数据结构与算法(7-4)最短路径(迪杰斯特拉(Dijkstra)算法、弗洛伊德(Floyd)算法)
目录
一、最短路径概念
二、迪杰斯特拉(Dijkstra)算法(单源最短路径)
1、原理
2、过程
3、代码
三、弗洛伊德(Floyd)算法(多源最短路径)
1、原理
2、存储
3、遍历
4、代码
参考资料
一、最短路径概念
最短路径,顾名思义,两结点之间最短的路径(可以是非邻接结点)。
最小生成树和最短路径区别:
最小生成树:连通图的最短路径。
最短路径:两任意结点之间(可以非邻接)的最短路径。
二、迪杰斯特拉(Dijkstra)算法(单源最短路径)
优点:效率较高,时间复杂度为O(n^2)。
缺点:只能求一个顶点到所有顶点的最短路径。 (单源最短路)
1、原理
1、先选定一个根结点,并选定一个数组,先确定未遍历前的初始距离,把距离最短的邻接结点选定为中间结点,并标记访问过,开始往下遍历,挨个访问那个中间结点的邻接结点。计算出根结点到中间结点+中间结点到新邻接结点的距离,作为新距离,对比新距离和旧距离,如果新距离大,则把新距离替换掉旧距离,否则不变。
2、一轮访问结束后,从未标记的结点中选定距离最短的,把它作为中间结点,继续往下访问。若都标记过,则算法结束。
2、过程
1、保存根结点及到其他结点的权(距离)
2、 访问最近结点作为中间结点
3、对比新距离(根结点到中间结点+中间结点到新结点)和旧距离(根结点直接到新结点)
4、若新距离短,修改保存到数组
5、继续访问后面的,把未访问的距离根最近结点作为中间结点,继续访问它的邻接结点
6、继续对比新距离和旧距离
7、若新距离短,则修改保存到数组
8、 继续以距离根结点最短的结点为对象,访问它的邻接结点
9、全部访问完毕,结束算法
欣赏一下自己的稿书:
3、代码
//迪杰斯特拉(Dijkstra)算法
/*测试案例
ABCDEFGHI
B 1 C 5
A 1 C 3 D 7 E 5
A 5 B 3 E 1 F 7
B 7 E 2 G 3
B 5 C 1 F 3 H 9 G 6 D 2
C 7 E 3 H 5
D 3 E 6 H 2 I 7
F 5 E 9 G 2 I 4
G 7 H 4
*/
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>#define MAXSIZE 20
#define MAX 65535 //代表无穷大
int length = 0; //顶点个数
int root = 0; //根顶点
int rootDist[MAXSIZE]; //根顶点(记录根到其他顶点的距离)
bool visit[MAXSIZE]; //记录各结点是否访问//图(顶点和权)
typedef struct
{char vertex[MAXSIZE];int weight[MAXSIZE][MAXSIZE]; //权可以代替边(自身为0,相连有值,不相连无穷大)
}Graph;
Graph G;//输入顶点
void InputVertex()
{int i;char ch;printf("请输入图的顶点:\n");scanf("%c", &ch);for (i = 0; i < MAXSIZE && ch != '\n'; i++){G.vertex[i] = ch;scanf("%c", &ch);}length = i;
}//图权重初始化
void GraphWeightInit()
{int i, j;for (i = 0; i < length; i++){for (j = 0; j < length; j++){if (i == j) //指向自己G.weight[i][j] = 0;elseG.weight[i][j] = MAX; //无穷大}}
}//根据数据查找图顶点下标
int FindIndex(char ch)
{int i;for (i = 0; i < length; i++){if (G.vertex[i] == ch)return i;}return -1;
}//创建图
void CreateGraph()
{int i, j, index, weight;char ch;for (i = 0; i < length; i++){printf("请输入%c的邻接顶点及权重(空格分隔,换行结束):\n", G.vertex[i]);scanf("%c", &ch);while (ch != '\n'){while (ch == ' ') //为空格{scanf("%c", &ch); //输入字符continue;}index = FindIndex(ch);scanf("%d", &weight); //输入权重while (weight == 32) //32为空格的ASCII码{scanf("%d", &weight);continue;}G.weight[i][index] = weight; //存入权重scanf("%c", &ch); //(下一轮)输入字符}}
}//根结点初始化
void Init()
{int i;printf("请输入根结点:\t");scanf("%d", &root);for (i = 0; i < length; i++){rootDist[i] = G.weight[root][i]; //把0作为根,初始化visit[i] = false; //未访问}
}//取最小(在未访问的结点中)
