E⃗×B⃗)i4πTemij=12δij(E⃗2+B⃗2)−EiEj−BiBj4\pi T^{00}_{em}=\frac{1}{2}(\vec E^2+\vec B^2)\\ 4\pi T^{i0}_{em}=(\vec E\times \vec B)_i\\ 4\pi T^{ij}_{em}=\frac{1}{2}\delta_{ij}(\vec E^2+\vec B^2)-E_iE_j-B_iB_j 4πTem00=21(E2+B2)4πTemi0=(E×B)i4πTemij=21δij(E2+B2)−EiEj−BiBj

标量场的能动张量

标量场的能动张量为：
Tscalarαβ=ηαληβσ∂λϕ∂αϕ−12ηαβ(ηλσ∂λϕ∂σϕ+m2ϕ2)T^{\alpha\beta}_{scalar}=\eta^{\alpha\lambda}\eta^{\beta\sigma}\partial_\lambda\phi\partial_\alpha\phi-\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}(\eta^{\lambda\sigma}\partial_\lambda\phi\partial_\sigma\phi+m^2\phi^2) Tscalarαβ=ηαληβσ∂λϕ∂αϕ−21ηαβ(ηλσ∂λϕ∂σϕ+m2ϕ2)

理想流体的能动张量

若一流体中每点有速度v⃗\vec vv，而以此速度运动的观测者看见它周围的流体是各向同性的，则该流体称为理想流体

在静止参考系中，理想流体的能动张量为：
{T~ij=pδijT~i0=T~0i=0T~00=ρ\left\{\begin{aligned} &\tilde T^{ij}=p\delta_{ij}\\ &\tilde T^{i0}=\tilde T^{0i}=0\\ &\tilde T^{00}=\rho \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧T~ij=pδijT~i0=T~0i=0T~00=ρ
其中，ρ\rhoρ为密度，ppp为压强

在一般的坐标系中：
Tαβ=ΛαγΛβδ(−v⃗)T~γδ=pηαβ+(p+ρ)UαUβT^{\alpha\beta}={\Lambda^\alpha}_\gamma{\Lambda^\beta}_\delta(-\vec v)\tilde T^{\gamma\delta}=p\eta^{\alpha\beta}+(p+\rho)U^\alpha U^\beta Tαβ=ΛαγΛβδ(−v)T~γδ=pηαβ+(p+ρ)UαUβ

8、角动量与自旋

考虑一个孤立系统，能动张量守恒：
∂∂xγTβγ=0\frac{\partial}{\partial x^\gamma}T^{\beta\gamma}=0 ∂xγ∂Tβγ=0
由此，定义另外一个张量：Mαβγ≡xαTβγ−xβTαγM^{\alpha\beta\gamma}\equiv x^\alpha T^{\beta\gamma}-x^\beta T^{\alpha\gamma}Mαβγ≡xαTβγ−xβTαγ。MαβγM^{\alpha\beta\gamma}Mαβγ是守恒的：
∂Mαβγ∂xγ=Tβα−Tαβ=0\frac{\partial M^{\alpha\beta\gamma}}{\partial x^\gamma}=T^{\beta\alpha}-T^{\alpha\beta}=0 ∂xγ∂Mαβγ=Tβα−Tαβ=0

总角动量

定义总角动量：
Jαβ≡∫d3xMαβ0J^{\alpha\beta}\equiv \int d^3x M^{\alpha\beta 0} Jαβ≡∫d3xMαβ0
性质：

（1）对称性：Jαβ=−JβαJ^{\alpha\beta}=-J^{\beta\alpha}Jαβ=−Jβα

证明：
Jαβ=∫d3xMαβ0=∫d3x(xαTβ0−xβTα0)=−∫d3x(xβTα0−xαTβ0)=−Jβα\begin{aligned} J^{\alpha\beta}&=\int d^3 x M^{\alpha\beta 0}\\ &=\int d^3 x(x^\alpha T^{\beta 0}-x^\beta T^{\alpha 0})\\ &=-\int d^3 x(x^\beta T^{\alpha 0}-x^\alpha T^{\beta 0})\\ &=-J^{\beta\alpha} \end{aligned} Jαβ=∫d3xMαβ0=∫d3x(xαTβ0−xβTα0)=−∫d3x(xβTα0−xαTβ0)=−Jβα
QED.

（2）JαβJ^{\alpha\beta}Jαβ是张量

证明：
Tαβ=∑npnαpnβEnδ3(x⃗−x⃗(t))T^{\alpha\beta}=\sum_n\frac{{p_n}^\alpha {p_n}^\beta}{E_n}\delta^3(\vec x-\vec x(t)) Tαβ=n∑Enpnαpnβδ3(x−x(t))
所以：
Jαβ=∫d3xMαβ0=∫d3x(xαTβ0−xβTα0)=∫d3x[xα∑npnβpn0Enδ3(x⃗−x⃗n(t))−xβ∑npnαpn0Enδ3(x⃗−x⃗n(t))]=∑n(xnαpnβ−xnβpnα)\begin{aligned} J^{\alpha\beta}&=\int d^3x M^{\alpha\beta 0}\\ &=\int d^3 x(x^\alpha T^{\beta 0}-x^\beta T^{\alpha 0})\\ &=\int d^3 x\left[x^\alpha \sum_n\frac{{p_n}^\beta {p_n}^0}{E_n}\delta^3(\vec x- \vec x_n(t))-x^\beta\sum_n\frac{{p_n}^\alpha {p_n}^0}{E_n}\delta^3(\vec x- \vec x_n(t))\right]\\ &=\sum_n({x_n}^\alpha{p_n}^\beta-{x_n}^\beta {p_n}^\alpha) \end{aligned} Jαβ=∫d3xMαβ0=∫d3x(xαTβ0−xβTα0)=∫d3x[xαn∑Enpnβpn0δ3(x−xn(t))−xβn∑Enpnαpn0δ3(x−xn(t))]=n∑(xnαpnβ−xnβpnα)
QED.

