赫夫曼树（Haffman）及其运用

赫夫曼树，别名“哈夫曼树”、“最优树”以及“最优二叉树”。

概念：

路径：在一棵树中，一个结点到另一个结点之间的通路，称为路径。
（从根结点到结点 a 之间的通路就是一条路径。）
路径长度：在一条路径中，每经过一个结点，路径长度都要加 1 。
（在一棵树中，规定根结点所在层数为1层，那么从根结点到第 i 层结点的路径长度为 i - 1 。图中从根结点到结点 c 的路径长度为 3）
结点的权：给每一个结点赋予一个新的数值，被称为这个结点的权。
（图中结点 a 的权为 7，结点 b 的权为 5。）
结点的带权路径长度：指的是从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
(图中结点 b 的带权路径长度为 2 * 5 =10 )
树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和。通常记作 “WPL” 。(图中所示的这颗树的带权路径长度为：WPL = 7 * 1 + 5 * 2 + 2 * 3 + 4 * 3)

赫夫曼树（最优二叉树）

假设有n个权值（ω1，ω2，…ωn），试构造一棵有n个叶子结点的二叉树，每个叶子结点的带权为ωi（有多少种方式？）
其中：带权路径长度WPL最小的二叉树称作赫夫曼树。

构造：
对于给定的有各自权值的 n 个结点，构建哈夫曼树有一个行之有效的办法：

1.在 n 个权值中选出两个最小的权值，对应的两个结点组成一个新的二叉树，且新二叉树的根结点的权值为左右孩子权值的和；
2.在原有的 n个权值中删除那两个最小的权值，同时将新的权值加入到 n–2 个权值的行列中
以此类推；重复 1 和 2，直到所以的结点构建成了一棵二叉树为止，这棵树就是哈夫曼树。

赫夫曼树的特点

权值越大的结点，距离根结点越近。
树中没有度为1的结点，这类树又叫做正则(严格)二叉树。
树的带权路径长度最短。

赫夫曼编码

前缀编码：任一个字符的编码都不是另一个字符的编码的前缀。
由赫夫曼树得到的平均长度最短的二进制前缀编码
平均长度最短：源于赫夫曼树保证了WPL(带权路径长度之和)最小
从赫夫曼树的根结点到每一个叶子结点的路径，都可以等价为一段二进制编码。

为什么不能用二叉树代替赫夫曼树构造前缀码？

由赫夫曼树的特性知：赫夫曼树的带权路径长度是最短的，赫夫曼编码过程中，每个字符的权值都是在字符中出现的次数，路径长度即为每个字符编码的长度，出现次数最多的字符编码长度越短，因此整个字符串被编码后的前缀码长度最短——赫夫曼编码产生的是最短前缀码。

例：对于n（n≥2）个权值均不相同的字符构成的哈夫曼树，关于该树的叙述中，错误的是（B）

   A. 该树一定是一棵完全二叉树B. 树中一定没有度为1的结点C. 树中两个权值最小的结点一定是兄弟结点D. 树中任一非叶结点的权值，一定不小于下一层任一结点的权值

解析：

哈夫曼树为带权路径长度最小的二叉树，不一定是完全二叉树。
哈夫曼树中没有度为1的结点；
构造哈夫曼树时，最先选取两个权值最小的结点作为左右子树构造一棵新的二叉树，C正确；
哈夫曼树中任一非叶结点P的权值为其左右子树根结点权值之和，其权值不小于其左右子树根结点的权值，在与结点P的左右子树根结点处于同一层的结点中，若存在权值大于结点．P权值的结点Q，那么结点Q的兄弟结点中权值较小的一个应该与结点P作为左右子树构造新的二叉树。综上可知，哈夫曼树中任一非叶结点的权值一定不小于下一层任一结点的权值。

例：下列选项给出的是从根分别到达两个叶结点路径上的权值序列，能属于同一棵哈夫曼树的是（D）

   A. 24, 10, 5和24, 10, 7  B. 24, 10, 5和24, 12, 7C. 24, 10, 10和24, 14, 11     D. 24, 10, 5和24, 14, 6

解析：

哈夫曼树是带权路径长度最短的二叉树。由根节点出发到两个叶子节路径中，第二个被访问的两个结点的权值要么相等，要么和为根节点的权值，故B项错误。同理，通过第三个被访问的节点排除A项。
由两条路径可推出三个叶子节点的权值分别是：3、10和11，而根据哈夫曼树的定义可知，权值为3的节点应该和权值为10的结点结合，故C项错误。
D项，反推出有四个叶子节点，权值分别为：5、5、6和8，满足哈夫曼树的条件。

例：已知字符集{a, b, c, d, e, f}，若各字符出现的次数分别为6, 3, 8, 2, 10, 4，则对应字符集中各字符的哈夫曼编
码可能是（）

   A. 00, 1011, 01, 1010, 11, 100B. 00, 100, 110, 000, 0010, 01 C. 10, 1011, 11, 0011, 00, 010D. 0011, 10, 11, 0010, 01, 000

解析：

任一个字符的编码都不是另一个字符的编码的前缀。

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