【运筹学】线性规划 单纯形法 案例二 ( 第一次迭代 | 矩阵变换 | 检验数计算 | 最优解判定 | 入基变量 | 出基变量 )
文章目录
- 一、第一次迭代 : 进行行变换
- 二、第一次迭代 : 计算检验数
- 三、第一次迭代 : 最优解判定
- 四、第一次迭代 : 入基变量
- 五、第一次迭代 : 出基变量
【运筹学】线性规划 单纯形法 ( 案例解析 | 标准形转化 | 查找初始基可行解 | 最优解判定 | 查找入基变量与出基变量 | 迭代一 : 列出单纯形表) 后续博客 , 在上一篇博客中进行了 初始基可行解的检验数计算 , 最优解判定 , 入基变量与出基变量计算 , 并开始第一次迭代 ; 本篇博客中进行后续步骤解析 ;
一、第一次迭代 : 进行行变换
当前的线性规划标准形式等式方程组 : {2x1−3x2+2x3+x4+0x5=1513x1+x2+5x3+0x4+x5=20\begin{cases} 2 x_1 - 3x_2 + 2x_3 + x_4 + 0x_5 = 15 \\\\ \dfrac{1}{3}x_1 + x_2 + 5x_3 + 0x_4 + x_5 = 20 \end{cases}⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x1−3x2+2x3+x4+0x5=1531x1+x2+5x3+0x4+x5=20
当前的单纯性表 :
| cjc_jcj | cjc_jcj | 111 | 222 | 111 | 000 | 000 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| CBC_BCB 基变量系数 (目标函数) | 基变量 | 常数 bbb | x1x_1x1 | x2x_2x2 | x3x_3x3 | x4x_4x4 | x5x_5x5 | θi\theta_iθi |
| 000 ( 目标函数 x4x_4x4 系数 c4c_4c4 ) | x4x_4x4 | 151515 | 222 | −3-3−3 | 222 | 111 | 000 | −-− (θ4\theta_4θ4) |
| 000 ( 目标函数 x5x_5x5 系数 c5c_5c5) | x5x_5x5 | 202020 | 13\dfrac{1}{3}31 | 111 | 555 | 000 | 111 | 202020 ( θ5\theta_5θ5 ) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | 111 ( σ1\sigma_1σ1 ) | 222 ( σ2\sigma_2σ2 ) | 111 ( σ3\sigma_3σ3 ) | 000 | 000 | |||
| 第一次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – |
| 000 ( 目标函数 x4x_4x4 系数 c4c_4c4 ) | x4x_4x4 | ??? | ??? | ??? | ??? | ??? | ??? | ??? ( θ4\theta_4θ4 ) |
| 222 ( 目标函数 x2x_2x2 系数 c2c_2c2) | x2x_2x2 | ??? | ??? | ??? | ??? | ??? | ??? | ??? (θ2\theta_2θ2) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | ??? ( σ1\sigma_1σ1 ) | 000 | ??? ( σ3\sigma_3σ3 ) | 000 | ??? ( σ2\sigma_2σ2 ) |
下面进行矩阵变换 :
- 入基变量是 x2x_2x2
- 出基变量是 x5x_5x5
中心元 : 在下面单纯形表中 , x2x_2x2 列 ( 红色选框 ) , 与 x5x_5x5 行 ( 绿色选框 ) , 上述 行列相交的部分 是 中心元 ,
以上述 中心元 为轴做变换 , 变换目的是把 中心元位置变换成 111 , 把中心元所在列的另一个位置变换成 000 ;
该行中 x2x_2x2 的系数 , 就是 111 , 不用改变 , 因此这里将第二行的系数原封不动填入第一次迭代的单纯形表中 ;
接下来要将上图 蓝色选框 部分的位置 , 变为 000 , 变换过程如下 :
- 将 13x1+x2+5x3+0x4+x5=20\dfrac{1}{3}x_1 + x_2 + 5x_3 + 0x_4 + x_5 = 2031x1+x2+5x3+0x4+x5=20 方程 等式左右两边乘以 333 ;
- 与 2x1−3x2+2x3+x4+0x5=152 x_1 - 3x_2 + 2x_3 + x_4 + 0x_5 = 152x1−3x2+2x3+x4+0x5=15 相加 ;
(13x1+x2+5x3+0x4+x5)×3+(2x1−3x2+2x3+x4+0x5)=20×3+15(x1+3x2+15x3+3x5)+(2x1−3x2+2x3+x4+0x5)=753x1+0x2+17x3+x4+3x5=75\begin{array}{lcl} (\dfrac{1}{3}x_1 + x_2 + 5x_3 + 0x_4 + x_5 ) \times 3 + ( 2 x_1 - 3x_2 + 2x_3 + x_4 + 0x_5 ) &=& 20 \times 3 + 15 \\\\ ( x_1 + 3x_2 + 15x_3 + 3x_5 ) + ( 2 x_1 - 3x_2 + 2x_3 + x_4 + 0x_5 ) &=& 75 \\\\ 3 x_1 + 0x_2 + 17x_3 + x_4 + 3x_5 &=& 75 \end{array}(31x1+x2+5x3+0x4+x5)×3+(2x1−3x2+2x3+x4+0x5)(x1+3x2+15x3+3x5)+(2x1−3x2+2x3+x4+0x5)3x1+0x2+17x3+x4+3x5===20×3+157575
新的单纯形表为 :
