高等代数8-1 λ-矩阵

λ−\lambda-λ−矩阵

如果一个矩阵的元素是一元多项式环F[λ]\mathbb F[\lambda]F[λ]上的元素,那么这个矩阵就称为λ−\lambda-λ−矩阵.也就是A(λ)=(a11(λ)⋯a1n(λ)⋮⋱⋮as1(λ)⋯asn(λ)).\bm A(\lambda) = \begin{pmatrix} a_{11}(\lambda) & \cdots & a_{1n}(\lambda) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{s1}(\lambda) & \cdots & a_{sn}(\lambda)\end{pmatrix}.A(λ)=⎝⎜⎛a11(λ)⋮as1(λ)⋯⋱⋯a1n(λ)⋮asn(λ)⎠⎟⎞.
λ−\lambda-λ−矩阵的许多概念定义与数字矩阵相同.其加法,数乘与矩阵乘法以及性质都相同.
我们定义rrr为A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)的秩,是指存在一个A\bm AA的rrr阶子式不为000且任意r+1r+1r+1阶子式都是000.
如果A(λ)B(λ)=E\bm A(\lambda) \bm B(\lambda) = \bm EA(λ)B(λ)=E,我们就称B(λ)\bm B(\lambda)B(λ)为A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)的逆矩阵,记为B(λ)=A−1(λ)\bm B(\lambda) = \bm A^{-1}(\lambda)B(λ)=A−1(λ).我们可以证明如下定理:
定理1 一个n×nn \times nn×n的λ−\lambda-λ−矩阵A\bm AA可逆的充分必要条件是∣A∣|\bm A|∣A∣是非零常数.
定理的必要性是平凡的.我们证明充分性.如果∣A∣=d|\bm A| = d∣A∣=d是非零常数,我们取B\bm BB为A\bm AA的伴随矩阵,那么显然它也是一个λ−\lambda-λ−矩阵,并且满足1dAB=E\frac{1}{d}\bm A \bm B = \bm Ed1AB=E.因此A\bm AA是可逆的.■\blacksquare■

λ−\lambda-λ−矩阵的初等变换和标准型

这里我们将看到,λ−\lambda-λ−矩阵的初等变换与数字矩阵不尽相同.我们如下定义λ−\lambda-λ−矩阵的三种初等变换:

矩阵的两行(列)互换位置;
矩阵的某一行(列)乘以一个非零常数;
矩阵一行(列)的φ(λ)\varphi(\lambda)φ(λ)倍加到另一行(列)上.

