一、哈夫曼树定义与原理

哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。

树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和，记为：

WPL=（W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln）

N个权值Wi（i=1,2,...n）构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li（i=1,2,...n）。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

例：计算下面三棵二叉树的WPL

(a)WPL = 7*2+5*2+4*2+2*2 = 36

(b)WPL = 7*3+5*3+4*2+2*2 = 46

(c)WPL = 7*1+5*2+4*3+2*3 = 35

其中(c)的带权路径WPL值最小，可以验证为哈夫曼树。

二、构建哈夫曼树

对于给定的有各自权值的 n 个结点，构建哈夫曼树方法如下：

在 n 个权值中选出两个最小的权值，对应的两个结点组成一个新的二叉树，且新二叉树的根结点的权值为左右孩子权值的和；
在原有的 n 个权值中删除那两个最小的权值，同时将新的权值加入到 n–2 个权值的行列中，以此类推；
重复 1 和 2 ，直到所以的结点构建成了一棵二叉树为止，这棵树就是哈夫曼树。

哈夫曼树的构建过程图：

前提：上图中，（A）给定了四个结点a，b，c，d，权值分别为7，5，2，4；

第一步：如（B）所示，找出现有权值中最小的两个，2 和 4 ，相应的结点 c 和 d 构建一个新的二叉树，树根的权值为 2 + 4 = 6；

第二步：将原有权值中的 2 和 4 删掉，将新的权值 6 加入；

第三步：进入（C），重复之前的步骤。直到（D）中，所有的结点构建成了一个全新的二叉树。

结点结构：

构建哈夫曼树时，首先需要确定树中结点的构成。由于哈夫曼树的构建是从叶子结点开始，不断地构建新的父结点，直至树根，所以结点中应包含指向父结点的指针。但是在使用哈夫曼树时是从树根开始，根据需求遍历树中的结点，因此每个结点需要有指向其左孩子和右孩子的指针。

代码表示结点结构：

//哈夫曼树结点结构
typedef struct {int weight;//结点权重int parent, left, right;//父结点、左孩子、右孩子在数组中的位置下标
}HTNode, *HuffmanTree;

哈弗曼树中的查找算法：

构建哈夫曼树时，需要每次根据各个结点的权重值，筛选出其中值最小的两个结点，然后构建二叉树。

查找权重值最小的两个结点的思想是：从树组起始位置开始，首先找到两个无父结点的结点（说明还未使用其构建成树），然后和后续无父结点的结点依次做比较，有两种情况需要考虑：

如果比两个结点中较小的那个还小，就保留这个结点，删除原来较大的结点；
如果介于两个结点权重值之间，替换原来较大的结点；

代码实现：

//HT数组中存放的哈夫曼树，end表示HT数组中存放结点的最终位置，s1和s2传递的是HT数组中权重值最小的两个结点在数组中的位置
void Select(HuffmanTree HT, int end, int *s1, int *s2)
{int min1, min2;//遍历数组初始下标为 1int i = 1;//找到还没构建树的结点while(HT[i].parent != 0 && i <= end){i++;}min1 = HT[i].weight;*s1 = i;i++;while(HT[i].parent != 0 && i <= end){i++;}//对找到的两个结点比较大小，min2为大的，min1为小的if(HT[i].weight < min1){min2 = min1;*s2 = *s1;min1 = HT[i].weight;*s1 = i;}else{min2 = HT[i].weight;*s2 = i;}//两个结点和后续的所有未构建成树的结点做比较for(int j=i+1; j <= end; j++){//如果有父结点，直接跳过，进行下一个if(HT[j].parent != 0){continue;}//如果比最小的还小，将min2=min1，min1赋值新的结点的下标if(HT[j].weight < min1){min2 = min1;min1 = HT[j].weight;*s2 = *s1;*s1 = j;}//如果介于两者之间，min2赋值为新的结点的位置下标else if(HT[j].weight >= min1 && HT[j].weight < min2){min2 = HT[j].weight;*s2 = j;}}
}

三、哈夫曼编码

哈夫曼编码就是在哈夫曼树的基础上构建的，这种编码方式最大的优点就是用最少的字符包含最多的信息内容。
根据发送信息的内容，通过统计文本中相同字符的个数作为每个字符的权值，建立哈夫曼树。对于树中的每一个子树，统一规定其左孩子标记为 0 ，右孩子标记为 1 。这样，用到哪个字符时，从哈夫曼树的根结点开始，依次写出经过结点的标记，最终得到的就是该结点的哈夫曼编码。