| cjc_jcj | cjc_jcj | 111 | 222 | 111 | 000 | 000 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| CBC_BCB 基变量系数 (目标函数) | 基变量 | 常数 bbb | x1x_1x1 | x2x_2x2 | x3x_3x3 | x4x_4x4 | x5x_5x5 | θi\theta_iθi |
| 000 ( 目标函数 x4x_4x4 系数 c4c_4c4 ) | x4x_4x4 | 151515 | 222 | −3-3−3 | 222 | 111 | 000 | −-− (θ4\theta_4θ4) |
| 000 ( 目标函数 x5x_5x5 系数 c5c_5c5) | x5x_5x5 | 202020 | 13\dfrac{1}{3}31 | 111 | 555 | 000 | 111 | 202020 ( θ5\theta_5θ5 ) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | 111 ( σ1\sigma_1σ1 ) | 222 ( σ2\sigma_2σ2 ) | 111 ( σ3\sigma_3σ3 ) | 000 | 000 | |||
| 第一次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – |
| 000 ( 目标函数 x4x_4x4 系数 c4c_4c4 ) | x4x_4x4 | 757575 | 333 | 000 | 171717 | 111 | 333 | ??? ( θ4\theta_4θ4 ) |
| 222 ( 目标函数 x2x_2x2 系数 c2c_2c2) | x2x_2x2 | 202020 | 13\dfrac{1}{3}31 | 111 | 555 | 000 | 111 | ??? (θ2\theta_2θ2) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | ??? ( σ1\sigma_1σ1 ) | 000 | ??? ( σ3\sigma_3σ3 ) | 000 | ??? ( σ5\sigma_5σ5 ) |
二、第一次迭代 : 计算检验数
1 . 计算非基变量 x1x_1x1 的检验数 σ1\sigma_1σ1 :
σ1=1−(02)×(313)=1−(0×3+2×13)=13\sigma_1 = 1 - \begin{pmatrix} \quad 0 \quad 2 \quad \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \quad 3 \quad \\\\ \quad \dfrac{1}{3} \quad \\ \end{pmatrix} = 1- ( 0 \times 3 + 2 \times \dfrac{1}{3} ) = \dfrac{1}{3}σ1=1−(02)×⎝⎜⎛331⎠⎟⎞=1−(0×3+2×31)=31
2 . 计算非基变量 x3x_3x3 的检验数 σ3\sigma_3σ3 :
σ3=1−(02)×(175)=1−(0×17+2×5)=−9\sigma_3 = 1 - \begin{pmatrix} \quad 0 \quad 2 \quad \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \quad 17 \quad \\\\ \quad 5 \quad \\ \end{pmatrix} = 1- ( 0 \times 17 + 2 \times 5 ) = -9σ3=1−(02)×⎝⎛175⎠⎞=1−(0×17+2×5)=−9
3 . 计算非基变量 x5x_5x5 的检验数 σ5\sigma_5σ5 :
σ5=0−(02)×(31)=0−(0×3+2×1)=−2\sigma_5 = 0 - \begin{pmatrix} \quad 0 \quad 2 \quad \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \quad 3 \quad \\\\ \quad 1 \quad \\ \end{pmatrix} = 0- ( 0 \times 3 + 2 \times 1 ) = -2σ5=0−(02)×⎝⎛31⎠⎞=0−(0×3+2×1)=−2
新的单纯形表为 :
| cjc_jcj | cjc_jcj | 111 | 222 | 111 | 000 | 000 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| CBC_BCB 基变量系数 (目标函数) | 基变量 | 常数 bbb | x1x_1x1 | x2x_2x2 | x3x_3x3 | x4x_4x4 | x5x_5x5 | θi\theta_iθi |
| 000 ( 目标函数 x4x_4x4 系数 c4c_4c4 ) | x4x_4x4 | 151515 | 222 | −3-3−3 | 222 | 111 | 000 | −-− (θ4\theta_4θ4) |
| 000 ( 目标函数 x5x_5x5 系数 c5c_5c5) | x5x_5x5 | 202020 | 13\dfrac{1}{3}31 | 111 | 555 | 000 | 111 | 202020 ( θ5\theta_5θ5 ) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | 111 ( σ1\sigma_1σ1 ) | 222 ( σ2\sigma_2σ2 ) | 111 ( σ3\sigma_3σ3 ) | 000 | 000 | |||
| 第一次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – |
| 000 ( 目标函数 x4x_4x4 系数 c4c_4c4 ) | x4x_4x4 | 757575 | 333 | 000 | 171717 | 111 | 333 | ??? ( θ4\theta_4θ4 ) |
