单调有界定理适用于函数吗_用极限定义证明一些极限的性质定理

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「极限精确定义是从初等数学到高等数学的一次重要跨越，但该定义在初学时不易理解。事实上极限的所有性质定理都是基于极限的精确定义来的，那么自然地所有定理其实都可以直接或间接由极限精确定义来证明。本文主要补充一些高等数学中通常没有证明或者用其它方法证明的定理，旨在帮助大家巩固这些定理内容的同时，从这些证明过程中加深对定义的理解。」

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1、数列极限的存在唯一性定理

定理1：收敛数列的极限必唯一。

证明：假设有极限与 , 根据极限的定义有：

取 , 利用三角不等式, 则，有：

由的任意性知，常数中只有的绝对值可以小于任意小的，因此。

2、收敛数列必有界

定理2：收敛数列必有界。

证明： 设数列收敛, 极限为 , 由极限的定义,取 , 则有，亦即：

取, 显然对所有的项，有：

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