单调有界定理适用于函数吗_实数系的连续性定理

我们对数的认识大致经历了自然数——整数——有理数——实数这样一个过程。在今天的搞高等数学教材中所研究的函数都是在实数的范围内，极限理论也是建立在实数系的连续性基础之上。而实际上在很长的一段历史时期内，人们对实数的认识一直都比较模糊。一直到柯西，戴德金，康托尔等人的发展下实数理论才得以完善。下面我们来看看实数系的基本定理。（也叫完备性或连续性定理）这几个定理是等价的。

一.确界存在原理：非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。

对于R中的一个数集S，若存在数M(L)，使得对一切

,都有

(或

），则称S为有上界（或下界）的数集，M(L)称为S的一个上界（下界）。同时具有上下界称数集有界。

确界：最小上界或最大下界称为上下确界。记为

或

证明：

，

(任意一个数都可以用整数部分加小数部分来表示）

（小数部分用无限小数表示，没有小数位数的补0）

PS：我们知道1=0.999999...，所以

也就是说同一个小数有两种表示方法，在这里我们采用前者，此时，小数的表示是唯一确定的。

设

，非空，有上界，则

我们现在要证明

有上界，大致的思路是这样：我们要找到它的上确界，怎么找呢？让他每一个数位上的数最大就行了。

我们把

中的数全写成了小数，那就可以把所有的

的整数部分取来，然后从中取最大的（一定有最大的，如果没有那

就没有上界了），记为

，然后构建一个

的子集

，这个集合中所有数的整数部分是

。那我们现在做了一件什么事呢，就是把

中整数部分最大的全拿出来构建了

,那现在属于

但不属于

的数，整数部分一定小于

然后在

中取第一位小数

的最大者，记为

，然后我们把

中整数部分为

的拿出来构建一个子集

，这样我们就保证了整数部分最大，第一位小数最大，.....一直做下去，我们可以保证第n位小数最大，只要我们一直做，就能一直保持当前的那个小数位最大。

至此，我们得到了一个数

,还得到了一串集合

现在我们来证明

就是上确界。怎么证明呢？

只需要证两件事（1）它是上界；（2）它是最小上界。

令

（1）

,只有两种情况：

是最大的，或者不是最大的

是最大，则有

，则考虑

和

，则这个时候的

不是最大，则有

,则

所以

，

，所以

是上界

（2）要证明

是最小上界，就是证明

稍微减去一点，就不是上界了，即

不是上界

我们取

使得，

，（比如取

，

）

取

，这样的话

整数部分为

，前

位小数都与

相同，

则

,即

,这样一来，

就不是上界了，故最小上界得证。

因此，我们从数集非空有上界推出了有上确界，同理可证有下界必有下确界。

二.单调有界收敛原理：数列单调+有界必定收敛。

说明：这里的有界不一定是同时有上下界，而是相对于单调来说的，我们从直观来看，如果数列单调递增，则有上界能保证收敛；如果单调递减，则需要有下界来保证收敛。、

证明：设

单调递增，有上界。由确界存在原理可得，

有上确界，记为

，下面证明这个

就是数列的极限。

由于

是上确界，则

,当

时，有

；

又因为

是

的一个上界，所以对于一切

，都有

.所以，当n充分大时，

,由夹逼性可得，

。

同理可证单调递减有下界必定收敛。

三.闭区间套定理（Cantor准则）。

我们先来看一下什么叫闭区间套。

设闭区间列

具有下面两条性质，则称其为闭区间套：

（1）

（2）

定理：若

是一个闭区间套，则在实数系中存在唯一的一点

，使得

证明：从定义来看，闭区间套应该有下面的性质：

所以

单调递增且有上界，

单调递减且有下界，且两数列极限相同，所以

，所以存在

这一点满足条件。

下面证明唯一性：假设另外一数

也满足

,那么

取极限，得

，于是

,唯一性证毕。

四.Bolzano-Weierstrass定理（致密性定理）：有界数列必有收敛子列。

说明：从之前第二个定理看出，有界+单调的条件方能推出数列收敛，而只有有界的情况下，则没有那么强的结论，只能得到稍微弱一些结论。

证明：设

有界，

，即

现在将

分为

，必然有一个区间包含了

的无穷多项，取其为

，再将这个区间分成两个小区间，其中必然有一个包含

无穷多项，再将它记为

...

... ... ,一直做下去，我们得到一个闭区间套

，由闭区间套定理，可得，存在唯一的

。

现证明

中有子列以

为极限。

在

中取

在

中取

从而得到子列

，

，令

，得，

故定理得证。

五.柯西收敛准则

定理：

是基本列，则

收敛，反之也成立。

基本列：

成立

,则称该数列为基本列。

证明：（1）设

，则有

，

两式相加，可得

(2).先证明

有界

取

成立

即：

,取

对于

，即

有界，所以有收敛子列

记

，

因为

，当k充分大时，这个式子可以写成

，令

，则原式变为

故

，证毕。

结语：上述五个定理统称为实数系的连续性定理，是数学分析学习过程中必须掌握的实数理论的基本定理。这几个定理都描述了实数系是连续的，不可列的。除此之外，实数系基本定理还有戴德金切割定理，聚点定理（也可归为之密性定理），定理内容及证明放在以后给出。从任何一个定理出发都能够推出其他几个定理，他们是极限论的基础，进而也是微积分的基础。