滑模控制基本理论

\quad\quad 滑模变结构控制在机器人、航空航天和伺服系统中有大量的应用，在这些领域中，被控对象都存在着严重的非线性，并且存在参数摄动或外界扰动和未建模动态。

1、滑模变结构控制定义

\quad\quad 滑模变结构控制基本问题如下，设有一控制系统
x ˙ = f ( x , u , t ) x ∈ R n , u ∈ R m , t ∈ R (1) \dot x = f(x,u,t) \quad x\in R^n,\space u\in R^m, \space t\in R \tag{1} x˙=f(x,u,t)x∈Rn, u∈Rm, t∈R(1)
需要确定切换函数
s ( x ) s ∈ R m (2) s(x) \quad s\in R^m\tag{2} s(x)s∈Rm(2)
求解控制函数
u = { u + ( x ) s ( x ) > 0 u − ( x ) s ( x ) < 0 (3) u =\left\{\begin{array}{c} u^+(x) \quad s(x)>0 \\ u^-(x) \quad s(x)<0\end{array}\right. \tag{3} u={u+(x)s(x)>0u−(x)s(x)<0(3)
其中 u + ( x ) ≠ u − ( x ) u^+(x)≠u^-(x) u+(x)=u−(x)，使得：
（1）滑动模态存在，式（3）成立；
（2）满足可达性条件，在滑模面 s ( x ) = 0 s (x)=0 s(x)=0以外的运动点都将于有限的时间内达到切换面；
（3）保证滑模运动的稳定性；
（4）达到控制系统的动态要求。
注：前三点为基本问题，满足前三点才称为为滑模变结构控制。

2、滑模面的参数设计

\quad\quad 针对线性系统，
x ˙ = A x + b u x ∈ R n , u ∈ R (4) \dot x = Ax+bu\quad x\in R^n,\thinspace u\in R \tag{4} x˙=Ax+bux∈Rn,u∈R(4)
滑模面设计为：
s ( x ) = C T x = ∑ i = 1 n c i x i = ∑ i = 1 n − 1 c i x i + x n (5) s(x) = C^T x= \sum_ {i=1}^nc_ix_i = \sum_{i = 1}^{n-1}c_ix_i+x_n \tag{5} s(x)=CTx=i=1∑ncixi=i=1∑n−1cixi+xn(5)
其中， x x x为状态向量， C = [ c 1 ⋯ c n − 1 1 ] T C=\left[ \begin{matrix}c_1 &\cdots &c_{n-1} &1\end{matrix} \right]^T C=[c1⋯cn−11]T。
\quad\quad 在滑模系统中，参数 c 1 , c 2 , ⋯ , c n − 1 c_1,c_2,\cdots,c_{n-1} c1,c2,⋯,cn−1应满足多项式 p n − 1 + c n − 1 p n − 2 + ⋯ + c 2 p + c 1 p^{n-1} +c_{n-1}p^{n-2}+\cdots+c_2p+c_1 pn−1+cn−1pn−2+⋯+c2p+c1为Hurwitz（多项式极点位于复平面左半平面），其中p为Laplace算子。
\quad\quad 例：当 n = 3 n=3 n=3时，取滑模面 s ( x ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + x 3 s(x)=c_1x_1+c_2x_2+x_3 s(x)=c1x1+c2x2+x3,需要保证多项式 p 2 + c 2 p + c 1 = 0 p^2 +c_2p+c_1=0 p2+c2p+c1=0满足Hurwitz判据，即 R e ( p 1 ) < 0 , R e ( p 2 ) < 0 Re(p_1)<0,Re(p_2)<0 Re(p1)<0,Re(p2)<0，求得 C C C的范围为 c 2 > 0 , c 1 > 0 c_2>0,c_1>0 c2>0,c1>0 。

3、滑模消抖方式

\quad\quad 由于滑模变结构控制在本质上的不连续开关特性将会引起系统的抖振，且抖振问题成为变结构控制在实际应用的突出障碍。目前，代表性的消抖方式主要有：准滑动模态方法、趋近律方法、滤波方法、干扰观测器方法、动态滑模方法、模糊方法、神经网络方法、遗传算法优化方法、降低切换增益方法、扇形区域法等。
\quad\quad 上述方法各有优缺点，如：
（1）趋近律方法在不确定性及干扰小的情况下会有很好的消抖效果，不确定性较大时需要采用其他方法；
（2）对于外加干扰引起的抖振，可以采用动态滑模方法或变切换增益法来降低抖振；
（3）模糊或者神经网络方法可以实现摩擦补偿；
（4）干扰观测器法可消除干扰造成的抖振；
（5）采用滤波法可消除未建模动态造成的抖振；
（6）采用准滑动模态法可进一步降低抖振；
（7）利用遗传算法优化模糊规则或神经网络可达到消除抖振的最佳效果。

4、滑模变结构控制理论研究方向

1、抖振问题
2、离散系统滑模变结构控制
3、自适应滑模变结构控制
4、不匹配不确定性系统的滑模变结构控制
5、针对时滞系统的滑模变结构控制
6、非线性系统的滑模变结构控制
7、Terminal滑模变结构控制
8、全鲁棒滑模变结构控制
9、滑模观测器的研究
10、神经滑模变结构控制
11、模糊滑膜变结构控制
12、积分滑模变结构控制
13、高阶滑模控制

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