Java动态规划求最长公共子序列（LCS）
最长公共子序列（LCS）
定义：在序列X和序列Y中同时出现的元素，按照脚标从小到大排列的这样的序列。
String x = "ABCBDABGGGTT";
String y = "BDCABATGGGTT";
x,y的最长公共子序列为BCBAGGGTT；
package shu_quan.dynamic;import java.util.ArrayList;
/*** * @author quan*777代表两个x,y序列长度相同且最长公共子序列是Xn和Yn的情况，存在相同的元素*444代表x,y两个序列长度不同且最长公共子序列是x和Yn-1的情况，*666代表x,y两个序列长度不同且最长公共子序列是Xn-1和Yn的情况，*/public class LongestCommonSubsequence {public static void main(String[] args) {//初始化两个字符序列String x1 = "ABCBDABGGGTT";String x2 = "BDCABATGGGTT";char[] x = x1.toCharArray();char[] y = x2.toCharArray();ArrayList<int[][]> ls = new ArrayList<>();ArrayList<int[][]> ls1 = longestCommonSubsequence(x,y,ls);int[][] b = ls.get(0);int[][] c = ls.get(1);//打印c矩阵for (int i = 0; i < c.length; i++) {for (int j = 0; j < c[0].length; j++) {System.out.print(c[i][j]+" ");}System.out.println();}System.out.println("===================================================================");//打印b矩阵for (int i = 0; i < b.length; i++) {for (int j = 0; j < b[0].length; j++) {System.out.print(b[i][j]+" ");}System.out.println();}//构造LCSStringBuilder sb = new StringBuilder();printLongestCommonSubsequence(sb,b,x,x.length,y.length);System.out.println(sb.toString());}/**重构最优解LCS*/private static void printLongestCommonSubsequence(StringBuilder sb, int[][] b, char[] x, int i, int j) { if(i==0 || j==0)return;//777代表两个x,y序列长度相同且最长公共子序列是Xn和Yn的情况，存在相同的元素if(b[i][j] == 777) {printLongestCommonSubsequence(sb,b,x,i-1,j-1);sb.append(x[i-1]);//444代表x,y两个序列长度不同且最长公共子序列是x和Yn-1的情况}else if(b[i][j] == 444) {printLongestCommonSubsequence(sb,b,x,i,j-1);//666代表x,y两个序列长度不同且最长公共子序列是Xn-1和Yn的情况}else{printLongestCommonSubsequence(sb,b,x,i-1,j);}}/**把c矩阵和b矩阵放入容器中返回容器。*/private static ArrayList<int[][]> longestCommonSubsequence(char[] x, char[] y, ArrayList<int[][]> ls) {int m = x.length;int n = y.length;int[][] c = new int[m+1][n+1];int[][] b = new int[m+1][n+1];//c[i][j]表示xi和yi的LCS的长度，当i或者j等于0，序列的长度也为0.for (int i = 0; i < c.length; i++) {c[i][0] = 0;}for (int i = 0; i < c[0].length; i++) {c[0][i] = 0;}for(int i=1; i <= m; i++) {for(int j=1; j <=n; j++) {if(x[i-1] == y[j-1]) {c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;b[i][j] = 777;}else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){c[i][j] = c[i-1][j];b[i][j] = 666;}else {c[i][j] = c[i][j-1];b[i][j] = 444; }}}ls.add(b);ls.add(c);return ls;}}
运行结果：
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3
0 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3
0 1 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4
0 1 2 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4
0 1 2 2 3 4 4 4 5 5 5 5 5
0 1 2 2 3 4 4 4 5 6 6 6 6
0 1 2 2 3 4 4 4 5 6 7 7 7
0 1 2 2 3 4 4 5 5 6 7 8 8
0 1 2 2 3 4 4 5 5 6 7 8 9
===================================================================
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 666 666 666 777 444 777 444 444 444 444 444 444
0 777 444 444 666 777 444 444 444 444 444 444 444
0 666 666 777 444 666 666 666 666 666 666 666 666
0 777 666 666 666 777 444 444 444 444 444 444 444
0 666 777 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666
0 666 666 666 777 666 777 444 444 444 444 444 444
0 777 666 666 666 777 666 666 666 666 666 666 666
0 666 666 666 666 666 666 666 777 777 777 444 444
0 666 666 666 666 666 666 666 777 777 777 444 444
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0 666 666 666 666 666 666 777 666 666 666 777 777
BCBAGGGTT
C[i][j]的值为序列Xi和Yj的最长公共子序列的值。
矩阵b比较抽象：构造LCS。
以下图（来自算法导论）说明数字777,444,666的含义,代表了计算c的选择指向↖、←、↑ ，b[i][j]的指向对应计算c[i][j]时所选的子问题最优解，按照箭头的方向就能够追踪得到任意c[i][j]最长公共子序列。使用递归的方式求LCS。
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