0 前言

直流电机是低阶，线性，非耦合系统，具有控制简单、调速平滑等优点。而交流电机是高阶，非线性，强耦合系统，在静态性能和动态性能调速方面不如直流电机。那么能不能模仿直流电机的控制方式来控制交流电机呢？要实现这点，首先要明白直流电机的控制原理。
直流电机的控制公式如下所示：
{ T e = C T ϕ m I a ϕ m = L f I f (1) \left\{ \begin{matrix} T_e=C_T\phi_mI_a \\ \phi_m=L_fI_f\ \ \ \ \ \ \end{matrix} \right.\tag{1} {Te=CTϕmIaϕm=LfIf (1)
可以看到，直流电机的电磁转矩 T e T_e Te与主磁通 ϕ m \phi_m ϕm和电枢电流 I a I_a Ia相关，而主磁通 ϕ m \phi_m ϕm与励磁电流 I f I_f If线性相关。当主磁通 ϕ m \phi_m ϕm保持不变时电磁转矩 T e T_e Te仅和电枢电流 I a I_a Ia线性相关。所以直流电机可以用励磁电流 I f I_f If控制主磁通 ϕ m \phi_m ϕm，用电枢电流 I a I_a Ia控制电磁转矩 T e T_e Te。
因此，模仿直流电机的控制方式来控制交流电机的关键在于：把三相定子电流分解出两个分量，一个分量为励磁分量，用于控制主磁通，类似于直流电机的 I f I_f If；另一个分量为转矩分量，用于控制电磁转矩，类似于直流电机的 I a I_a Ia，基于此发明了矢量控制。而要实现这一点就要进行坐标变换，将电流从abc三相静止坐标系变换到dq两相旋转坐标系。下面介绍相关坐标系之间的关系并给出变换过程。

1 坐标系

在电机控制中常用的三种坐标系如下图所示：分别为abc三相静止坐标系、 α \alpha α β \beta β两相静止坐标系、dq两相旋转坐标系。

其中，abc三相静止坐标系为三相互差120°的静止坐标系， α \alpha α β \beta β两相静止坐标系为 α \alpha α轴超前 β \beta β轴90°并且 α \alpha α轴与a轴重合的两相静止坐标系，dq两相旋转坐标系为两相的旋转坐标系，转速为同步速，其中q轴超前d轴90°，d轴与转子磁链重合。
因此，有三种坐标变换形式：从abc三相静止坐标系变换到 α \alpha α β \beta β两相静止坐标系(abc/ α \alpha α β \beta β变换或3s/2s变换)、从 α \alpha α β \beta β两相静止坐标系变换到dq两相旋转坐标系的变换( α \alpha α β \beta β/dq变换或2s/2r变换)、从abc三相静止坐标系变换到dq两相旋转坐标系的变换(abc/dq变换或3s/2r变换)。
从最原始的定义来说，abc/ α \alpha α β \beta β变换叫Clarke变换，abc/dq变换叫Park变换。
然而目前很多书籍和论文都把 α \alpha α β \beta β/dq变换叫做Park变换，东南大学的付兴贺 [ 1 ] ^{[1]} [1]老师指出，这是不严谨的，只能称之为“狭义”的Park变换，但是为了理解和交流方便，下文仍然使用Park变换来指代 α \alpha α β \beta β/dq变换。

2 Clarke变换(abc/ α \alpha α β \beta β变换)

Clarke变换如下图所示：从abc三相静止坐标系变换到 α \alpha α β \beta β两相静止坐标系。

abc三相静止坐标系与 α \alpha α β \beta β两相静止坐标系的关系如下图所示：

坐标变换需要遵循磁动势守恒：
{ N 1 i α = N 2 i A − N 2 i B c o s ( 60 ° ) − N 2 i C c o s ( 60 ° ) N 1 i β = N 2 i B s i n ( 60 ° ) − N 2 i C s i n ( 60 ° ) (2) \left\{ \begin{matrix} N_1i_{\alpha}=N_2i_A-N_2i_Bcos(60°)-N_2i_Ccos(60°) \\ N_1i_{\beta}=N_2i_Bsin(60°)-N_2i_Csin(60°)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \right.\tag{2} {N1iα=N2iA−N2iBcos(60°)−N2iCcos(60°)N1iβ=N2iBsin(60°)−N2iCsin(60°) (2)
化简为矩阵形式：
[ i α i β ] = N 2 N 1 [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ i A i B i C ] (3) \begin{bmatrix} i_{\alpha } \\ i_{\beta } \end{bmatrix} =\frac{N_2}{N_1} \begin{bmatrix} 1\quad -\frac{1}{2}\quad -\frac{1}{2} \\ 0\quad \frac{\sqrt[]{3}}{2}\quad -\frac{\sqrt[]{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_A \\ i_B \\ i_C \end{bmatrix}\tag{3} [iαiβ]=N1N2[1−21−21023 −23 ]⎣⎡iAiBiC⎦⎤(3)
令 k = N 2 N 1 k=\frac{N_2}{N_1} k=N1N2即可得到Clarke变换矩阵：
C 3 s / 2 s = k [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] (4) C_{3s/2s}=k \begin{bmatrix} 1\quad -\frac{1}{2}\quad -\frac{1}{2} \\ 0\quad \frac{\sqrt[]{3}}{2}\quad -\frac{\sqrt[]{3}}{2} \end{bmatrix}\tag{4} C3s/2s=k[1−21−21023 −23 ](4)
因为坐标变换不是唯一的，所以需要根据不同的约束条件来确定不同的 k k k值，电机控制中一般使用恒幅值或者恒功率约束。

