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本节主要介绍最小多项式与若尔当标准型的相关知识，这是考研中常考的一部分内容，几乎每个院校都有所考察，对于若尔当标准型，请大家先把第八章矩阵的知识掌握，这样有利于更好的熟悉这一块内容,在真正考试的时候，拿到这一部分的分值.

一.最小多项式的定义和性质

定理1. Hamilton-Cayley定理：设A是域F上的n级矩阵，则A的特征多项式是A的一个零化多项式.

定义1. 设是域F上线性空间V的一个线性变换，在的所有非零的零化多项式中，次数最低的首项系数为1的多项式称为的最小多项式.

命题1. 线性空间V上的线性变换的最小多项式是唯一的.

证明：设和都是的最小多项式，则它们的次数相等且首项系数都为1，从而

的系数比的低，由于

因此也是的一个零化多项式，根据最小多项式定义得，,即

命题 2. 设是域 F 上的有限维线性空间 V 上的线性变换，则的最小多项式与特征多项式在中有相同的根(重数可以不同).

证明: 由于的特征多项式是的一个零化多项式，因此

从而存在使得

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