【谈谈】动态规划——求最长公共子序列

首先，我们要搞清楚所谓最长公共子序列的概念。不然很容易把它和最长公共子串混淆，两者区别是：子序列只需要字符保持相对顺序，并不要求像公共字串那样组成字符还需连续。
问题：
给定两个字符串数组序列：

X[1...m] = {A, B, C, B, D, A, B}
Y[1...n] = {B, D, C, A, B, A}

求它们的最长公共子序列，我们可肉眼判断，这两个字符串数组序列的最长公共子序列长度为4.

“BDAB”
“BCAB”
“BCBA”

现在用代码解决这个问题，一般人比如说我最容易想到方法都是穷举法：
列出X的所有子序列，再在Y中找到和其匹配的最长子序列。
如果用穷举法解决，时间复杂度最多能达到O(n*2^m)，也就是说，在一些特定场合比如校招面试，使用这种方法极易被pass。
再接来考虑递推
问题的核心就是找到X,Y的最长公共子序列，记为LCS(X,Y)。

如果xm = yn，则Ck = xm = yn 且 Ck-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS
如果xm != yn 且 Ck != xm，则C是Xm-1和Y的一个LCS
如果xm != yn 且 Ck != yn，则C是X和Yn-1的一个LCS

public class 递归实现 {public static int Lcs(char x[],char y[],int i,int j) {if(i==0||j==0) {return 0;}else if(x[i]==y[j]) {return Lcs(x,y,i-1,j-1)+1;}else {return Max(Lcs(x,y,i-1,j),Lcs(x,y,i,j-1));}}private static int Max(int a,int b){if(a>b) {return a;}else {return b;}}
public static void main(String[] args) {//System.out.println((int)' ');String s1="ABCBDAB";char[] c1=new char[s1.length()+1];//带0字符的字符数组char[] t1=s1.toCharArray();c1[0]=(char)0;for(int i=1;i<t1.length;i++) {c1[i+1]=t1[i];}String s2="BDCABA";char[] c2=new char[s2.length()+1];//带0字符的字符数组char []t2=s2.toCharArray();c2[0]=(char)0;for(int i=1;i<t2.length;i++) {c2[i+1]=t2[i];}System.out.println(Lcs(c1,c2,c1.length-1,c2.length-1)) ;
}
}

但要是完全用递归求解，在整个二叉树的最有求解过程中，会有大量的重复调用。时间复杂度是指数级，并没有得到太大的优化。所以这里我们建议使用动态规划求解。
为了杜绝相关不必要重复步骤，我们选择用动态规划求解，通过备忘录或者说一张表来存放数据，避免重复的计算和调用，以空间换时间，同时本问题还符合动态规划的基本特征，求解最优子结构和重复子问题。

备忘录方法采用自顶向下方式,为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同子问题的重复求解

public class 备忘录法 {public static int Lcs(char x[],char y[],int i,int j,int bak[][]) {if(bak[i][j]!=-1) {return bak[i][j];}if(i==0||j==0) {return bak[i][j]=0;}else if(x[i]==y[j]) {return Lcs(x,y,i-1,j-1,bak)+1;}else {bak[i][j]=Max(Lcs(x,y,i-1,j,bak),Lcs(x,y,i,j-1,bak));}return bak[i][j];}private static int Max(int a,int b){if(a>b) {return a;}else {return b;}}
public static void main(String[] args) {//System.out.println((int)' ');String s1="ABCBDAB";char[] c1=new char[s1.length()+1];//带0字符的字符数组char[] t1=s1.toCharArray();c1[0]=(char)0;for(int i=1;i<t1.length;i++) {c1[i+1]=t1[i];}String s2="BDCABA";char[] c2=new char[s2.length()+1];//带0字符的字符数组char []t2=s2.toCharArray();c2[0]=(char)0;for(int i=1;i<t2.length;i++) {c2[i+1]=t2[i];}//初始化备忘录数组int [][]bak=new int[c1.length][c2.length];for(int i=0;i<c1.length;i++) {for(int j=0;j<c2.length;j++) {bak[i][j]=-1;}}System.out.println(Lcs(c1,c2,c1.length-1,c2.length-1,bak)) ;
}
}

备忘录法相比于递归以空间换时间，降低了时间复杂度，但占用内存会大大升高，并且它的时间复杂度相比于下面这种方法并不算太过优化。
动态规划—自底向上法：
采用自底向上方式,保存已求解的子问题,需要时取出,消除对某些子问题的重复求解.

import java.util.Scanner;public class 自底向上 {public static int Lcs(char x[],char y[],int i,int j,int bak[][]) {for(int ii=0;ii<=i;ii++) {for(int jj=0;jj<=j;jj++) {if(ii==0||jj==0) {bak[ii][jj]=0;}else if(x[ii]==y[jj]) {bak[ii][jj]= bak[ii-1][jj-1]+1;}else {bak[ii][jj]=Max(bak[ii-1][jj],bak[ii][jj-1]);}}}return bak[i][j];}private static int Max(int a,int b){if(a>b) {return a;}else {return b;}}
public static void main(String[] args) {Scanner s=new Scanner(System.in);//System.out.println((int)' ');String s1=s.nextLine();char[] c1=new char[s1.length()+1];//带0字符的字符数组char[] t1=s1.toCharArray();c1[0]=(char)0;for(int i=1;i<t1.length;i++) {c1[i+1]=t1[i];}String s2=s.nextLine();char[] c2=new char[s2.length()+1];//带0字符的字符数组char []t2=s2.toCharArray();c2[0]=(char)0;for(int i=1;i<t2.length;i++) {c2[i+1]=t2[i];}int [][]bak=new int[c1.length][c2.length];System.out.println(Lcs(c1,c2,c1.length-1,c2.length-1,bak)) ;
}
}

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