基于连续切换的滑模控制

采用饱和函数虽然可以抑制抖振，但其并非连续函数，不适合对于切换函数需要求导的场合，采用双曲函数可代替不连续的饱和函数降低滑模控制中的抖振。

双曲正切函数

双曲正切函数表达式如下：tanh(xϵ)=exϵ−e−xϵexϵ+e−xϵ,ϵ>0(1)tanh(\frac{x}{\epsilon})=\frac{e^\frac{x}{\epsilon}-e^{-\frac{x}{\epsilon}}}{e^\frac{x}{\epsilon}+e^{-\frac{x}{\epsilon}}},\ \ \epsilon>0 \tag1tanh(ϵx)=eϵx+e−ϵxeϵx−e−ϵx, ϵ>0(1)其中ϵ\epsilonϵ决定了趋于极限的速度，双曲函数有以下两个特点：

xtanh(xϵ)≥0x\ tanh(\frac{x}{\epsilon}) \geq0x tanh(ϵx)≥0
0≤∣χ∣−χtanh⁡(xϵ)≤μϵ,μ=0.27850\leq |\chi|-\chi \tanh(\frac{x}{\epsilon})\leq\mu\epsilon,\ \ \mu=0.27850≤∣χ∣−χtanh(ϵx)≤μϵ, μ=0.2785

其函数图像如下：

基于双曲正切函数的滑模控制

考虑被控对象:Jθ¨(t)=u(t)+d(t)(2)J\ddot \theta(t) = u(t)+d(t)\tag{2}Jθ¨(t)=u(t)+d(t)(2)其中JJJ为转动惯量，θ(t)\theta(t)θ(t)为角度，u(t)u(t)u(t)为控制输入，d(t)d(t)d(t)为外加干扰，且∣d(t)∣≤D|d(t)|\leq D∣d(t)∣≤D。
设计滑模函数：s(t)=ce(t)+e˙(t)(3)s(t) = ce(t)+\dot e(t)\tag3s(t)=ce(t)+e˙(t)(3)跟踪误差及其导数为e(t)=θd(t)−θ(t),e˙(t)=θ˙d(t)−θ˙(t)(4)e(t) = \theta_d(t) -\theta(t),\dot e(t) = \dot \theta_d(t)-\dot \theta(t)\tag4e(t)=θd(t)−θ(t),e˙(t)=θ˙d(t)−θ˙(t)(4)定义李雅普诺夫函数V=12s2(5)V = \frac{1}{2}s^2\tag5V=21s2(5)则V˙=ss˙=s(θ¨d+ce˙−1J(u+d))(6)\dot V = s\dot s = s(\ddot \theta_d+c\dot e-\frac{1}{J}(u+d))\tag6V˙=ss˙=s(θ¨d+ce˙−J1(u+d))(6)基于双曲正切函数得到控制律u=J(θ¨d+ce˙+ηs)+Dtanh(sϵ)(7)u = J(\ddot \theta_d+c\dot e+\eta s)+Dtanh(\frac{s}{\epsilon})\tag7u=J(θ¨d+ce˙+ηs)+Dtanh(ϵs)(7)将控制律带入V˙\dot VV˙得到ss˙=−ηs2−sJ(d+Dtanh(sϵ))(8)s\dot s = -\eta s^2-\frac{s}{J}(d+Dtanh(\frac{s}{\epsilon}))\tag8ss˙=−ηs2−Js(d+Dtanh(ϵs))(8)根据双曲函数性质−Dstanh(sϵ)≤−D∣s∣+Dμϵ(9)-Ds\ tanh(\frac{s}{\epsilon})\leq -D|s|+D\mu\epsilon \tag9−Ds tanh(ϵs)≤−D∣s∣+Dμϵ(9)则ss˙≤−ηs2+DμϵJ(10)s\dot s \leq -\eta s^2 +\frac{D\mu\epsilon}{J}\tag{10}ss˙≤−ηs2+JDμϵ(10)根据上式求解VVV的微分方程V˙=−2ηV+DμϵJ(11)\dot V = -2\eta V+\frac{D\mu\epsilon}{J}\tag{11}V˙=−2ηV+JDμϵ(11)得到V(t)=ce−2ηt+Dμϵ2ηJ(12)V(t) = ce^{-2\eta t}+\frac{D\mu\epsilon}{2\eta J}\tag{12}V(t)=ce−2ηt+2ηJDμϵ(12)根据该解可以得到结论：

当t→∞t \rightarrow \inftyt→∞，V→Dμϵ2ηJV \rightarrow \frac{D\mu \epsilon}{2 \eta J}V→2ηJDμϵ，可见系统存在稳态误差，误差大小取决于D、ϵ、ηD 、\epsilon 、\etaD、ϵ、η。
V(t)V(t)V(t)的收敛速度取决于η\etaη的大小，η\etaη越大，收敛速度越快。

仿真实例

考虑被控对象：Jθ¨(t)=u(t)+d(t)J\ddot \theta(t) = u(t)+d(t)Jθ¨(t)=u(t)+d(t)。其中J=10，θd(t)=sint，d(t)=50sintJ=10，\theta_d(t) = sint，d(t) = 50sintJ=10，θd(t)=sint，d(t)=50sint。初始状态设置为[−0.5,0.8][-0.5,0.8][−0.5,0.8]。
控制器设计参数为c=0.5,η=10,D=50,ϵ=0.02c = 0.5,\eta =10,D = 50,\epsilon = 0.02c=0.5,η=10,D=50,ϵ=0.02，得到如下模型，其中SMC控制器函数如下：

function u = fcn(de,s,ddthd)
c = 0.5;
eta = 10;
D =50;
eps = 0.02;
J = 10;
u = J*(c*de+ddthd+eta*s)+D*tanh(s/eps);

其位置输出、控制律以及误差的相轨迹如下图所示：

通过观察相轨迹发现，误差并未在原点处，而是在一个近似的圆周上运动，这也就说明系统存在着稳态误差。

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