【张朝阳的物理课笔记】 5. 波动方程，声音在空气中的传播速度

5.1 推导声速

空气稀薄声速会不会变慢，声速和什么相关？
考虑声波对一小块空气的作用

空气受力会产生位移f,f是x和时间t的函数
用牛顿第二定律F=ma建立方程
m∗a=Ahρ0∗∂2f∂t2=令A为单位面积1hρ0∗∂2f∂t2m*a=Ah\rho_0*\frac{\partial^2f}{\partial t^2}\xlongequal{令A为单位面积1}h\rho_0*\frac{\partial^2f}{\partial t^2}m∗a=Ahρ0∗∂t2∂2f令A为单位面积1hρ0∗∂t2∂2f
外力F来自压强差,即x+h和x处的压强差。令声波使空气块的压强产生变化PcP_cPc，则：
F=−(Pc(x+h)−Pc(x))=−∂Pc∂xhF=-(P_c(x+h)-P_c(x))=-\frac{\partial P_c}{\partial x}hF=−(Pc(x+h)−Pc(x))=−∂x∂Pch
综合F=ma:
hρ0∗∂2f∂t2=−∂Pc∂xhh\rho_0*\frac{\partial^2f}{\partial t^2}=-\frac{\partial P_c}{\partial x}hhρ0∗∂t2∂2f=−∂x∂Pch,即：
ρ0∗∂2f∂t2=−∂Pc∂x(1)\rho_0*\frac{\partial^2f}{\partial t^2}=-\frac{\partial P_c}{\partial x} \tag{1}ρ0∗∂t2∂2f=−∂x∂Pc(1)

压强的变化ρc\rho_cρc和密度变化有关，PcP_cPc做泰勒一级展开：Pc=∂Pc∂ρcρcP_c=\frac{\partial P_c}{\partial \rho_c}\rho_cPc=∂ρc∂Pcρc
令α=∂Pc∂ρc\alpha=\frac{\partial P_c}{\partial \rho_c}α=∂ρc∂Pc 则Pc=αρcP_c=\alpha\rho_cPc=αρc
考虑 xxx 到 x+Δxx+\Delta xx+Δx 间的一个小空气块(截面积为单位1)在受到外力变化后的密度变化

受到外力后，空气块中发生位移，左侧增加到f(x)f(x)f(x)，右侧增加f(x+Δx)f(x+\Delta x)f(x+Δx)，所以体积由Δx\Delta xΔx变为Δx+f(x+Δx)−f(x)\Delta x+f(x+\Delta x)-f(x)Δx+f(x+Δx)−f(x),由于空气块质量不变：
ρ0Δx=(ρ0+ρc)[Δx+f(x+Δx)−f(x)]=(ρ0+ρc)[Δx+∂f∂xΔx]\rho_0 \Delta x=(\rho_0 + \rho_c)[\Delta x+f(x+\Delta x)-f(x)]=(\rho_0 + \rho_c)[\Delta x+\frac {\partial f}{\partial x}\Delta x]ρ0Δx=(ρ0+ρc)[Δx+f(x+Δx)−f(x)]=(ρ0+ρc)[Δx+∂x∂fΔx]
ρ0Δx=ρ0Δx+ρ0∂f∂xΔx+ρcΔx+ρc∂f∂xΔx\rho_0 \Delta x=\rho_0 \Delta x + \rho_0 \frac {\partial f}{\partial x}\Delta x+ \rho_c \Delta x + \rho_c \frac {\partial f}{\partial x}\Delta xρ0Δx=ρ0Δx+ρ0∂x∂fΔx+ρcΔx+ρc∂x∂fΔx
ρc\rho_cρc相较ρ0\rho_0ρ0很小，上式简化为：
0=ρ0∂f∂xΔx+ρcΔx⟹ρc=−ρ0∂f∂x0=\rho_0 \frac {\partial f}{\partial x}\Delta x+ \rho_c \Delta x\Longrightarrow\rho_c=-\rho_0 \frac {\partial f}{\partial x}0=ρ0∂x∂fΔx+ρcΔx⟹ρc=−ρ0∂x∂f
代入公式(1)(1)(1)：
ρ0∗∂2f∂t2=−∂Pc∂x=−α∂ρc∂x=αρ0∂2f∂x2\rho_0*\frac{\partial^2f}{\partial t^2}=-\frac{\partial P_c}{\partial x}=-\alpha\frac{\partial \rho_c}{\partial x}=\alpha\rho_0\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}ρ0∗∂t2∂2f=−∂x∂Pc=−α∂x∂ρc=αρ0∂x2∂2f
化简得到：
∂2f∂t2=α∂2f∂x2(2)\frac{\partial^2f}{\partial t^2}=\alpha\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\tag 2∂t2∂2f=α∂x2∂2f(2)
令α=v2\alpha=v^2α=v2,此微分方程的解为：
f(x,t)=x±vtf(x,t) = x\pm vtf(x,t)=x±vt
猜想v是传播速度，则f(x-vt)为常数，
符合波的特性(想像波峰在以v的速度移动），所以v正是速度。
v=α=∂P∂ρv=\sqrt{\alpha}=\sqrt{\frac{\partial P}{\partial \rho}}v=α=∂ρ∂P
理想气体满足(参见之后的第6课)PV=NKT,ρ=NmAV∴P=ρmAKT\rho=\frac{Nm_A}{V} \therefore P=\frac{\rho}{m_A}KTρ=VNmA∴P=mAρKT
PVγ=常数PV^\gamma =常数PVγ=常数其中γ\gammaγ为绝热指数，空气的绝热指数为1.4(见第7课)
P=bργP=b\rho^\gammaP=bργ (b为常数)
v2=α=∂P∂ρ=γbργ−1=γPρ=γKTmA=γKTNAmANAv^2=\alpha=\frac{\partial P}{\partial \rho}=\gamma b \rho^{\gamma-1}=\gamma \frac{P}{\rho}=\frac{\gamma KT}{m_A}=\frac{\gamma KTN_A}{m_AN_A}v2=α=∂ρ∂P=γbργ−1=γρP=mAγKT=mANAγKTNA
NaN_aNa是阿弗加德罗常数，KNAKN_AKNA=R=8.31,mANAm_AN_AmANA是摩尔质量μm\mu_mμm，空气的摩尔质量是29g
设温度为20摄氏度，即293K
∴v2=γRTμm=1.4∗8.31∗29329∗10−3\therefore v^2=\frac{\gamma RT}{\mu_m}=\frac{1.4*8.31*293}{29*10^{-3}}∴v2=μmγRT=29∗10−31.4∗8.31∗293
∴v=343m/s\therefore v=343m/s∴v=343m/s
这正是空气速度

5.2 注意事项

P=bργP=b\rho^\gammaP=bργ γ\gammaγ>1,说明压强不正比于密度，而是比密度变化得更快，密度变稀时因为对外做功，温度会降低，所以压强下降得更快，比如空气是1.4倍。
∵v=γRTμm\because v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{\mu_m}}∵v=μmγRT
∴\therefore∴ 音速和压强没有关系，和温度有关系，在零下30度时，音速损失了10%