运筹学之线性规划与整数规划
1.线性规划
参考《Operations Research》第三章Introduction to Linear Programming
1.1线性规划定义
线性规划问题（LP）包括三个部分：
- 目标函数（objective function）：决策变量（decision variables)
的线性函数，最大化或者最小化
- 约束条件（constraints）：每个约束条件都是线性等式或者线性不等式，用于限制决策变量可取值
- 符号限制（sign restrictions）：如果变量符号无限制，则为unrestricted in sign (urs).
目标函数中变量系数称为目标函数系数（objective function coeffificient）；约束中的变量系数称为技术系数（technological coeffificient）；每个约束的右端称为right-hand side (rhs)。
可行域（feasible region）：所有满足LP约束条件和符号限制的点的集合
最优解（optimal solution）：可行域里有最优目标函数值的点
线性规划有四大假设：
- 比例假设（Proportionality Assumption）：目标函数的值是单个变量的贡献总和
- 可加性假设（Additivity Assumption）：每个约束的左边都是每个变量的贡献总和
- 可分性假设（Divisibility Assumption）：允许每个变量取分值（反之为整数规划）
- 确定性假设（Certainty Assumption）：每个参数（目标函数系数，技术系数，rhs）都是确定性知道
1.2图解法（Graphical Solution）
任何LP的可行域都是凸集（convex set），如果一个LP有最优解，可行域中存在一个极值点（顶点）为LP的最优解。带有两个决策变量的最大化LP问题图解法如下：
（1）画出可行域
（2）画出等利润线（isoprofifit line ）（目标函数）
（3）沿z值增加的方向平行移动等利润线，接触等利润线的可行域中最后一个点为LP最优解
1.3LP解：四种情况
（1）LP有唯一解
（2）LP有不止一个最优解（alternative optimal solutions）：等利润线与可行域边界重合
（3）LP无可行解：可行域无点
（4）LP无边界：等利润线与可行域永远相交
1.4LP实例
A Diet Problem，A Work-Scheduling Problem，A Capital Budgeting Problem，Short-Term Financial Planning，Blending Problems，Production Process Models，Multiperiod Decision Problems: An Inventory Model，Multiperiod Financial Models，Multiperiod Work Scheduling
本文以多阶段工作调度为例
（1）问题描述：
CSL是一家连锁计算机服务商店。CSL接下来五个月要求的skilled repair time数字如下：
一月开始，有50个技术工人为CSL工作，每个技术工人每月能工作160个小时，为了满足未来需求，需要训练新的技术工人。训练一名技术工人需要1个月。训练月期间，被训练则必须被有经验的技术工人监督管理50个小时。每个有经验的技术工人每月支付2000美元（即便没有工作满160个小时）。训练月期间，支付被训练者每月1000美元。每个月末，CSL经验技术工人的5%会跳槽去Plum Computers。建立LP模型要求CSL在满足未来5个月需求的前提下最小化劳动费用。
（2）求解：
- 决策变量
代表月，定义
为
月需要训练的工人，
为
月初已有的熟练技术工人
- 目标函数
总劳务费=训练工人劳务费+熟练工人劳务费
- 约束条件
月可用的技术时间>
月所需的技术时间
月初可用的技术工人数=
月初可用技术工人数+
月训练工人数-
月末离开的工人数
- 完整模型：本例应该为整数规划问题，此处只是作为案例分析。
线性规划常用求解方法：单纯形法
2.整数规划
参考《Operations Research》第九章Integer Programming
2.1整数规划形式
纯整数规划（pure Integer Programming）：所有变量都要求整数
混合整数规划（mixed Integer Programming）：只有部分变量要求整数
（1）固定成本问题
活动在任何正水平上都会产生一个固定费用，如建工厂和工厂生产规模问题
在约束中显示为，M为足够大的数
（2）Either–Or Constraints
要求确保以下两个约束至少满足一个
约束条件被转换成
为0/1变量，M足够大。当
时，第一个条件等于原来约束，第二个条件无约束效应；当
，第一个条件无约束效应，第二个条件等于原来约束。
（3）If–Then Constraints
如果，那么
。M足够大
如果要求 ，则
，可以推出
（4）带有0/1变量的分段整数规划
分段线性函数有断点，用
代替
，增加如下约束
2.2整数规划求解
2.2.1分枝定界法
选择合适的取值为分数的变量生成子问题，如果
一个子问题不再分枝，称为fathomed。有三种情况：
（1）子问题无可行解，不能产生IP的最优解
（2）子问题产生一个最优解，其中所有变量取整数，如果最优解比之前找到的最优解更好，那么它就成为一个候选解（candidate solution），其z值成为IP最优z值的当前下界(LB)。
（3）当前子问题的最优z值没有超过当前LB（最大化问题），不再考虑
knapsack problem：先放单位价值最高的物品，接着下一个最高的，直到需要分割物品才能填满
job shop problem：分支决定最后一个加工的作业，总拖期为所有作业的延迟时间，依次向前
TSP：选一初始解，破圈处理
2.2.2割平面法
（1） 通过单纯形法找到IP松弛问题的最优解，如果所有的变量取值为整，则为IP的最优解，否则转（2），图为IP松弛问题求解结果
（2）选择rhs分数部分接近1/2的约束等式产生一个割集，rhs和变量分成，
，
重写约束等式变为：整数系数的部分=分数系数的部分，增加约束即右端的分数部分小于0
（3）增加约束后使用对偶单纯形法求解问题，重复上述操作
2.3IP实例
用整数规划求解9*9数独问题，问题描述：在每行每列及每个3*3的格子中填入数字使其没有重复
思路：将9*9的二维矩阵转化成为9*9*9的三维矩阵，矩阵的每一个元素是一个0-1变量。比如在(3,5,2)取值为1，即在二维格子的第3行，第5列填入数字2。前面的两个数字确定填入数字的位置，后一个数字代表填入的数值。对应于三维的矩阵，则是在第3行，第5列，第2层的元素取值为1
前三个等式为三维约束即横纵竖只能有一个数字，第四个等式为3*3*3约束
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