群环域，理想商环，原根复习

包含了抽象代数里面的一些概念，最近看文章的时候一直反映不过来，理想是个啥来着，环和域的区别是啥来着。所以统筹整理一下。

文章目录

集合/(Set)：
半群/(Monoid)：
群(G,⋅)(G,\cdot)(G,⋅)/(Group)：
交换群/(Commutative Group)：
环(R,+,⋅)(R,+,\cdot)(R,+,⋅)/(Ring)：
交换环(R,+,⋅)(R,+,\cdot)(R,+,⋅)/(Commutative Ring)：
域(F,+,⋅)(F,+,\cdot)(F,+,⋅)/(Field)：
有限域(F,+,⋅)(F,+,\cdot)(F,+,⋅)/(Galois Field):
环的理想/(ideal)
原根/(Primitive Root)
生成/(Generate)
商环/(Quotient Ring)

集合/(Set)：

一个集合GGG表示一组数据

有限集合：G={a1,a2,...,an},∣G∣=nG=\{a_1,a_2,...,a_n\},|G|=nG={a1,a2,...,an},∣G∣=n

无穷集合：G={a1,a2,...},∣G∣=∞G=\{a_1,a_2,...\},|G|=\infinG={a1,a2,...},∣G∣=∞

一个班级的所有学生

半群/(Monoid)：

一个集合GGG，以及一个二元运算(⋅)(\cdot)(⋅)。满足

封闭性：a∈G,b∈G,a⋅b∈Ga\in G,b \in G,a\cdot b\in Ga∈G,b∈G,a⋅b∈G
结合律：(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)

自然数N={0,1,2,...}\N=\{0,1,2,...\}N={0,1,2,...}是一个加法半群，以及乘法半群。

集合AAA的子集对于求交构成一个半群，对于求并集构成一个半群。

整数对于乘法构成半群。

群(G,⋅)(G,\cdot)(G,⋅)/(Group)：

一个集合GGG，以及一个二元运算(⋅)(\cdot)(⋅)。满足

封闭性：a∈G,b∈G,a⋅b∈Ga\in G,b \in G,a\cdot b\in Ga∈G,b∈G,a⋅b∈G
结合律：(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)
单位元：∃e,ea=ae=e\exist e,ea=ae=e∃e,ea=ae=e
逆元：∀a∈G,∃a′∈G,aa′=a′a=e\forall a\in G, \exist a'\in G,aa'=a'a=e∀a∈G,∃a′∈G,aa′=a′a=e

整数对于加法构成群，对于乘法不构成（因为没有逆元）

交换群/(Commutative Group)：

群&交换律

交换律：ab=baab=baab=ba

环(R,+,⋅)(R,+,\cdot)(R,+,⋅)/(Ring)：

一个集合RRR，加法是交换群，乘法是半群.

ZnZ_nZn是一个环，多项式环Rn=Zn/F(X)R_n=Z_n/F(X)Rn=Zn/F(X)也是一个环。

整数Z\ZZ是一个环。

交换环(R,+,⋅)(R,+,\cdot)(R,+,⋅)/(Commutative Ring)：

环，乘法满足交换律

域(F,+,⋅)(F,+,\cdot)(F,+,⋅)/(Field)：

加法和乘法都满足结合律：(a+b)+c=a+(b+c),(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b \cdot c)(a+b)+c=a+(b+c),(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
加法和乘法都满足交换律：a+b=b+a,a⋅b=b⋅aa+b=b+a,a \cdot b=b \cdot aa+b=b+a,a⋅b=b⋅a
加法和乘法单位元：a+0=a,a⋅1=aa+0=a,a\cdot 1=aa+0=a,a⋅1=a
加法和乘法逆元：a+(−1)=0a+(-1)=0a+(−1)=0,a≠0,a⋅a−1=1a\neq0,a\cdot a^{-1}=1a=0,a⋅a−1=1，
分配率：a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca\cdot (b+c)=a \cdot b + a\cdot ca⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c

实数构成一个域，有理数构成一个域

有限域(F,+,⋅)(F,+,\cdot)(F,+,⋅)/(Galois Field):

是域，且集合元素是有限个的

ZqZ_qZq是一个有限域，当且仅当qqq是一个素数

环的理想/(ideal)

