证明能被11整除的数的特征

帮助到你了就点个赞吧！

Powered By Longer-站在巨人的肩膀上

来源：百度贴吧大师：asdx3611

重新简化文字，公式通用化，优化排版。看不懂通用公式可以先看例子。

能被11整除的数有两个特征：

1. 奇数位的数字之和减偶数位的数字之和能被11整除。

2. 从右往左，每两个数分成一组，各组数之和能被11整除。

下面依次证明。

1. 求证：一个数如果能被11整除，具有如下特征，奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

证明：
注意到下列事实：
一、99，9999，……，偶数位纯9数必能被11整除；
二、1001，100001，……，中间的0的个数为偶数的10……01必能被11整除。

例子（以五位数为例）：
$\begin{align*} s&=10000a+1000b+100c+10d+e\\ &=(9999a+a)+(1001b-b)+(99c+c)+(11d-d)+e\\ &=9999a+1001b+99c+11d\\&+[(a+c+e)-(b+d)]. \end{align*}$
因为 $9999a+1001b+99c+11d$ 能被11整除，所以，只要 $[(a+c+e)-(b+d)]$ 能被11整除，原五位数就能被11整除，也就是：奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

通用公式：

设n为偶数，则

$\begin{align*} s&=10^na_{n}+10^{n-1}a_{n-1}+...+10a_{1}+a_{0}\\ &=(10^{n}-1)a_{n}+(10^{n-1}+1)a_{n-1}+...+(10+1)a_{1}\\ &+(a_{n}+a_{n-2}+...+a_{0})-(a_{n-1}+a_{n-3}+...+a_{1}) \end{align*}$

其中 $(10^{n}-1)a_{n}+(10^{n-1}+1)a_{n-1}+...+(10+1)a_{1}$ 每一项都能被11整除，因此，要s能被整除，需要 $(a_{n}+a_{n-2}+...+a_{0})-(a_{n-1}+a_{n-3}+...+a_{1})$ 能被11整除，证毕。

2. 求证：一个多位数从右边开始，每两位为一组分成若干组。如果这些两位数（十位数字可以为0）的和能被11整除，那么原多位数能被11整除。

证明：
以七位数为例，将七位数从右边开始，每两位为一组，分成四组，也就是四个两位数串（即首位数字可以为0）： a、b、c、d．
则原七位数可表示成：
$\begin{align*} s&=1000000a+10000b+100c+d\\ &=(999999a+a)+(9999b+b)+(99c+c)+d\\ &=999999a+9999b+99c+(a+b+c+d) \end{align*}$
因为 $999999a+9999b+99c$ 能被11整除，所以，只要 $(a+b+c+d)$ 能被11整除，原七位数就能被11整除。
也就是：如果这些两位数串（即首位数字可以为0）的和能被11整除，那么原多位数能被11整除。

例如：4055854，
因为04+05+58+54=121能被11整除，所以，4055854能被11整除。

通用公式：

$a_{0}$ 表示最后两位数，个位和十位， $a_{2}$ 表示千位和百位。

$\begin{align*} s&=10^{2k}a_{2k}+10^{2k-2}a_{2k-2}+...+10^{2}a_{2}+a_{0}\\ &=(10^{2k}-1)a_{2k}+(10^{2k-2}-1)a_{2k-2}+...+(10^{2}-1)a_{2}\\ &+(a_{2k}+a_{2k-2}+...+a_{2}+a_{0}) \end{align*}$

其中 $(10^{2k}-1)a_{2k}+(10^{2k-2}-1)a_{2k-2}+...+(10^{2}-1)a_{2}$ 能被11整除，如果s能被11整除，则 $(a_{2k}+a_{2k-2}+...+a_{2}+a_{0})$ 也要被11整除。

帮助到你了就点个赞吧！

Powered By Longer-站在巨人的肩膀上

来源：百度贴吧大师：asdx3611

证明能被11整除的数的特征相关推荐

能被9和11整除的数的特征
能被7、11、13、17、19整除的数的特征
能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程. 能被11整除的数的特征 ...
7的整除特征三位一截_数的整除(能被7、9、11、13整除的数的特征)专题训练
数的整除(能被 7 . 9 . 11 . 13 整除的数的特征)专题训练知识梳理: 1 .整数 a 除以整数 b(b≠0) ,所得的商正好是整数而没有余数,我们就说 a 能被 b 整可以说 b 能 ...
能被7，11,13整除的数的特征
能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程. 能被11整除的数的特征 ...
7的整除特征三位一截_能被7整除的数的特征
能被7整除的数的特征能被 7 整除的数的特征一个数割去末位数字,再从留下来的数中减去所割去数字的 2 倍,这样,一次次减下去, 如果最后的结果是 7 的倍数(包括 0),那么,原来的这个数就一定能 ...
能被2、3、4、5、6、7、8、9、11、13等数整除的数的特征（含详细证明）
目录整除的数学符号 " | " 整除的性质 1 整除的性质 2 能被2整除的数能被3整除的数能被4整除的数能被5整除的数能被6整除的数能被7.11.13整除的数能被8 ...
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征
性质1:如果数a.b都能被c整除,那么它们的和(a+b)或差(a-b)也能被c整除. 性质2:几个数相乘,如果其中有一个因数能被某一个数整除,那么它们的积也能被这个数整除. 能被2整除的数,个位上的数 ...
【数论知识】能被2、3、4、5、6、7、8、9 等数整除的数的特征
能被2.3.4.5.6.7.8.9 等数整除的数的特征性质1:如果数a.b都能被c整除,那么它们的和(a+b)或差(a-b)也能被c整除. 性质2:几个数相乘,如果其中有一个因数能被某一个数整除,那 ...
被某些数整除的数的特征——数论
能被一些数整除的的特征: 能被 2 整除的数 :整数的末尾是 0,2,4,6,8.即个位上的数能被 2 整除. 能被 3 整除的数 :各个数位上的数字之和能被 3 整除. 能被 4 整除的数 :数的末 ...

证明能被11整除的数的特征

证明能被11整除的数的特征相关推荐

最新文章

热门文章