等效滑模控制

滑模控制率可由等效控制uequ_{eq}ueq和切换鲁棒控制uswu_{sw}usw构成。首先忽略不确定和干扰项，通过取s˙=0\dot s =0s˙=0得到等效项uequ_{eq}ueq，再令u=ueq+uswu = u_{eq}+u_{sw}u=ueq+usw使ss˙≤−η∣s∣s\dot s\leq-\eta|s|ss˙≤−η∣s∣成立，得到鲁棒项uswu_{sw}usw。

等效滑模控制器设计

考虑nnn阶非线性系统：x(n)=f(x,t)+bu(t)+d(t)(1)x^{(n)}= f(x,t)+bu(t)+d(t)\tag1x(n)=f(x,t)+bu(t)+d(t)(1)x=(x,x˙,…,xn−1)T,y=x(2)x = (x,\dot x,\dots,x^{n-1})^T,\ y=x\tag2x=(x,x˙,…,xn−1)T, y=x(2)其中，b>0,x∈Rn,u∈R,y∈R,d(t)b>0,x\in R^n,u\in R,y \in R,d(t)b>0,x∈Rn,u∈R,y∈R,d(t)为外加干扰，∣d(t)∣≤D|d(t)|\leq D∣d(t)∣≤D。

等效控制设计

当忽略不确定和干扰时x(n)=f(x,t)+bu(t)(3)x^{(n)}= f(x,t)+bu(t)\tag3x(n)=f(x,t)+bu(t)(3)令跟踪误差向量为e=xd−x=(e,e˙,…,e(n−1))T(4)e = x_d - x = (e,\dot e,\dots,e^{(n-1)})^T\tag4e=xd−x=(e,e˙,…,e(n−1))T(4)选取切换函数s(x,t)=ce=c1e+c2e˙+⋯+e(n−1)(5)s(x,t) = ce = c_1e+c_2\dot e+\dots+e^{(n-1)}\tag5s(x,t)=ce=c1e+c2e˙+⋯+e(n−1)(5)令s˙=0\dot s = 0s˙=0则s˙(x,t)=c1e˙+c2e¨+⋯+en=c1e˙+c2e¨+⋯+cn−1e(n−1)+xd(n)−x(n)=∑i=1n−1cie(i)+xd(n)−f(x,t)−bu(t)=0(6)\begin{aligned} \dot s(x,t) &= c_1\dot e+c_2\ddot e+\dots+e^n\\ &=c_1\dot e+c_2\ddot e+ \dots +c_{n-1}e^{(n-1)} +x_d^{(n)}-x^{(n)}\\ &=\sum_{i=1}^{n-1}c_ie^{(i)}+x_d^{(n)}-f(x,t)-bu(t) =0\end{aligned}\tag6 s˙(x,t)=c1e˙+c2e¨+⋯+en=c1e˙+c2e¨+⋯+cn−1e(n−1)+xd(n)−x(n)=i=1∑n−1cie(i)+xd(n)−f(x,t)−bu(t)=0(6)得到等效控制器ueq=1b(∑i=1n−1cie(i)+xd(n)−f(x,t))(7)u_{eq}=\frac{1}{b}(\sum_{i=1}^{n-1}c_ie^{(i)}+x_d^{(n)}-f(x,t))\tag7ueq=b1(i=1∑n−1cie(i)+xd(n)−f(x,t))(7)

滑模控制设计

为保证滑模条件成立，设计切换控制器：usw=1bKsign(s),K=D+η(8)u_{sw}=\frac{1}{b}Ksign(s),\ \ K = D + \eta \tag8usw=b1Ksign(s), K=D+η(8)此时考虑干扰项d(t)d(t)d(t)，将式（8）带回s˙\dot ss˙得到s˙=−Ksign(s)−d(t)(9)\dot s = -Ksign(s)-d(t) \tag9s˙=−Ksign(s)−d(t)(9)则ss˙=−K∣s∣−d(t)≤−η∣s∣≤0(10)s\dot s = -K|s|-d(t)\leq-\eta|s|\leq 0\tag{10}ss˙=−K∣s∣−d(t)≤−η∣s∣≤0(10)仅当s=0s = 0s=0时，V˙=0\dot V = 0V˙=0，因此系统是渐近稳定的。

仿真实例

被控对象如下：x¨=−25x˙+133u+d(11)\ddot x = -25\dot x+133u+d\tag{11}x¨=−25x˙+133u+d(11)其中，d(t)=50sin(t)d(t) = 50sin(t)d(t)=50sin(t)，理想位置指令xd=sin2πtx_d = sin2\pi txd=sin2πt。
根据式（7）和（8）设计控制器，取c=25,D=50,η=100c = 25,D = 50,\eta = 100c=25,D=50,η=100，得到控制律u=1133(e˙+x¨d−25x2+(D+η)sign(s))(12)u =\frac{1}{133}(\dot e+\ddot x_d-25x_2+(D+\eta)sign(s)) \tag{12}u=1331(e˙+x¨d−25x2+(D+η)sign(s))(12)
simulink模型如下：
控制律程序：

function u = fcn(f,de,s,ddxd)
D = 50;
eta = 100;
b = 133;
c = 25;
K = D + eta;
ueq = (c*de + ddxd - f)/b;
usw = (sign(s)*K)/b;
u = ueq + usw;

位置跟踪及控制律如下图：

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