文本中字符出现的次数越多，在哈夫曼树中的体现就是越接近树根。编码的长度越短。

如上图所示，字符 a 用到的次数最多，其次是字符 b 。字符 a 在哈夫曼编码是 0 ，字符 b 编码为 10 ，字符 c 的编码为 110 ，字符 d 的编码为 111 。

哈夫曼编码有两种方法：

从叶子结点一直找到根结点，逆向记录途中经过的标记。例如，上图中字符 c 的哈夫曼编码从结点 c 开始一直找到根结点，结果为：0 1 1 ，所以字符 c 的哈夫曼编码为：1 1 0（逆序输出）。
从根结点出发，一直到叶子结点，记录途中经过的标记。例如，求上图中字符 c 的哈夫曼编码，就从根结点开始，依次为：1 1 0。

方法一实现：

//HT为哈夫曼树，HC为存储结点哈夫曼编码的二维动态数组，n为结点的个数
void HuffmanCoding(HuffmanTree HT, HuffmanCode *HC,int n){*HC = (HuffmanCode) malloc((n+1) * sizeof(char *));char *cd = (char *)malloc(n*sizeof(char)); //存放结点哈夫曼编码的字符串数组cd[n-1] = '\0';//字符串结束符for(int i=1; i<=n; i++){//从叶子结点出发，得到的哈夫曼编码是逆序的，需要在字符串数组中逆序存放int start = n-1;//当前结点在数组中的位置int c = i;//当前结点的父结点在数组中的位置int j = HT[i].parent;// 一直寻找到根结点while(j != 0){// 如果该结点是父结点的左孩子则对应路径编码为0，否则为右孩子编码为1if(HT[j].left == c)cd[--start] = '0';elsecd[--start] = '1';//以父结点为孩子结点，继续朝树根的方向遍历c = j;j = HT[j].parent;}//跳出循环后，cd数组中从下标 start 开始，存放的就是该结点的哈夫曼编码(*HC)[i] = (char *)malloc((n-start)*sizeof(char));strcpy((*HC)[i], &cd[start]);}//使用malloc申请的cd动态数组需要手动释放free(cd);
}

方法二实现：

//HT为哈夫曼树，HC为存储结点哈夫曼编码的二维动态数组，n为结点的个数
void HuffmanCoding(HuffmanTree HT, HuffmanCode *HC,int n){*HC = (HuffmanCode) malloc((n+1) * sizeof(char *));int m=2*n-1;int p=m;int cdlen=0;char *cd = (char *)malloc(n*sizeof(char));//将各个结点的权重用于记录访问结点的次数，首先初始化为0for (int i=1; i<=m; i++) {HT[i].weight=0;}//一开始 p 初始化为 m，也就是从树根开始。一直到p为0while (p) {//如果当前结点一次没有访问，进入这个if语句if (HT[p].weight==0) {HT[p].weight=1;//重置访问次数为1//如果有左孩子，则访问左孩子，并且存储走过的标记为0if (HT[p].left!=0) {p=HT[p].left;cd[cdlen++]='0';}//当前结点没有左孩子，也没有右孩子，说明为叶子结点，直接记录哈夫曼编码else if(HT[p].right==0){(*HC)[p]=(char*)malloc((cdlen+1)*sizeof(char));cd[cdlen]='\0';strcpy((*HC)[p], cd);}}//如果weight为1，说明访问过一次，即是从其左孩子返回的else if(HT[p].weight==1){HT[p].weight=2;//设置访问次数为2//如果有右孩子，遍历右孩子，记录标记值 1if (HT[p].right!=0) {p=HT[p].right;cd[cdlen++]='1';}}//如果访问次数为 2，说明左右孩子都遍历完了，返回父结点else{HT[p].weight=0;p=HT[p].parent;--cdlen;}}
}