我们不难发现,对于某一行(列)同乘限制在数域F\mathbb FF上而不是多项式环F[λ]\mathbb F[\lambda]F[λ]上.这是因为,一个多项式并不是F[λ]\mathbb F[\lambda]F[λ]上的可逆元.也就是说F[λ]\mathbb F[\lambda]F[λ]并不能对除法运算封闭.如果从可逆元的角度看待,这一点与数字矩阵是统一的,因为数域F\mathbb FF是对于除法封闭的.这样定义的上述三种变换都是可逆变换,其对应矩阵亦被称为初等矩阵.初等矩阵可逆.
对应于数字矩阵中的概念,我们也可以定义λ−\lambda-λ−矩阵中的等价(或者称为相抵)的概念:
A\bm AA与B\bm BB相抵,是指能够通过一系列初等变换将A\bm AA变换为B\bm BB.很显然相抵是一种等价关系,满足自反性,对称性和传递性.我们很容易看出A\bm AA与B\bm BB相抵的充分必要条件是存在一系列初等矩阵P1,⋯,Pm\bm P_1, \cdots, \bm P_mP1,⋯,Pm和Q1,⋯,Qn\bm Q_1, \cdots, \bm Q_nQ1,⋯,Qn使得A=P1⋯PmBQ1⋯Qn.\bm A = \bm P_1 \cdots \bm P_m \bm B \bm Q_1 \cdots \bm Q_n.A=P1⋯PmBQ1⋯Qn.
下面我们证明一个定理:任意一个λ−\lambda-λ−矩阵可以经过初等变换化为某种对角形.为此我们先给出下面的引理:
引理设A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)左上角的元素a11(λ)≠0a_{11}(\lambda) \ne 0a11(λ)=0,并且A\bm AA中至少有一个元素不能被它除尽,那么一定可以找到一个与A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)等价的矩阵B(λ)\bm B(\lambda)B(λ)使得它的左上角元素b11(λ)b_{11}(\lambda)b11(λ)也不为000,并且次数比a11(λ)a_{11}(\lambda)a11(λ)要低.
我们根据这个不能被a11(λ)a_{11}(\lambda)a11(λ)整除的元素的位置进行讨论.如果它位于第一列ai1(λ)a_{i1}(\lambda)ai1(λ),那么由多项式的带余除法,得a11(λ)=q(λ)ai1(λ)+r(λ)a_{11}(\lambda) = q(\lambda)a_{i1}(\lambda) + r(\lambda)a11(λ)=q(λ)ai1(λ)+r(λ)其中∂r(λ)<∂a11(λ)\partial r(\lambda) <\partial a_{11}(\lambda)∂r(λ)<∂a11(λ)并且不为000.那么做初等行变换P(i,1(−q))P(i, 1(-q))P(i,1(−q))和P(1,i)P(1, i)P(1,i)就能让a11a_{11}a11变为次数更低的r(λ)r(\lambda)r(λ).但是上述过程不会一直进行,我们会在有限步停下,最终b11(λ)b_{11}(\lambda)b11(λ)能够整除矩阵中的所有元素.
如果这个元素在第一列,那么同理.
如果这个元素既不在第一行也不在第一列,说明第一行第一列的元素都能够被b11(λ)b_{11}(\lambda)b11(λ)整除,不妨设这个不能被整除的元素是aij(λ)a_{ij}(\lambda)aij(λ),设ai1(λ)=φ(λ)a11(λ)a_{i1}(\lambda) = \varphi(\lambda)a_{11}(\lambda)ai1(λ)=φ(λ)a11(λ),做初等行变换P(i,1(−φ))P(i, 1(-\varphi))P(i,1(−φ))以及P(1,i(1))P(1, i(1))P(1,i(1)),就能够把A\bm AA化成A1\bm A_1A1,其中A1=(a11(λ)⋯aij(λ)+(1−φ(λ))a1j(λ)⋯⋮⋮0⋯aij(λ)−a1j(λ)φ(λ)⋯⋮⋮)\bm A_1 = \begin{pmatrix}a_{11}(\lambda) & \cdots & a_{ij}(\lambda)+(1 - \varphi(\lambda))a_{1j}(\lambda)& \cdots \\ \vdots & & \vdots & \\0 & \cdots & a_{ij}(\lambda) - a_{1j}(\lambda)\varphi(\lambda) & \cdots \\ \vdots & & \vdots \end{pmatrix}A1=⎝⎜⎜⎜⎜⎛a11(λ)⋮0⋮⋯⋯aij(λ)+(1−φ(λ))a1j(λ)⋮aij(λ)−a1j(λ)φ(λ)⋮⋯⋯⎠⎟⎟⎟⎟⎞这样第一行的元素aij(λ)+(1−φ(λ))a1j(λ)a_{ij}(\lambda)+(1 - \varphi(\lambda))a_{1j}(\lambda)aij(λ)+(1−φ(λ))a1j(λ)就是一个不能够被a11(λ)a_{11}(\lambda)a11(λ)整除的元素,问题归结为第一种情形.■\blacksquare■
因此,我们证明了任意一个矩阵总能通过上述过程,使得左上角元素非零并且能够整除矩阵中所有的元素.
由此我们就很容易能够推出我们的如下定理:
定理2 任意一个非零的s×ns\times ns×n的λ−\lambda-λ−矩阵A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)都相抵于下列形式的矩阵:(d1(λ)d2(λ)⋱dr(λ)O)\begin{pmatrix}d_1(\lambda) \\ & d_2(\lambda) \\ & & \ddots \\ & & & d_r(\lambda) \\ & & & & & \bm O \end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎜⎛d1(λ)d2(λ)⋱dr(λ)O⎠⎟⎟⎟⎟⎞其中r≥1,di(λ)r \geq 1,d_i(\lambda)r≥1,di(λ)是首一多项式,并且di(λ)∣di+1(λ)d_i(\lambda) | d_{i+1}(\lambda)di(λ)∣di+1(λ).
只需要不断使用引理对其左上角进行降次直至整除所有元素,然后清零第一行第一列,再对剩下的如法炮制即可.■\blacksquare■