int GetMinInVisit()
{int i, min = 0;for (i = 0; i < length; i++){//未访问if (!visit[i]){//找到最小下标(不能是自身)if (rootDist[min] > rootDist[i] || rootDist[min] == 0){min = i;}}}return min;
}//检查是否访问完毕
bool IsNull()
{bool flag = true;for (int i = 0; i < length; i++){if (!visit[i]) //还有未访问的flag = false;}return flag;
}//迪杰斯特拉(Dikstra)算法(生成根到其他顶点的最短路径)
void Dijkstra(int index)
{int i;visit[index] = true; //标记访问printf("%c %d\t", G.vertex[index], rootDist[index]);//遍历中间结点的邻接结点,对比新旧距离for (i = 0; i < length; i++){//若 旧距离 > 新距离(改变新距离覆盖旧距离)if (rootDist[i] > (rootDist[index] + G.weight[index][i])){rootDist[i] = rootDist[index] + G.weight[index][i];}}//退出判断if (IsNull())return;index = GetMinInVisit(); //取出最小邻接结点,作为中间结点Dijkstra(index); //递归调用Dijkstra()
}//输出测试
void Print()
{for (int i = 0; i < length; i++){printf("\n%c结点邻接结点:\t", G.vertex[i]);for (int j = 0; j < length; j++){if (G.weight[i][j] != 0 && G.weight[i][j] != MAX) //有邻接结点{printf("%c %d\t", G.vertex[j], G.weight[i][j]);}}}
}int main()
{InputVertex(); //输入顶点GraphWeightInit(); //图权重初始化CreateGraph(); //创建图Init(); //初始化Dijkstra(root); //迪杰斯特拉算法(先以根结点为中间结点遍历)(生成根到其他顶点的最短路径)//Print(); //测试输出return 0;
}
三、弗洛伊德(Floyd)算法(多源最短路径)
优点:求所有顶点到所有顶点的最短路径。(多源最短路)
缺点:效率较低,时间复杂度为O(n^3)。
1、原理
基本思想:
不断找点进行中转,比较中转前后的最小距离。
原理:
最优子结构:图结构中一个显而易见的定理:最短路径的子路径仍然是最短路径 ,这个定理显而易见,比如一条从a到e的最短路径a->b->c->d->e 那么 a->b->c 一定是a到c的最短路径,c->d->e一定是c到e的最短路径,反过来,(原理)如果一条最短路必须要经过点k,那么i->k的最短路径+k->j的最短路径一定是i->j 经过k的最短路径,因此,最优子结构可以保证。
(左边矩阵是改进前的,右边矩阵是改进后的。)
弗洛伊德算法定义了两个二维矩阵:
D矩阵存放最小权(最短路径),P矩阵存放最短前驱(中转点)
1、矩阵D记录顶点间的最小路径
例如D[1][2]= 3,说明顶点1 到 2 的最短路径为3;
2、矩阵P记录顶点间最小路径中的中转点
例如P[1][2]= 0 说明,1 到 2的最短路径轨迹为:1 -> 0 -> 2。
它通过3重循环,medium为中转点,begin为起点,end为终点,循环比较D[begin][end] 和 D[begin][medium] + D[medium][end] 之间的最小值,如果(D[begin][medium] + D[medium][end] )为更小值,则把(D[begin][medium] + D[medium][end] )覆盖保存在(D[begin][end])中。
2、存储
弗洛伊德算法定义了两个二维矩阵:
D矩阵存放最小权(最短路径),P矩阵存放最短前驱(中转点)
思考:如果求任意两点之间的最短路径,两点之间可以直接到达但却不是最短的路径,要让任意两点(例如从顶点a点到顶点b)之间的路程变短,只能引入第三个点(顶点medium),并通过这个顶点medium中转即a->medium->b,才可能缩短原来从顶点a点到顶点b的路程。那么这个中转顶点medium是1~n中的哪个点呢?甚至有时候不只通过一个点,而是经过两个点或者更多中转点会更短。
下面给出一些例子深入理解一下:
例: 4 -> 3 一、直接:D[4][3] = 12 二、 过1:D[4][1]+D[1][3]=11
过1更短, 则D[4][3] = 11 且P[4][3] = P[4][1] = 1
例: 1 ->3 一、直接:D[1][3] = 6 二、过2:D[1][2]+D[2][3] = 5
过2更短, 则D[1][3] = 6 且P[1][3] = P[1][2] = 2
1、假如现在只允许经过1号顶点,求任意两点的最短路径我们应该怎么求呢??
