人工智能数学基础5：数列的单调有界定理

2024-05-10 22:02:41

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1. 单调性

对任一数列{xn}，如果从某一项xk开始，满足：

则称数列（从第k项开始）是单调递增的。特别地，如果上式全部取小于号，则称数列是严格单调递增的。
同样地，如果从某一项k开始，满足：

则称数列（从第k项开始）是单调递减的。特别地，如果上式全部取大于号，则称数列是严格单调递减的。
单调递增数列和单调递减数列统称单调数列。

2. 有界性

对任一数列{xn}，如果存在某个实数A使数列的所有项都满足不等式：

恒成立，即∃A，使得：

则称这个数列是有下界的，实数A是数列的一个下界，记做：

如果存在某个实数B使数列的所有项都满足不等式：

恒成立，即∃B ，使得：

则称这个数列是有上界的，实数B是数列的一个上界，记做：

如果一个数列既有上界又有下界，则称这个数列是有界的。此时，存在一个正数M，使不等式：

成立。数列有界性的几何解释是：数列的所有项都包含在零点的M-邻域内。

3. 引理：单调有界序列存在极限。

具体地说：

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