§8.3§8.3§8.3 不变因子

我们现在来证明,一个λ−\lambda-λ−矩阵的标准型是唯一的.为此我们需要引入不变因子的概念,这是一个在初等变换过程中的不变量.
定义5 设λ−\lambda-λ−矩阵A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)的秩为rrr,对于∀k∈[1,r],k∈N,A(λ)\forall k \in [1, r],k\in \mathbb N,\bm A(\lambda)∀k∈[1,r],k∈N,A(λ)中必然有非零的kkk级子式.我们称A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)中全部kkk级子式的首一最大公因式Dk(λ)D_k(\lambda)Dk(λ)为A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)的kkk级行列式因子.
由定义可知,如果λ−\lambda-λ−矩阵A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)的秩为rrr,那么它有rrr个行列式因子.行列式因子的意义在于它是初等变换过程中的不变量.
定理3 等价的λ−\lambda-λ−矩阵拥有相同的秩和行列式因子.
我们只需要对于一次初等变换之后的情形证明秩与行列式因子不变.我们设A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)经过一次初等变换变成B(λ)\bm B(\lambda)B(λ),两者的kkk级行列式因子分别为f(λ),g(λ)f(\lambda),g(\lambda)f(λ),g(λ).
对于第一种初等变换,kkk级子式要么不变,要么反号,因此行列式因子不变.
对于第二种初等变换,kkk级子式要么不变,要么变为原来的ccc倍,因此行列式因子不变.
对于第三种初等变换P(i,j(φ))P(i, j(\varphi))P(i,j(φ)),那些只包含iii行(列)以及同时包含和iii行(列)jjj行(列)的kkk级子式不变,对于那些只包含了jjj行(列)的kkk级子式,我们发现它是一个kkk级子式与另一个kkk级子式的φ(λ)\varphi(\lambda)φ(λ)倍的和.从而有f(λ)∣g(λ),f(\lambda)|g(\lambda),f(λ)∣g(λ),再通过逆变换,就有g(λ)∣f(λ),g(\lambda)|f(\lambda),g(λ)∣f(λ),从而f(λ)=g(λ)f(\lambda) = g(\lambda)f(λ)=g(λ).因此行列式因子仍然不变.
当A\bm AA的全部kkk级子式都为000的时候,B\bm BB的全部kkk级子式也都为000.反之亦然.因此A,B\bm A,\bm BA,B必然拥有相同的行列式因子和秩.■\blacksquare■
下面我们来看看标准型的行列式因子.我们设标准型为(d1(λ)d2(λ)⋱dr(λ)O)\begin{pmatrix}d_1(\lambda) \\ & d_2(\lambda) \\ & & \ddots \\ & & & d_r(\lambda) \\ & & & & & \bm O \end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎜⎛d1(λ)d2(λ)⋱dr(λ)O⎠⎟⎟⎟⎟⎞其中r≥1,di(λ)r \geq 1,d_i(\lambda)r≥1,di(λ)是首一多项式,并且di(λ)∣di+1(λ)d_i(\lambda) | d_{i+1}(\lambda)di(λ)∣di+1(λ).
考虑它的kkk级子式,如果它不是主子式,那么必然有一行(列)的元素全部为000,如果它不是从前rrr行(列)选择,那么必然也就有一行(列)的元素全部为000.由于000能够被任何多项式整除,我们只需要考虑主子式(i1,⋯,iki1,⋯,ik)\begin{pmatrix} i_1, \cdots, i_k \\i_1, \cdots, i_k \end{pmatrix}(i1,⋯,iki1,⋯,ik)即可.这个kkk级子式等于di1(λ)di2(λ)⋯dik(λ).d_{i_1}(\lambda) d_{i_2}(\lambda) \cdots d_{i_k}(\lambda).di1(λ)di2(λ)⋯dik(λ).那么很显然,矩阵的kkk级行列式因子就是Dk=∏i=1kdi.D_k = \prod_{i = 1}^k d_{i}.Dk=i=1∏kdi.
由此我们可以推出如下定理:
定理4 λ−\lambda-λ−矩阵的标准形是唯一的.
定理的证明也非常简单,只需要使用递推式d1(λ)=D1(λ),dk(λ)=Dk(λ)Dk−1(λ)d_1(\lambda) = D_1(\lambda), d_k(\lambda) = \frac{D_k(\lambda)}{D_{k-1}(\lambda)}d1(λ)=D1(λ),dk(λ)=Dk−1(λ)Dk(λ)即可证明矩阵的标准形对角线元素个数由它的秩决定,对角线元素由其行列式因子唯一决定.■\blacksquare■
我们定义不变因子的概念:
定义6 标准形上主对角线非零元素di(λ)d_i(\lambda)di(λ)称为λ−\lambda-λ−矩阵A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)的不变因子.
定理5 两个λ−\lambda-λ−矩阵等价的充分必要条件是他们具有相同的行列式因子,或者具有相同的不变因子.
容易看出,行列式因子之间有关系Dk(λ)∣Dk+1(λ).D_k(\lambda) | D_{k+1}(\lambda).Dk(λ)∣Dk+1(λ).因此在计算行列式因子的时候,通常先计算最高阶的行列式因子.
作为一个例子,我们考察一下可逆矩阵的标准形.由前面的证明我们知道,如果nnn级矩阵A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)是可逆矩阵,当且仅当∣A(λ)∣|\bm A(\lambda)|∣A(λ)∣为一非零常数.也就是说Dn(λ)=1.D_n(\lambda) = 1.Dn(λ)=1.由此推知各个不变因子都是111.这样也就说明A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)相抵于单位矩阵.反过来,与单位矩阵等价的矩阵必定可逆,因为它的行列式非零.这也就是说,矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵相抵.由相抵的性质,我们就可以推出
定理6 矩阵A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积.
由此,我们得出矩阵相抵的另一个条件:
推论两个s×ns\times ns×n矩阵A(λ),B(λ)\bm A(\lambda), \bm B(\lambda)A(λ),B(λ)相抵的充分必要条件是有一个n×nn\times nn×n的可逆矩阵P(λ)\bm P(\lambda)P(λ)和一个s×ss\times ss×s的可逆矩阵Q(λ)\bm Q(\lambda)Q(λ)使得B(λ)=P(λ)A(λ)Q(λ).\bm B(\lambda) = \bm P(\lambda) \bm A(\lambda) \bm Q(\lambda).B(λ)=P(λ)A(λ)Q(λ).