我们只需要判断 (D[begin][end]) 与 (D[begin][1] + D[1][end]) 的大小。(前者直接到达,后者经历中转)
//只经过1号中转顶点
for (begin = 1; begin <= n; begin++)for (end = 1; end <= n; end++)if (D[begin][end] > D[begin][1] + D[1][end])D[begin][end] = D[begin][1] + D[1][end];
在只允许经过1号中转顶点的情况下,任意两点之间的路程更新为:
2、继续求在只允许经过1和2号两个中转顶点的情况下任意两点之间的最短路程
//只经过1号中转顶点
for (begin = 1; begin <= n; begin++)for (end = 1; end <= n; end++)if (D[begin][end] > D[begin][1] + D[1][end])D[begin][end] = D[begin][1] + D[1][end];//只经过2号中转顶点
for (begin = 1; begin <= n; begin++)for (end = 1; end <= n; end++)if (D[begin][end] > D[begin][2] + D[2][end])D[begin][end] = D[begin][2] + D[2][end];
在只允许更新1号和2号顶点的情况下,任意两点之间的路径更新为:
3、..........继续往后,运行经过n个中转顶点(即全部)
//运行经过所有中转顶点
for(medium = 0; medium <= n; medium++)for (begin = 1; begin <= n; begin++)for (end = 1; end <= n; end++)if (D[begin][end] > D[begin][medium] + D[medium][end])D[begin][end] = D[begin][medium] + D[medium][end];
允许经过所有中转顶点,最后的两点路径更新:
3、遍历
//遍历弗洛伊德算法
//确定begin -> end:从最近的前驱开始,一点一点往后追溯
void Traverse_Floyd()
{int medium = 0;for (int begin = 0; begin < length; begin++){for (int end = 0; end < length; end++){printf("\n%c", G.vertex[begin]);medium = P[begin][end]; //开始追溯(此为最近的前驱)while (medium != end) //未追溯到尾{printf("->%c", G.vertex[medium]); //打印中间结点medium = P[medium][end]; //向后追溯}}}
}
4、代码
//弗洛伊德(Floyd)算法
/*测试案例
ABCDEFGHI
B 1 C 5
A 1 C 3 D 7 E 5
A 5 B 3 E 1 F 7
B 7 E 2 G 3
B 5 C 1 F 3 H 9 G 6 D 2
C 7 E 3 H 5
D 3 E 6 H 2 I 7
F 5 E 9 G 2 I 4
G 7 H 4
*/
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>#define MAXSIZE 20
#define MAX 65535 //代表无穷大
int length = 0; //顶点个数
int D[MAXSIZE][MAXSIZE]; //存放顶点之间的权
int P[MAXSIZE][MAXSIZE]; //存放顶点之间的前驱(中间结点)//图(顶点和权)
typedef struct
{char vertex[MAXSIZE];int weight[MAXSIZE][MAXSIZE]; //权可以代替边(自身为0,相连有值,不相连无穷大)
}Graph;
Graph G;//输入顶点
void InputVertex()
{int i;char ch;printf("请输入图的顶点:\n");scanf("%c", &ch);for (i = 0; i < MAXSIZE && ch != '\n'; i++){G.vertex[i] = ch;scanf("%c", &ch);}length = i;
}//图权重初始化
void GraphWeightInit()
{int i, j;for (i = 0; i < length; i++){for (j = 0; j < length; j++){if (i == j) //指向自己G.weight[i][j] = 0;elseG.weight[i][j] = MAX; //无穷大}}
}//根据数据查找图顶点下标
int FindIndex(char ch)
{int i;for (i = 0; i < length; i++){if (G.vertex[i] == ch)return i;}return -1;
}//创建图
void CreateGraph()
{int i, j, index, weight;char ch;for (i = 0; i < length; i++){printf("请输入%c的邻接顶点及权重(空格分隔,换行结束):\n", G.vertex[i]);scanf("%c", &ch);while (ch != '\n'){while (ch == ' ') //为空格{scanf("%c", &ch); //输入字符continue;}index = FindIndex(ch);scanf("%d", &weight); //输入权重while (weight == 32) //32为空格的ASCII码{scanf("%d", &weight);continue;}G.weight[i][index] = weight; //存入权重scanf("%c", &ch); //(下一轮)输入字符}}
}//弗洛伊德算法
