luoguP1463:反素数ant(打表心得☆)
题目描述对于任何正整数x,其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。如果某个正整数x满足:g(x)>g(i) 0<i<x,则称x为反质数。例如,整数1,2,4,6等都是反质数。现在给定一个数N,你能求出不超过N的最大的反质数么?输入输出格式输入格式: 一个数N(1<=N<=2,000,000,000)。输出格式: 不超过N的最大的反质数。输入输出样例输入样例#1: 1000 输出样例#1: 840
题目
Step 1
这个是在openjudge上(7591)能A的代码(原题:输出l~r的所有反素数),因为那时n<=2e7啊。
当然也要讲一下原理。对于数的因子个数,不得不提唯一分解定理——n=a1^p1*a2^p2*…………其中a为该数的质因数,p为它的个数,比如49=7^2,其中a1=7,p1=2。于是因子个数为(p1+1)*(p2+1)*……(49有2+1=3个因子,1,7,49)。那么搜索的目的就很明显了,枚举质因子凑数字,凑出来的那一刻已经得到了它的因子个数!
给质数打个表,打多少呢?前十几个质数虽然都很小,但乘起来肥肠肥肠恐怖啊(不信你自己试一试),所以后面都不用了。
继续剪枝,举个栗子,2^3*3^2=72,2^2*3^3=108,它们的因子个数都为(2+1)*(3+1)=12,72明显小于108,也很明显如果把3的次方给2匀一个答案更优。同样的道理,2*3=6 < 2*5=10,如果质因数的组合不连续则一定存在更小的数比当前更优。
最后我们画一棵解答树,第一层是2^1、2^2、2^3……它们的分支都有3^1、3^2、3^3……之后还有5、7、11等等接着找(具体参考程序,id为第几个质因数,now是数的大小,tot是因子数)。
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; int maxn,L,R,f,ans[20000010],p[]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53}; void dfs(int id,int now,int tot) {ans[now]=tot;for(int i=1;now*p[id]<=R;++i) dfs(id+1,now*=p[id],tot*(i+1)); } int main() {scanf("%d%d",&L,&R);dfs(1,1,1);for(int i=1;i<L;++i) maxn=max(maxn,ans[i]);for(int i=L;i<=R;++i)if(ans[i]>maxn){maxn=ans[i];f?printf(","):f=1;printf("%d",i);}if(!f) puts("NO");return 0; }
Step 2
如果能做到第一步,你就已经有一个不错的爆搜程序了,但对于2e9的范围来说还是弱了不少。仔细读题,发现这两道题还是有点区别的,我们不必求出这个范围内的所有反素数,只用找到那个最大的。既然这样,那我们就直奔答案寻找新的优化。更新条件有两个注意不要漏(估计只有像我这样头不好的人才会两次都写错……),之后参考Step 1的剪枝,我们尽量让小质数的次方数大,这也就意味着对于2^p1*3^p2*5^p3,满足p3<=p2<=p1。开个use数组记录一下p就好了。
1 #include<cstdio> 2 #include<cstdlib> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #include<cstring> 7 #define ll long long 8 #define inf 1<<29 9 using namespace std; 10 int n,p[]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31},use[20]; 11 ll maxt,ans; 12 void dfs(ll id,ll now,ll tot) 13 { 14 if(tot>maxt||(tot==maxt&&now<ans)) ans=now,maxt=tot; 15 use[id]=0; 16 while(now*p[id]<=n&&use[id]+1<=use[id-1]){ 17 use[id]++; 18 now*=p[id]; 19 dfs(id+1,now,tot*(use[id]+1)); 20 } 21 } 22 int main() 23 { 24 scanf("%d",&n); 25 use[0]=1<<29; 26 dfs(1,1,1); 27 printf("%lld",ans); 28 return 0; 29 }
Step 3
用我之前的程序可以打出比较小的表(2e8以内),观察一下,发现反素数其实很少,而且越往后它们的间隔越大(147026880~183783600,△=3e7+)。这也就意味着我们不用一个一个数去枚举小于它的最大的反质数。于是,先记录2e9的答案为1396755360,再把它减一输入程序,不断重复该操作与小的表接起来。我们终于打出最后的表了。(不容易啊QAQ~~~~~)
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #define ll long long 4 using namespace std; 5 int n,biao[]={1,2,4,6,12,24,36,48,60,120,180,240,360,720,840,1260,1680,2520,5040,7560,10080,15120,20160,25200,27720,45360,50400,55440,83160,110880,166320,221760,277200,332640,498960,554400,665280,720720,1081080,1441440,2162160,2882880,3603600,4324320,6486480,7207200,8648640,10810800,14414400,17297280,21621600,32432400,36756720,43243200,61261200,73513440,110270160,122522400,147026880,183783600,245044800,294053760,367567200,551350800,698377680,735134400,1102701600,1396755360}; 6 int main() 7 { 8 scanf("%d",&n); 9 for(int i=0;i<68;++i) 10 if(biao[i]>n){ 11 printf("%d",biao[i-1]); 12 return 0; 13 } 14 printf("%d",biao[67]); 15 return 0; 16 }
转载于:https://www.cnblogs.com/12mango/p/7592925.html
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