λ−\lambda-λ−矩阵的初等因子

定义7 设秩为rrr的λ−\lambda-λ−矩阵A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)的不变因子为d1(λ),⋯,dr(λ),d_1(\lambda), \cdots, d_r(\lambda),d1(λ),⋯,dr(λ),把di(λ)d_i(\lambda)di(λ)分解为首一素方幂因子的乘积di(λ)=p1(λ)ki1p2(λ)ki2⋯ps(λ)kisd_i(\lambda) = p_1(\lambda)^{k_{i1}} p_2(\lambda)^{k_{i2}} \cdots p_{s}(\lambda)^{k_{is}}di(λ)=p1(λ)ki1p2(λ)ki2⋯ps(λ)kis把pi(λ)kijp_i(\lambda)^{k_{ij}}pi(λ)kij中那些不为111的多项式,相同的按照出现次数计数,称为A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)的初等因子.
例1如果一个r=12r = 12r=12的复λ−\lambda-λ−矩阵的不变因子是1,1,⋯,1,(λ−1)2,(λ−1)2(λ+1),(λ−1)2(λ+1)(λ2+1)21, 1,\cdots, 1, (\lambda - 1)^2, (\lambda - 1)^2(\lambda + 1), (\lambda - 1)^2(\lambda + 1)(\lambda^2 + 1)^21,1,⋯,1,(λ−1)2,(λ−1)2(λ+1),(λ−1)2(λ+1)(λ2+1)2那么按照初等因子的定义,其初等因子是(λ−1)2,(λ−1)2,(λ−1)2,(λ+1),(λ+1),(λ−i)2,(λ+i)2(\lambda - 1)^2,(\lambda - 1)^2,(\lambda - 1)^2, (\lambda +1), (\lambda + 1), (\lambda - \text i)^2, (\lambda + \text i)^2(λ−1)2,(λ−1)2,(λ−1)2,(λ+1),(λ+1),(λ−i)2,(λ+i)2.
我们不难看出,如果一个r=4r = 4r=4的复矩阵的不变因子是1,(λ−1)2,(λ−1)2(λ+1),(λ−1)2(λ+1)(λ2+1)21, (\lambda - 1)^2, (\lambda - 1)^2(\lambda + 1), (\lambda - 1)^2(\lambda + 1)(\lambda^2 + 1)^21,(λ−1)2,(λ−1)2(λ+1),(λ−1)2(λ+1)(λ2+1)2那么它的初等因子和上述矩阵相同.因此,相同的初等因子可以对应不同的不变因子.但是,如果同时给定矩阵的秩和初等因子,那么此时矩阵的不变因子唯一确定.
这是因为,由于不变因子满足下列条件:di(λ)∣di+1(λ)d_i(\lambda) | d_{i+1}(\lambda)di(λ)∣di+1(λ) 因此di(λ)d_i(\lambda)di(λ)中所含的pj(λ)kijp_j(\lambda)^{k_{ij}}pj(λ)kij必定整除di+1(λ)d_{i+1}(\lambda)di+1(λ)中所含的pj(λ)k(i+1)j.p_j(\lambda)^{k_{(i+1)j}}.pj(λ)k(i+1)j.这样,dr(λ)d_r(\lambda)dr(λ)就是A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)初等因子当中极大素方幂因子的乘积,dr−1(λ)d_{r-1}(\lambda)dr−1(λ)就是去掉dr(λ)d_r(\lambda)dr(λ)之后剩下的极大素方幂因子的乘积.如果某一步之后,剩下的初等因子全部都是111, 那么剩余的不变因子自然就都是111.
定理5 两个s×ns\times ns×n的λ−\lambda-λ−矩阵等价的充分必要条件是两者具有相同的秩和初等因子.
初等因子的价值有两方面:

