Floyd算法应用-医院选址问题

1)问题描述

n个村庄之间的交通图可以用有向网图来表示，图中边<v_i, v_j>上的权值表示从村庄i到村庄j的道路长度。现在要从这n个村庄中选择一个村庄新建一所医院，问这所医院应建在哪个村庄，才能使所有的村庄离医院都比较近？

2) 基本要求

(1) 建立模型，设计存储结构；

(2) 设计算法完成问题求解；

(3) 分析算法的时间复杂度。

3) 设计思想

医院选址问题实际是求有向图中心点的问题。首先定义顶点的偏心度。

设图G=（V，E），对任一顶点k，称E(k)=max{d(i, k)}（i∈V）为顶点k的偏心度。显然，偏心度最小的顶点即为图G的中心点。

如图3(a)所示是一个带权有向图，其各顶点的偏心度如图(b)所示。

4)医院选址问题的算法用伪代码描述如下：

1．对加权有向图，调用Floyd算法，求每对顶点间最短路径长度的矩阵；

2．对最短路径长度矩阵的每列求大值，即得到各顶点的偏心度；

3．具有最小偏心度的顶点即为所求。

5)代码附录

  1 #include<stdio.h>
  2 #include<stdlib.h>
  3 #include<string.h>
  4 #define INFINITY 1000000
  5 #define MAX_VERTEX_NUM 20
  6
  7 //定义弧的权值信息
  8 typedef struct Arccell
  9 {
 10     int adj; //权值
 11 } Arccell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; //图的邻接矩阵
 12 //定义结点信息
 13 typedef struct VertexInfo
 14 {
 15     char name[20];//结点[村庄]名称
 16     int position;//定点编号
 17 } VertexInfo;
 18 //图的结构
 19 typedef struct Mgraph
 20 {
 21     VertexInfo vexs[MAX_VERTEX_NUM];//顶点数组
 22     AdjMatrix arcs;//邻接矩阵
 23     int vernum,arcnum;//分别指定顶点数和边数
 24 } Mgraph;
 25
 26
 27 //对图的初始化
 28 Mgraph initgraph()
 29 {
 30     Mgraph c;
 31     printf("请输入该图的顶点个数和弧的个数：\n");
 32     printf("顶点个数：");
 33     scanf("%d",&c.vernum);
 34     printf("弧的个数：");
 35     scanf("%d",&c.arcnum);
 36     //依次设置顶点编号
 37     for(int i=0; i<c.vernum; i++)
 38     {
 39         c.vexs[i].position=i;
 40     }
 41     //依次输入各顶点信息
 42     /*
 43     strcpy(c.vexs[0].name,"a");
 44     strcpy(c.vexs[1].name,"b");
 45     strcpy(c.vexs[2].name,"c");
 46     strcpy(c.vexs[3].name,"d");
 47     strcpy(c.vexs[4].name,"e");
 48
 49     */
 50     printf("\n请依次输入各个村庄的名称：\n");
 51     for(int i=0;i<c.vernum;i++)
 52     {
 53         printf("村庄%d:",i);
 54         scanf("%s",&c.vexs[i].name);
 55
 56     }
 57
 58     //依次设置各弧的信息
 59     for(int i=0; i<c.vernum; i++)
 60     {
 61         //先初始化邻接矩阵,相同点设置为0，其他全部设置为INFINITY（无穷大）
 62         for(int j=0; j<c.vernum; j++)
 63         {
 64             c.arcs[i][j].adj=INFINITY;
 65             if(i==j)
 66             {
 67                 c.arcs[i][j].adj=0;
 68             }
 69         }
 70     }
 71     //再依次输入需要设置的权值
 72     int i,j,k;
 73     printf("请输入需要设置的弧长及其两端顶点[输入3个0结束]：\n");
 74     while(scanf("%d%d%d",&i,&j,&k))
 75     {
 76         if(i==0&&j==0&k==0)
 77             break;
 78         c.arcs[i][j].adj=k;
 79     }
 80     /*
 81     c.arcs[0][1].adj=1;
 82     c.arcs[1][2].adj=2;
 83     c.arcs[2][3].adj=2;
 84     c.arcs[2][4].adj=4;
 85     c.arcs[3][1].adj=1;
 86     c.arcs[3][2].adj=3;
 87     c.arcs[4][3].adj=5;
 88     */
 89     return c;
 90 }
 91
 92 //输出邻接矩阵
 93 void printMatrix(Mgraph c)
 94 {
 95     printf("该图的邻接矩阵如下所示：\n");
 96     int count=0;//用于计数
 97     for(int i=0; i<c.vernum; i++)
 98         for(int j=0; j<c.vernum; j++)
 99         {
100             if(c.arcs[i][j].adj==INFINITY)
101                 printf("   #");
102             else
103                 printf("%4d",c.arcs[i][j].adj);
104             count++;
105             if(count%c.vernum==0)
106                 printf("\n");
107         }
108 }
109
110 void ShortestPath_Floyd(Mgraph G,int dis[][MAX_VERTEX_NUM])
111 {