完整代码：

#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
//哈夫曼树结点结构
typedef struct {int weight;//结点权重int parent, left, right;//父结点、左孩子、右孩子在数组中的位置下标
}HTNode, *HuffmanTree;
//动态二维数组，存储哈夫曼编码
typedef char ** HuffmanCode;
//HT数组中存放的哈夫曼树，end表示HT数组中存放结点的最终位置，s1和s2传递的是HT数组中权重值最小的两个结点在数组中的位置
void Select(HuffmanTree HT, int end, int *s1, int *s2)
{int min1, min2;//遍历数组初始下标为 1int i = 1;//找到还没构建树的结点while(HT[i].parent != 0 && i <= end){i++;}min1 = HT[i].weight;*s1 = i;i++;while(HT[i].parent != 0 && i <= end){i++;}//对找到的两个结点比较大小，min2为大的，min1为小的if(HT[i].weight < min1){min2 = min1;*s2 = *s1;min1 = HT[i].weight;*s1 = i;}else{min2 = HT[i].weight;*s2 = i;}//两个结点和后续的所有未构建成树的结点做比较for(int j=i+1; j <= end; j++){//如果有父结点，直接跳过，进行下一个if(HT[j].parent != 0){continue;}//如果比最小的还小，将min2=min1，min1赋值新的结点的下标if(HT[j].weight < min1){min2 = min1;min1 = HT[j].weight;*s2 = *s1;*s1 = j;}//如果介于两者之间，min2赋值为新的结点的位置下标else if(HT[j].weight >= min1 && HT[j].weight < min2){min2 = HT[j].weight;*s2 = j;}}
}
//HT为地址传递的存储哈夫曼树的数组，w为存储结点权重值的数组，n为结点个数
void CreateHuffmanTree(HuffmanTree *HT, int *w, int n)
{if(n<=1) return; // 如果只有一个编码就相当于0int m = 2*n-1; // 哈夫曼树总节点数，n就是叶子结点*HT = (HuffmanTree) malloc((m+1) * sizeof(HTNode)); // 0号位置不用HuffmanTree p = *HT;// 初始化哈夫曼树中的所有结点for(int i = 1; i <= n; i++){(p+i)->weight = *(w+i-1);(p+i)->parent = 0;(p+i)->left = 0;(p+i)->right = 0;}//从树组的下标 n+1 开始初始化哈夫曼树中除叶子结点外的结点for(int i = n+1; i <= m; i++){(p+i)->weight = 0;(p+i)->parent = 0;(p+i)->left = 0;(p+i)->right = 0;}//构建哈夫曼树for(int i = n+1; i <= m; i++){int s1, s2;Select(*HT, i-1, &s1, &s2);(*HT)[s1].parent = (*HT)[s2].parent = i;(*HT)[i].left = s1;(*HT)[i].right = s2;(*HT)[i].weight = (*HT)[s1].weight + (*HT)[s2].weight;}
}
//HT为哈夫曼树，HC为存储结点哈夫曼编码的二维动态数组，n为结点的个数
void HuffmanCoding(HuffmanTree HT, HuffmanCode *HC,int n){*HC = (HuffmanCode) malloc((n+1) * sizeof(char *));char *cd = (char *)malloc(n*sizeof(char)); //存放结点哈夫曼编码的字符串数组cd[n-1] = '\0';//字符串结束符for(int i=1; i<=n; i++){//从叶子结点出发，得到的哈夫曼编码是逆序的，需要在字符串数组中逆序存放int start = n-1;//当前结点在数组中的位置int c = i;//当前结点的父结点在数组中的位置int j = HT[i].parent;// 一直寻找到根结点while(j != 0){// 如果该结点是父结点的左孩子则对应路径编码为0，否则为右孩子编码为1if(HT[j].left == c)cd[--start] = '0';elsecd[--start] = '1';//以父结点为孩子结点，继续朝树根的方向遍历c = j;j = HT[j].parent;}//跳出循环后，cd数组中从下标 start 开始，存放的就是该结点的哈夫曼编码(*HC)[i] = (char *)malloc((n-start)*sizeof(char));strcpy((*HC)[i], &cd[start]);}//使用malloc申请的cd动态数组需要手动释放free(cd);
}
//打印哈夫曼编码的函数
void PrintHuffmanCode(HuffmanCode htable,int *w,int n)
{printf("Huffman code : \n");for(int i = 1; i <= n; i++)printf("%d code = %s\n",w[i-1], htable[i]);
}
int main(void)
{int w[5] = {2, 8, 7, 6, 5};int n = 5;HuffmanTree htree;HuffmanCode htable;CreateHuffmanTree(&htree, w, n);HuffmanCoding(htree, &htable, n);PrintHuffmanCode(htable,w, n);return 0;
}

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一、哈夫曼树定义与原理

二、构建哈夫曼树

三、哈夫曼编码

完整代码：

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