有时候用初等因子计算不变因子更为方便.
利用初等因子可以把矩阵的标准形进一步化简.

引理1 如果f1(λ)f2(λ)f_1(\lambda)f_2(\lambda)f1(λ)f2(λ)与g1(λ)g2(λ)g_1(\lambda)g_2(\lambda)g1(λ)g2(λ)互素,那么(f1(λ)g1(λ),f2(λ)g2(λ))=(f1(λ),f2(λ))⋅(g1(λ),g2(λ)).(f_1(\lambda)g_1(\lambda), f_2(\lambda)g_2(\lambda)) = (f_1(\lambda), f_2(\lambda))\cdot (g_1(\lambda), g_2(\lambda)) .(f1(λ)g1(λ),f2(λ)g2(λ))=(f1(λ),f2(λ))⋅(g1(λ),g2(λ)). 我们记(f1(λ)g1(λ),f2(λ)g2(λ))=d(λ),(f1(λ),f2(λ))=d1(λ),(g1(λ),g2(λ))=d2(λ),(f_1(\lambda)g_1(\lambda), f_2(\lambda)g_2(\lambda)) = d(\lambda), (f_1(\lambda), f_2(\lambda)) = d_1(\lambda), (g_1(\lambda), g_2(\lambda)) = d_2(\lambda),(f1(λ)g1(λ),f2(λ)g2(λ))=d(λ),(f1(λ),f2(λ))=d1(λ),(g1(λ),g2(λ))=d2(λ),我们要证明d=d1d2.d = d_1 d_2.d=d1d2.
很明显,(d1,d2)=1(d_1, d_2) = 1(d1,d2)=1.并且d1∣d,d2∣dd_1 | d, d_2 | dd1∣d,d2∣d.所以很容易证明d1d2∣dd_1d_2|dd1d2∣d.
下面我们证明d∣d1d2.d|d_1d_2.d∣d1d2.这也是很显然的.我们不妨反证d′∣d,d′∤d1d2,d^{\prime} | d,d^{\prime} \nmid d_1d_2,d′∣d,d′∤d1d2,那么d′d^\primed′必定是(f1,g2)(f_1, g_2)(f1,g2)或者(f2,g1)(f_2, g_1)(f2,g1)的因子,只能是111,矛盾.
引理2 如果f1(λ)f2(λ)f_1(\lambda)f_2(\lambda)f1(λ)f2(λ)与g1(λ)g2(λ)g_1(\lambda)g_2(\lambda)g1(λ)g2(λ)互素,并且A=(f1(λ)g1(λ)f2(λ)g2(λ))\bm A = \begin{pmatrix} f_1(\lambda)g_1(\lambda) & \\ & f_2(\lambda)g_2(\lambda) \end{pmatrix}A=(f1(λ)g1(λ)f2(λ)g2(λ)) B=(f2(λ)g1(λ)f1(λ)g2(λ))\bm B = \begin{pmatrix} f_2(\lambda)g_1(\lambda) & \\ & f_1(\lambda)g_2(\lambda) \end{pmatrix}B=(f2(λ)g1(λ)f1(λ)g2(λ))那么A\bm AA与B\bm BB等价.
证明是显然的.二者的一阶行列式因子由引理111可知相同,二阶行列式因子显然相同.
