群、环、域的概念,定义和理解.

以下链接很好的解释了群环域的概念.
http://sparkandshine.net/algebraic-structure-primer-group-ring-field-vector-space/

群的定义:(Group)
群是一个特殊的集合,这个集合需要满足4条性质. 1,2,3,4 blablabla, 就叫1个群. 也叫群公理定义.

我这里要说的是, 并不是每个集合都能够同时满足这4条性质的.

例如第一条: totality, 整体性或封闭性. 集合中的两个元素通过.运算后仍然在这个集合中.这是最基本的一个要求.
有没有不满足这个要求的集合呢? 有. 整数对除法运算就不满足.
不满足封闭性, 不在群的范围之内.

第二个性质: associativity. 结合性 a.b.c = a.(b.c)
不满足结合率的太多了. 整数域对减法不满足结合率. 15-5-3 != 15-(5-3)
生活中有太多事情不满足结合率!
满足封闭性,不满足结合性可能叫magma 之类, 不在群范围之内.
满足封闭性和结合性叫半群.

第三个性质: identity. 身份,单个.可识别性
存在一个幺元素e. 任何一个元素和幺元相运算,还是这个元素.即满足 a.e=e.a=a, 则称e 为幺元.
这大概是要求元素有确定性吧. 变色龙,随便变的不在我们研究之内.
满足封闭性,结合性,确定性的集合叫幺半群

第4个性质: divisibility 可除性,可分性或逆元的存在
任何一个元素都存在逆元,记为1/a, 所谓逆元,该元素和它的逆元运算,得到幺元 a.1/a=(1/a).a=e
满足以上4个性质的叫群(封闭性,结合性,幺元性,可分性). 叫标准群,整群.

实数域内加法运算幺元是0, a的逆元是-a
实数域内乘法运算幺元是1, a的逆元是1/a

如果再满足第5个性质commutative, 任意的两个元素,满足交换率, a.b=b.a
则称该群为阿贝尔群(交换群)

为什么要对群加这么多限制, 因为数学是一种抽象,它要研究的东西是很纯粹的! 比现实生活要简单的多.要抓住核心的东西.

环:(Ring)
环要对An abelian group 做进一步限制.
环有两个操作, 加法运算满足abelian 群. 乘法运算要满足幺半群.
同时外加乘法对加法满足交换率,则称为一个环.
如果乘法满足交换率,则称为可交换环.

域:(Field)
域也有两个操作,
加法运算满足abelian 群.
乘法运算也满足abelian 群. (0可以不做除法,个别的元素还是可以剔除的.)
乘法对加法满足交换率,则集合称为一个域
可见域是一种特殊的环. 一种乘法有逆元, 运算可交换的特殊的环可称之为域.

域(Field)在交换环的基础上，还增加了每个元素都要有乘法逆元(0除外)。由此可见，
域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。

整数集合对乘法不构成群，因为不存在整数乘法逆元(1/3不是整数)，所以整数集合不是域。
有理数、实数、复数对加减乘除运算构成域(减是加的逆运算,除是乘的逆运算),
分别叫有理数域、实数域、复数域。有理数构成数域中最小的域.
域的几种定义，直接看维基百科英文吧：
a field is a nonzero commutative ring that contains a multiplicative inverse for every nonzero element,

加上了这些限定之后,对数学的研究就比较纯粹了.
否则乱七八遭的因素掺合在一起,就没有办法做研究了.
简而言之,集合及其对应的集合运算,满足4条群公理则构成群.

循环群+群生成元：
若—个群G的每—个元都是G的某—个固定元a的乘方，则称G为循环群，记作G={a^m |m∈Z}，a称为G的—个生成元

群的一个应用是解方程, 它是伽罗华解方程时引入的. 叫对称置换群.
有机会结合具体实例在应用理解吧.

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