（3）JαβJ^{\alpha\beta}Jαβ不随时间变化，是守恒量

证明：
∂Mαβγ∂xγ=0→dJαβdt=0\frac{\partial M^{\alpha\beta\gamma}}{\partial x^\gamma}=0\rightarrow \frac{dJ^{\alpha\beta}}{dt}=0 ∂xγ∂Mαβγ=0→dtdJαβ=0
QED.

（4）空间分量：Jij=∫d3x(xiTj0−xjTi0)J^{ij}=\int d^3 x(x^i T^{j0}-x^j T^{i0})Jij=∫d3x(xiTj0−xjTi0)。由于Tj0T^{j0}Tj0是动量的第jjj个分量，因此可以把J23J^{23}J23，J31J^{31}J31，J12J^{12}J12看作是角动量的第1,2,3个分量

（5）时间分量，无特殊的物理意义，可以取零

证明：

时间分量为：
J0i=tpi−∫xiT00d3xJ^{0i}=tp^i-\int x^i T^{00}d^3 x J0i=tpi−∫xiT00d3x
总是可以通过坐标选择让J0i=0J^{0i}=0J0i=0。坐标原点固定在t=0t=0t=0时能量中心，所以其时间分量没有特殊意义

QED.

（6）尽管JαβJ^{\alpha\beta}Jαβ对齐次的洛伦兹变换是一个张量，但对平移变换却有特殊的性质。即：在坐标变化xα→x′α=xα+aαx^\alpha\rightarrow x'^\alpha = x^\alpha+a^\alphaxα→x′α=xα+aα下，Jαβ→J′αβ+aαpβ−aβpαJ^{\alpha\beta}\rightarrow J'^{\alpha\beta}+a^\alpha p^\beta - a^\beta p^\alphaJαβ→J′αβ+aαpβ−aβpα

四维自旋矢量

四维自旋矢量是总角动量JαβJ^{\alpha\beta}Jαβ的内禀部分，定义为：
Sα≡12ϵαβγδJβγUδS_\alpha\equiv \frac{1}{2}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}J^{\beta\gamma}U^\delta Sα≡21ϵαβγδJβγUδ
其中，ϵαβγδ\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}ϵαβγδ是Levi-Civita张量，Uα=dxαdτU^\alpha=\dfrac{dx^\alpha}{d\tau}Uα=dτdxα是系统的速度四矢量

性质：

（1）在坐标变换xα→x′α=xα+aαx^\alpha\rightarrow x'^\alpha=x^\alpha+a^\alphaxα→x′α=xα+aα下，JβγJ^{\beta\gamma}Jβγ显然如上式改变，但SαS_\alphaSα不变

Jαβ≡∫d3xMαβ0=∑n(xnαpnβ−xnβpnα)J^{\alpha\beta}\equiv \int d^3x M^{\alpha\beta 0}=\sum_n(x^\alpha_np^\beta_n-x^\beta_n p^\alpha_n) Jαβ≡∫d3xMαβ0=n∑(xnαpnβ−xnβpnα)
推导得到：
J′αβ−Jαβ=∑n(anαpnβ−anβpnα)J'^{\alpha\beta}-J^{\alpha\beta}=\sum_n(a^\alpha_n p_n^\beta-a_n^\beta p^\alpha_n) J′αβ−Jαβ=n∑(anαpnβ−anβpnα)

δSα=Sα′−Sα=12ϵαβγδ∑nanβpnγUδ−12ϵαβγδ∑nanγpnβUδ\delta S_\alpha= S'_\alpha -S_\alpha = \frac{1}{2}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}\sum_n a^\beta_n p^\gamma_n U^\delta-\frac{1}{2}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}\sum_n a^\gamma_n p^\beta_n U^\delta δSα=Sα′−Sα=21ϵαβγδn∑anβpnγUδ−21ϵαβγδn∑anγpnβUδ

（2）SαS_\alphaSα显然是矢量

（3）对自由粒子，SαS_\alphaSα不随时间变化
Sαdt=12ϵαβγδdJβγdtUδ+12ϵαβγδJβγdUδdt\frac{S_\alpha}{dt}=\frac{1}{2}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}\frac{dJ^{\beta\gamma}}{dt}U^\delta+\frac{1}{2}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}J^{\beta\gamma}\frac{dU^\delta}{dt} dtSα=21ϵαβγδdtdJβγUδ+21ϵαβγδJβγdtdUδ
等式右侧的两个微分求导都为0

（4）静止质心系中，Ui=0U^i=0Ui=0，U0=1U^0=1U0=1，此时：
S1=J23,S2=J31,S3=J12,S0=0S_1=J^{23},\ S_2=J^{31},\ S_3=J^{12},\ S_0=0 S1=J23, S2=J31, S3=J12, S0=0
所以把SαS_\alphaSα看作是系统的内禀角动量是合理的

（5）在速度v⃗\vec vv不为零（一般坐标系）时，SαS_\alphaSα也只有三个独立的分量，因为SαS_\alphaSα满足关系UαSα=0U^\alpha S_\alpha=0UαSα=0

UαSα=12ϵαβγδJβγUδUα=0U^\alpha S_\alpha=\frac{1}{2}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}J^{\beta\gamma}U^\delta U^\alpha =0 UαSα=21ϵαβγδJβγUδUα=0

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