定理7 如果A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)相抵于对角矩阵B(λ)=(b1(λ)b2(λ)⋱br(λ)O)\bm B(\lambda) = \begin{pmatrix}b_1(\lambda) \\ & b_2(\lambda) \\ & & \ddots \\ & & & b_r(\lambda) \\ & & & & & \bm O \end{pmatrix}B(λ)=⎝⎜⎜⎜⎜⎛b1(λ)b2(λ)⋱br(λ)O⎠⎟⎟⎟⎟⎞那么把每个非零的对角元分解为首一的素方幂因子乘积,得到的全部不为111的多项式,相同的按照出现次数计数,就得到了A(λ)\bm A(\lambda)A(λ)的全部初等因子集合.
我们将每个非零元素分解为素方幂乘积,得到bi(λ)=p1(λ)ki1p2(λ)ki2⋯ps(λ)kisb_i(\lambda) = p_1(\lambda)^{k_{i1}} p_2(\lambda)^{k_{i2}} \cdots p_{s}(\lambda)^{k_{is}}bi(λ)=p1(λ)ki1p2(λ)ki2⋯ps(λ)kis其中pi(λ)p_i(\lambda)pi(λ)是所有可能的素因子.我们引进记号ci(λ)=p2(λ)ki2⋯ps(λ)kisc_i(\lambda) = p_2(\lambda)^{k_{i2}} \cdots p_{s}(\lambda)^{k_{is}}ci(λ)=p2(λ)ki2⋯ps(λ)kis这样我们就有B(λ)=(p1(λ)k11c1(λ)p1(λ)k21c2(λ)⋱p1(λ)kr1cr(λ)O)\bm B(\lambda) = \begin{pmatrix}p_1(\lambda)^{k_{11}}c_1(\lambda) \\ & p_1(\lambda)^{k_{21}}c_2(\lambda) \\ & & \ddots \\ & & & p_1(\lambda)^{k_{r1}}c_r(\lambda) \\ & & & & & \bm O \end{pmatrix}B(λ)=⎝⎜⎜⎜⎜⎛p1(λ)k11c1(λ)p1(λ)k21c2(λ)⋱p1(λ)kr1cr(λ)O⎠⎟⎟⎟⎟⎞如果说k11,k21,⋯,kr1k_{11}, k_{21}, \cdots, k_{r1}k11,k21,⋯,kr1不是升序,不妨设k21<k12k_{21} < k_{12}k21<k12,那么由引理222,我们可以对素因子进行调换,从而B(λ)\bm B(\lambda)B(λ)与B1(λ)=(p1(λ)k21c1(λ)p1(λ)k11c2(λ)⋱p1(λ)kr1cr(λ)O)\bm B_1(\lambda) = \begin{pmatrix}p_1(\lambda)^{k_{21}}c_1(\lambda) \\ & p_1(\lambda)^{k_{11}}c_2(\lambda) \\ & & \ddots \\ & & & p_1(\lambda)^{k_{r1}}c_r(\lambda) \\ & & & & & \bm O \end{pmatrix}B1(λ)=⎝⎜⎜⎜⎜⎛p1(λ)k21c1(λ)p1(λ)k11c2(λ)⋱p1(λ)kr1cr(λ)O⎠⎟⎟⎟⎟⎞相抵.同时,这种操作保持了分解得到的素方幂因子不变.所以我们对其他素方幂因子同样讨论,最终得到的B(λ)\bm B(\lambda)B(λ)就满足所有的幂次都是升序,此时就变为标准形,从而定理成立.