2.1 恒幅值变换

恒幅值约束在于变量在变换前后的幅值不变，因为三相电流都为正弦量，且时间相位上互差120°，因此：
{ i A = I c o s ( ω t ) i B = I c o s ( ω t + 120 ° ) i C = I c o s ( ω t − 120 ° ) (5) \left\{ \begin{matrix} i_A=Icos(\omega t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ i_B=Icos(\omega t+120°) \\ i_C=Icos(\omega t-120°) \end{matrix} \right.\tag{5} ⎩⎨⎧iA=Icos(ωt)             iB=Icos(ωt+120°)iC=Icos(ωt−120°)(5)
由上述推导可知：
{ i α = k ( i A − 1 2 i B − 1 2 i C ) i β = 3 2 k ( i B − i C ) (6) \left\{ \begin{matrix} i_{\alpha}=k(i_A-\frac{1}{2}i_B-\frac{1}{2}i_C) \\ \\ i_{\beta}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}k(i_B-i_C)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \right.\tag{6} ⎩⎨⎧iα=k(iA−21iB−21iC)iβ=23 k(iB−iC)         (6)
又因为
i A + i B + i C = 0 (7) i_A+i_B+i_C=0\tag{7} iA+iB+iC=0(7)
所以
{ i α = k ( i A − 1 2 i B − 1 2 i C ) = 3 2 k I c o s ( ω t ) i β = 3 2 k ( i B − i C ) = − 3 2 k I s i n ( ω t ) (8) \left\{ \begin{matrix} i_{\alpha}=k(i_A-\frac{1}{2}i_B-\frac{1}{2}i_C)=\frac{3}{2}kIcos(\omega t) \\ \\ i_{\beta}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}k(i_B-i_C)=-\frac{3}{2}kIsin(\omega t)\quad \ \ \end{matrix} \right.\tag{8} ⎩⎨⎧iα=k(iA−21iB−21iC)=23kIcos(ωt)iβ=23 k(iB−iC)=−23kIsin(ωt)  (8)
要保证恒幅值，则：
k = 2 3 k=\frac{2}{3} k=32

2.2 恒功率变换

恒功率约束在于变换前后的功率保持不变，即输入三相功率等于变换后的两相功率。因为三相电流都为正弦量，且时间相位上互差120°，因此：
{ u A = U c o s ( ω t ) u B = U c o s ( ω t + 120 ° ) u C = U c o s ( ω t − 120 ° ) (9) \left\{ \begin{matrix} u_A=Ucos(\omega t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ u_B=Ucos(\omega t+120°) \\ u_C=Ucos(\omega t-120°) \end{matrix} \right.\tag{9} ⎩⎨⎧uA=Ucos(ωt) uB=Ucos(ωt+120°)uC=Ucos(ωt−120°)(9)
变换前的功率为：
P 1 = 3 × U × I = 3 U I (10) P_1=3\times U\times I=3UI\tag{10} P1=3×U×I=3UI(10)
由前面的推导可知，变换后电流幅值由 I I I变为 3 2 k I \frac{3}{2}kI 23kI，同理可得电压幅值变为 3 2 k U \frac{3}{2}kU 23kU，则变换后的功率为：
P 2 = 2 × 3 2 k U × 3 2 k I = 9 2 k 2 U I (11) P_2=2\times \frac{3}{2}kU\times \frac{3}{2}kI=\frac{9}{2}k^2UI\tag{11} P2=2×23kU×23kI=29k2UI(11)
令 P 1 = P 2 P_1=P_2 P1=P2得：
k = 2 3 k=\sqrt{\frac{2}{3}} k=32

