Java曲线之削峰填谷,科学网—Lorenz曲线之削峰填谷

我给黄小邪同学的置顶博文《中科院研究生入学考试的Lorenz曲线》(http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=480705&do=blog&id=706263) 留言说：“建议模拟一个李小文老师所假设的双峰分布(其实可以做N峰分布，N大于等于2)，作个2分，5分，10分，20分的对比，再看看结果。”

国内已经是半夜了，我想黄小邪未必看得到我的留言，就算看得到，也未必会按我的建议来实施。所以，我就花点时间自己试一试。数字处理图像处理，我都不是专家，比黄小邪老师差很多。下面的图不好看，仅仅是个示意而已。

Lorenz曲线和Gini系数的计算方法如下图所示：

我自己编了一个收入分布，大致符合李小文老师所说的“双峰”。原始数据为(a到j共10组，每一组收入占总收入的百分比)：f(x)

c15

d13

g17

h23

这是一个未经过排序的分布，呈现双峰特性。如下图的f(x)。然后我对这个数据进行排序，计算累积百分比，并根据10分法，5分法，2分法分别做了Lorenz曲线，见a2，a5，a10。因为累积，因为自少向多的排序，Lorenz曲线里面，原始数据的两个峰不见了。

再下一步，就是计算Gini系数了。计算Gini系数的关键，是B的面积。有了原始数据，计算这个B的面积并不难，不用什么高深的公式，就是一个三角形的面积加上若干梯形面积而已。用Excel计算，甚至手算，都不是难事儿。

计算结果如下： 10分法，Gini系数等于0.358； 5分法，Gini系数等于0.344； 2分法，Gini系数等于0.270。可见，分得越细，Gini系数越大；分得越粗，Gini系数越小。

分组数量对Gini系数的影响，是与原始数据的分布密切相关的。如果原始数据是一个正态分布，而且标准差很小的话，那么分组数量应该对Gini系数的数值影响不大；理论上说，标准差越大，分组数量对Gini系数的数值的影响应该越大。对于非正态分布，比如多峰情况，就要具体问题具体分析了。

不管怎么说，通过上面这个双峰的假设例子，我们可以看到，笼统地讲Gini系数是具有很大欺骗性的。分组的数量，可以 significantly 影响Gini系数的数值。这是Gini系数的一个局限性。

上述计算未经过仔细验证，如有错误，责任在我。希望本文能对李小文老师所讨论的问题有些许贡献，也欢迎行家批评指正。

(注：文中的数据，应为百分比，为了图省事，用了100以内的整数。这不影响最后的结果。)

补充一个极端情况：根据李小文老师在留言7里的意思构想一个场景，即99%的穷人拥有90%的收入，1%的富人拥有10%的收入。Lorenz曲线及GINI系数计算如下图所示：

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