112     //用floyd算法求有向网G中各对定点v和w之间的最短路径及其带权长度dis[v][w]
113     for(int v=0; v<G.vernum; v++)
114         for(int w=0; w<G.vernum; w++)
115         {
116             //对各结点之间初始化已知距离
117             dis[v][w]=G.arcs[v][w].adj;
118         }
119
120     for(int u=0; u<G.vernum; u++)
121         for(int v=0; v<G.vernum; v++)
122             for(int w=0; w<G.vernum; w++)
123             {
124                 if(dis[v][u]+dis[u][w]<dis[v][w])
125                 {
126                     //从v经u到w的路径更短
127                     dis[v][w]=dis[v][u]+dis[u][w];
128                 }
129             }
130
131 }
132 //输出距离矩阵
133 void printDis(Mgraph G,int dis[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM])
134 {
135     printf("\n经过Flyod算法之后各顶点之间的距离如下：\n");
136     for(int i=0; i<G.vernum; i++)
137     {
138         for(int j=0; j<G.vernum; j++)
139         {
140             if(dis[i][j]>=1000000)
141                 printf("   #");
142             else
143                 printf("%4d",dis[i][j]);
144
145         }
146         printf("\n");
147     }
148 }
149
150 //得到偏心度degree[]数组
151 void getDegree(Mgraph G,int dis[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM],int degree[])
152 {
153     for(int i=0;i<G.vernum;i++)
154     {
155         int max=dis[0][i];
156         for(int j=0;j<G.vernum;j++)
157         {
158             if(dis[j][i]>max)
159                 max=dis[j][i];
160         }
161         degree[i]=max;
162     }
163 }
164
165
166
167 int main()
168 {
169     printf("**********欢迎使用医院选址系统*********\n");
170     Mgraph c=initgraph();
171     system("cls");
172
173     //输出邻接矩阵
174     getchar();
175     printMatrix(c);
176
177     //定义距离数组，调用Floyd算法得到结果
178     int dis[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
179     ShortestPath_Floyd(c,dis);
180
181     //输出各个顶点之间的距离矩阵
182     getchar();
183     printDis(c,dis);
184
185     //存放偏心度数
186     int degree[c.vernum];
187     getDegree(c,dis,degree);
188
189     //显示各顶点的偏心度
190     getchar();
191     printf("\n各顶点的偏心度如下所示：\n");
192     for(int i=0;i<c.vernum;i++)
193     {
194         if(degree[i]>=1000000)
195             printf("   #\n");
196         else
197             printf("%4d\n",degree[i]);
198     }
199
200     //得到最小村庄的编号和名称
201     int num;
202     int min=degree[0];
203     for(int i=0;i<c.vernum;i++)
204     {
205         if(min>degree[i])
206             min=degree[i];
207     }
208
209     for(int i=0;i<c.vernum;i++)
210     {
211         if(min==degree[i])
212         {
213             num=i;
214             break;
215         }
216     }
217     getchar();
218     printf("\n偏心度最小的村庄编号：%4d\n",num);//输出偏心度最小的村庄编号
219     printf("医院应该建立在村庄:   %4s \n",c.vexs[num].name);
220     return 0;
221
222 }

6)测试结果

1.首先运行程序，出现如图6.1所示。

　　　　　　　　图6.1 程序运行开始界面

2.输入顶点个数和边的个数之后，会提示输入村庄名称，如图6.2所示。

图6.2 提示输入村庄名称界面

3.村庄名称输入结束之后，提示输入边的起始点和权值，如图6.3所示。

图6.3 提示输入边相关信息的界面

4.输入边的信息，以输入0 0 0结束，如图6.4所示。

图6.4 输入边相关信息界面

5.边的信息输入完成之后，回车得到邻接矩阵，如图6.5所示。

图6.5 邻接矩阵表

6.继续回车，得到距离矩阵，如图6.6所示。

图6.6 距离矩阵表

7.回车，得到偏心度表，如图6.7所示。

图6.7 各顶点偏心度

8.最后程序输出医院选址结果，如图6.8所示。

图6.8 最终结果

转载于:https://www.cnblogs.com/wujiyang/p/4491750.html

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