void Floyd()
{int medium, begin, end;//初始化矩阵for (int i = 0; i < length; i++)for (int j = 0; j < length; j++){D[i][j] = G.weight[i][j];P[i][j] = j;}//开始正式修改(最短路径及前驱)for (medium = 0; medium < length; medium++) //中间结点for (begin = 0; begin < length; begin++) //前驱结点for (end = 0; end < length; end++) //后继结点{//经过中间结点路径更小,则1、需要覆盖掉原来的路径;2、替换掉前驱(中间结点)if (D[begin][end] > (D[begin][medium] + D[medium][end])){D[begin][end] = D[begin][medium] + D[medium][end]; //覆盖路径(只达标的话,只要这一句就够了)P[begin][end] = P[begin][medium]; //更新前驱(中间结点)//不能直接赋值medium:跨越结点之间的追溯,存放的是最近前驱,需要一个一个往后追溯}}
}//测试矩阵输出
void PrintArray()
{//遍历输出printf("遍历输出D矩阵(最短路径):\n");for (int i = 0; i < length; i++){printf("\n");for (int j = 0; j < length; j++){printf("%3d", D[i][j]);}}printf("\n遍历输出P矩阵(前驱):\n");for (int i = 0; i < length; i++){printf("\n");for (int j = 0; j < length; j++){printf("%3d", P[i][j]);}}
}//遍历弗洛伊德算法
//确定begin -> end:从最近的前驱开始,一点一点往后追溯
void Traverse_Floyd()
{int medium = 0;for (int begin = 0; begin < length; begin++){for (int end = 0; end < length; end++){printf("\n%c", G.vertex[begin]);medium = P[begin][end]; //开始追溯(此为最近的前驱)while (medium != end) //未追溯到尾{printf("->%c", G.vertex[medium]); //打印中间结点medium = P[medium][end]; //向后追溯}}}
}//输出测试
void Print()
{for (int i = 0; i < length; i++){printf("\n%c结点邻接结点:\t", G.vertex[i]);for (int j = 0; j < length; j++){if (G.weight[i][j] != 0 && G.weight[i][j] != MAX) //有邻接结点{printf("%c %d\t", G.vertex[j], G.weight[i][j]);}}}
}int main()
{InputVertex(); //输入顶点GraphWeightInit(); //图权重初始化CreateGraph(); //创建图Floyd(); //弗洛伊德算法(生成最短路径)Traverse_Floyd(); //遍历弗洛伊德算法//PrintArray(); //测试弗洛伊德矩阵输出//Print(); //测试输出return 0;
}
参考资料
《大话数据结构》
https://www.bilibili.com/video/BV1uX4y137Hf?from=search&seid=9442880507495572891
https://blog.csdn.net/jeffleo/article/details/53349825?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522162842804216780271587280%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=162842804216780271587280&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~top_positive~default-1-53349825.pc_search_result_control_group&utm_term=%E5%BC%97%E6%B4%9B%E4%BC%8A%E5%BE%B7%E7%AE%97%E6%B3%95&spm=1018.2226.3001.4187
https://blog.csdn.net/yuewenyao/article/details/81021319?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522162842804216780271587280%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=162842804216780271587280&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~top_positive~default-2-81021319.pc_search_result_control_group&utm_term=%E5%BC%97%E6%B4%9B%E4%BC%8A%E5%BE%B7%E7%AE%97%E6%B3%95&spm=1018.2226.3001.4187
https://zhuanlan.zhihu.com/p/33162490
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