2.3 小结

Clarke变换根据约束条件的不同有两种形式：恒幅值变换和恒功率变换。其变换如下：
[ i α i β ] = C 3 s / 2 s [ i A i B i C ] = k [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ i A i B i C ] { k = 2 3 ，恒幅值变换 k = 2 3 ，恒功率变换 (12) \begin{bmatrix} i_{\alpha } \\ i_{\beta } \end{bmatrix} =C_{3s/2s}\begin{bmatrix} i_A \\ i_B \\ i_C \end{bmatrix}=k \begin{bmatrix} 1\quad -\frac{1}{2}\quad -\frac{1}{2} \\ 0\quad \frac{\sqrt[]{3}}{2}\quad -\frac{\sqrt[]{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_A \\ i_B \\ i_C \end{bmatrix} \left\{ \begin{matrix} k=\frac{2}{3}，恒幅值变换\quad \\ \\ k=\sqrt{\frac{2}{3}}，恒功率变换 \end{matrix} \right.\tag{12} [iαiβ]=C3s/2s⎣⎡iAiBiC⎦⎤=k[1−21−21023 −23 ]⎣⎡iAiBiC⎦⎤⎩⎪⎨⎪⎧k=32，恒幅值变换k=32 ，恒功率变换(12)

3 Park变换( α \alpha α β \beta β/dq变换)

Park变换如下图所示：从 α \alpha α β \beta β两相静止坐标系变换到dq两相旋转坐标系。

α \alpha α β \beta β两相静止坐标系与dq两相旋转坐标系的关系如下图所示：

根据上图，由磁动势守恒：
{ i d = i α c o s ( θ ) + i β s i n ( θ ) i q = − i α s i n ( θ ) + i β c o s ( θ ) (13) \left\{ \begin{matrix} i_d=i_{\alpha}cos(\theta)+i_{\beta}sin(\theta)\quad \\ i_q=-i_{\alpha}sin(\theta)+i_{\beta}cos(\theta) \end{matrix} \right.\tag{13} {id=iαcos(θ)+iβsin(θ)iq=−iαsin(θ)+iβcos(θ)(13)
写成矩阵形式即可得到Park变换：
[ i d i q ] = [ c o s ( θ ) s i n ( θ ) − s i n ( θ ) c o s ( θ ) ] [ i α i β ] (14) \begin{bmatrix} i_d \\ i_q \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cos(\theta)\quad sin(\theta) \\ -sin(\theta)\quad cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{\alpha} \\ i_{\beta} \end{bmatrix}\tag{14} [idiq]=[cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ)][iαiβ](14)
则Park变换矩阵为：
C 2 s / 2 r = [ c o s ( θ ) s i n ( θ ) − s i n ( θ ) c o s ( θ ) ] (15) C_{2s/2r}=\begin{bmatrix} cos(\theta)\quad sin(\theta) \\ -sin(\theta)\quad cos(\theta) \end{bmatrix}\tag{15} C2s/2r=[cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ)](15)

4 总结

Clarke变换：
[ i α i β ] = C 3 s / 2 s [ i A i B i C ] = k [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ i A i B i C ] { k = 2 3 ，恒幅值变换 k = 2 3 ，恒功率变换 (16) \begin{bmatrix} i_{\alpha } \\ i_{\beta } \end{bmatrix} =C_{3s/2s}\begin{bmatrix} i_A \\ i_B \\ i_C \end{bmatrix}=k \begin{bmatrix} 1\quad -\frac{1}{2}\quad -\frac{1}{2} \\ 0\quad \frac{\sqrt[]{3}}{2}\quad -\frac{\sqrt[]{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_A \\ i_B \\ i_C \end{bmatrix} \left\{ \begin{matrix} k=\frac{2}{3}，恒幅值变换\quad \\ \\ k=\sqrt{\frac{2}{3}}，恒功率变换 \end{matrix} \right.\tag{16} [iαiβ]=C3s/2s⎣⎡iAiBiC⎦⎤=k[1−21−21023 −23 ]⎣⎡iAiBiC⎦⎤⎩⎪⎨⎪⎧k=32，恒幅值变换k=32 ，恒功率变换(16)
Park变换：
[ i d i q ] = C 2 s / 2 r [ i α i β ] = [ c o s ( θ ) s i n ( θ ) − s i n ( θ ) c o s ( θ ) ] [ i α i β ] (17) \begin{bmatrix} i_d \\ i_q \end{bmatrix} =C_{2s/2r}\begin{bmatrix} i_{\alpha} \\ i_{\beta} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos(\theta)\quad sin(\theta) \\ -sin(\theta)\quad cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{\alpha} \\ i_{\beta} \end{bmatrix}\tag{17} [idiq]=C2s/2r[iαiβ]=[cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ)][iαiβ](17)

参考文献

[1]付兴贺,陈锐.电机中ABC到dq0坐标变换的梳理与辨析[J].微特电机,2021,49(04):1-8+13.

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