对于一个任意的环(R,+,⋅)(R,+,\cdot)(R,+,⋅)，称III为RRR的左理想，当且仅当：

III是RRR的一个加法子群
∀r∈R,∀x∈I,rx∈R\forall r\in R,\forall x\in I,rx\in R∀r∈R,∀x∈I,rx∈R

对于一个任意的环(R,+,⋅)(R,+,\cdot)(R,+,⋅)，称III为RRR的右理想，当且仅当：

III是RRR的一个加法子群
∀r∈R,∀x∈I,xr∈R\forall r\in R,\forall x\in I,xr\in R∀r∈R,∀x∈I,xr∈R

比如偶数是整数的一个左理想，偶数本身是整数的子集，且偶数是加法群，任意整数和偶数的乘法仍然是个偶数。偶数也是一个右理想，那么偶数简称为整数的理想。

偶数可以理解为∀x∈I,x≡0mod2\forall x\in I,x\equiv 0\bmod 2∀x∈I,x≡0mod2，可以写作2Z2\Z2Z，那么2Z2\Z2Z就是Z\ZZ的一个理想。

同理任意n∈Zn\in \Zn∈Z，nZn\ZnZ也是Z\ZZ的一个理想。

把这样的理想称作整数由nnn生成的理想。

原根/(Primitive Root)

∀gcd(a,m)=1,aφ(m)≡1modm\forall gcd(a,m)=1,a^{\varphi(m)}\equiv 1\bmod m∀gcd(a,m)=1,aφ(m)≡1modm

如果e=φ(m)e=\varphi(m)e=φ(m)是使得ae≡1modma^e \equiv 1\bmod mae≡1modm满足的最小数的话，则aaa是原根。

即：aφ(m)/2≡m−1modma^{\varphi(m)/2}\equiv m-1 \bmod maφ(m)/2≡m−1modm，则aaa是原根。若aφ(m)/2≡1modma^{\varphi(m)/2}\equiv 1 \bmod maφ(m)/2≡1modm，则aaa不是原根。

生成/(Generate)

定义：设GGG是一个群, XXX是GGG的子集. 设 {Hi}i∈I\left\{H_{i}\right\}_{i \in I}{Hi}i∈I 是 GGG的包含 XXX 的所有子群, 则 ⋂i∈IHi\bigcap_{i \in I} H_{i}⋂i∈IHi 叫做 GGG 的由XXX生成的子群, 记为⟨X⟩\langle X\rangle⟨X⟩，这样的子群也是一个循环群。

当GGG为乘法群时, 由XXX生成的子群为

⟨X⟩={a1n1⋯atnt∣ai∈X,ni∈Z,1⩽i⩽t}\langle X\rangle = \left\{a_{1}^{n_{1}} \cdots a_{t}^{n_{t}} \mid a_{i} \in X, n_{i} \in \mathbf{Z}, 1 \leqslant i \leqslant t\right\}⟨X⟩={a1n1⋯atnt∣ai∈X,ni∈Z,1⩽i⩽t}

特别地, 对任意的a∈Ga \in Ga∈G, 有

<a>={an∣n∈Z}<a> = \left\{a^{n} \mid n \in \mathbf{Z}\right\}<a>={an∣n∈Z}

当GGG为加法群时, 由XXX生成的子群为

⟨X⟩={n1a1+⋯+ntat∣ai∈X,ni∈Z,1⩽i⩽t}.\langle X\rangle = \left\{n_{1} a_{1}+\cdots+n_{t} a_{t} \mid a_{i} \in X, n_{i} \in \mathbf{Z}, 1 \leqslant i \leqslant t\right\} .⟨X⟩={n1a1+⋯+ntat∣ai∈X,ni∈Z,1⩽i⩽t}.

特别地, 对任意的a∈Ga \in Ga∈G, 有

⟨a⟩={na∣n∈Z}.\langle a\rangle = \{n a \mid n \in \mathbf{Z}\} .⟨a⟩={na∣n∈Z}.

商环/(Quotient Ring)

理想的一个用途就是用于构造商环。

假设环RRR的有理想III，定义RRR上的等价关系∼\sim∼

a∼b⟺a−b∈Ia\sim b \iff a-b\in Ia∼b⟺a−b∈I。

这就像一个同余的关系。

由III能构造任意元素a∈Ra\in Ra∈R的等价类：

[a]=a+I:={a+r:r∈I}[a] = a+I:=\{a+r:r\in I\}[a]=a+I:={a+r:r∈I}

与可以写成amodIa\bmod IamodI。

所有这样的等价类构成一个商环，写作R/IR/IR/I。

比如整数环Z\ZZ的理想偶数2Z2\Z2Z，那么就可以构造两个等价类[0],[1][0],[1][0],[1]，[0]={...,−2,0,2,4,...},[1]={...−3,−1,1,3,...}[0]=\{...,-2,0,2,4,...\},[1]=\{...-3,-1,1,3,...\}[0]={...,−2,0,2,4,...},[1]={...−3,−1,1,3,...}。