| 222 ( 目标函数 x2x_2x2 系数 c2c_2c2) | x2x_2x2 | 202020 | 13\dfrac{1}{3}31 | 111 | 555 | 000 | 111 | ??? (θ2\theta_2θ2) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | 13\dfrac{1}{3}31 ( σ1\sigma_1σ1 ) | 000 | −9-9−9 ( σ3\sigma_3σ3 ) | 000 | −2-2−2 ( σ5\sigma_5σ5 ) |
三、第一次迭代 : 最优解判定
上述三个检验数 , {σ1=13σ3=−9σ5=−2\begin{cases} \sigma_1 = \dfrac{1}{3} \\\\ \sigma_3= -9 \\\\ \sigma_5 = -2 \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧σ1=31σ3=−9σ5=−2 , 其中 σ1\sigma_1σ1 大于 000 , 只有当检验数都小于等于 000 时 , 该基可行解才是最优解 ; 该解不是最优解 ;
无穷多最优解 : 当有检验数等于 000 时 , 其它都小于 000 , 该线性规划有无穷多个最优解 ;
无界解 : 找不到出基变量 , 则该线性规划是无界解 ;
四、第一次迭代 : 入基变量
根据上述三个检验数 {σ1=13σ3=−9σ5=−2\begin{cases} \sigma_1 = \dfrac{1}{3} \\\\ \sigma_3= -9 \\\\ \sigma_5 = -2 \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧σ1=31σ3=−9σ5=−2 的值 , 选择检验数最大的非基变量作为入基变量 , 这里选择 x1x_1x1 ;
五、第一次迭代 : 出基变量
出基变量选择 : 常数列 b=(7520)b =\begin{pmatrix} \quad 75 \quad \\ \quad 20 \quad \end{pmatrix}b=(7520) , 分别除以除以入基变量 x1x_1x1 大于 000 的系数列 (313)\begin{pmatrix} \quad 3 \quad \\\\ \quad \cfrac{1}{3} \quad \end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛331⎠⎟⎟⎞ , 计算过程如下 (7532013)\begin{pmatrix} \quad \cfrac{75}{3} \quad \\\\ \quad \cfrac{20}{ \dfrac{1}{3}} \quad \end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛3753120⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞ , 得出结果是 (2560)\begin{pmatrix} \quad 25 \quad \\\\ \quad 60 \quad \end{pmatrix}⎝⎛2560⎠⎞ , 如果系数小于等于 000 , 该值就是无效值 , 默认为无穷大 , 不进行比较 , 选择 252525 对应的基变量作为出基变量 , 查看该最小值对应的变量是 x4x_4x4 , 选择该 x4x_4x4 变量作为出基变量 ;
新的单纯形表为 :
| cjc_jcj | cjc_jcj | 111 | 222 | 111 | 000 | 000 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| CBC_BCB 基变量系数 (目标函数) | 基变量 | 常数 bbb | x1x_1x1 | x2x_2x2 | x3x_3x3 | x4x_4x4 | x5x_5x5 | θi\theta_iθi |
| 000 ( 目标函数 x4x_4x4 系数 c4c_4c4 ) | x4x_4x4 | 151515 | 222 | −3-3−3 | 222 | 111 | 000 | −-− (θ4\theta_4θ4) |
| 000 ( 目标函数 x5x_5x5 系数 c5c_5c5) | x5x_5x5 | 202020 | 13\dfrac{1}{3}31 | 111 | 555 | 000 | 111 | 202020 ( θ5\theta_5θ5 ) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | 111 ( σ1\sigma_1σ1 ) | 222 ( σ2\sigma_2σ2 ) | 111 ( σ3\sigma_3σ3 ) | 000 | 000 | |||
| 第一次迭代 | – | – | – | – | – | – | – | – |
| 000 ( 目标函数 x4x_4x4 系数 c4c_4c4 ) | x4x_4x4 | 757575 | 333 | 000 | 171717 | 111 | 333 | 252525 ( θ4\theta_4θ4 ) |
| 222 ( 目标函数 x2x_2x2 系数 c2c_2c2) | x2x_2x2 | 202020 | 13\dfrac{1}{3}31 | 111 | 555 | 000 | 111 | 606060 (θ2\theta_2θ2) |
| σj\sigma_jσj ( 检验数 ) | 13\dfrac{1}{3}31 ( σ1\sigma_1σ1 ) | 000 | −9-9−9 ( σ3\sigma_3σ3 ) | 000 | −2-2−2 ( σ5\sigma_5σ5 ) |
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