最小生成树——Prim算法

基本思想

实现

伪代码

实际问题求解

最小生成树：带权连通图的生成树中边的权值之和最小的那个生成树。

最小生成树不是唯一的。当图中的各边权值互不相等时，最小生成树是唯一的；

若无向连通图本身是一棵树时（边数比顶点数少1 ），则最小生成树就是它本身。

最小生成树的边数为顶点数减1

基本思想

（找距离最近的结点）

任选一个结点v1，然后选择离【当前选中结点集合】最近的一个结点v2；
再选择离【当前选中结点集合{v1，v2}】结点最近的一个结点；依次重复，直到点全部被选中。

Prim算法的时间复杂度为不依赖于，因此它适用于求解边稠密图的最小生成树。

实现

伪代码

void Prim (G , T ) { T = 空集 ;               //初始化空树U={w};                  //添加任一顶点wwhile( (V-U) != 空集 ) {    //若树中不含全部顶点设 ( u , v ) 是使u∈U 与 v∈（V-U）,且权值最小的边；T=TU{ (u,v) };     //边归入树U=U U{v);            //顶点归入树}
}

实际问题求解

[USACO3.1]最短网络 Agri-Net

题目背景：Farmer John 被选为他们镇的镇长！他其中一个竞选承诺就是在镇上建立起互联网，并连接到所有的农场。当然，他需要你的帮助。

题目描述：FJ 已经给他的农场安排了一条高速的网络线路，他想把这条线路共享给其他农场。为了用最小的消费，他想铺设最短的光纤去连接所有的农场。

你将得到一份各农场之间连接费用的列表，你必须找出能连接所有农场并所用光纤最短的方案。每两个农场间的距离不会超过。

（采用基本Prim算法求解：Kruskal算法求解见专栏）

public class MST {public int prim(int[][] w){int n=w.length;//最小生成树总权值int result=0;//加入的顶点集boolean[] Vex=new boolean[n];//当前已确定的顶点集到i的最短距离int[] dis=new int[n];//初始化//任选v点开始点int v=0;Vex[0]=true;for (int i = 0; i < n; i++) {dis[i]=w[v][i];}//遍历n次，选n个顶点for (int l = 0; l < n; l++) {//选取当前顶点集到其它顶点的最短路径int temp=-1;for (int i = 0; i < n; i++) {if ((!Vex[i])&&(temp==-1||(dis[i]>0&&dis[i]<dis[temp]))){temp=i;}}if (temp==-1) {return -1;}//将找到的距离最近的顶点加入顶点集Vex[temp] = true;v = temp;result += dis[temp];//由于顶点集新加入一个顶点，要更新当前已确定的顶点集到i的最短距离for (int i = 0; i < w.length; i++) {if ((!Vex[i])&&w[v][i]>0&&w[v][i]<dis[i]){dis[i]=w[v][i];}}}return result;}public static void main(String[] args) {Scanner scan=new Scanner(System.in);int n=scan.nextInt();int[][] w=new int[n][n];for (int i = 0; i < w.length; i++) {for (int j = 0; j < w.length; j++) {w[i][j]=scan.nextInt();}}System.out.println(new MST().prim(w));}
}

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