【张朝阳的物理课笔记】 7. 气体的内能，能量均分原理，量子物理的曙光

7.1 双原子分子理想气体

证明：PV=NKT

双原子分子的质心速度：
v⃗CM=m1v⃗1+m2v⃗2m1+m2\vec v_{CM}=\frac{m_1\vec v_1+m_2\vec v_2}{m_1+m2}vCM=m1+m2m1v1+m2v2
平动动能：
Etr=12(m1+m2)v⃗CM2E_{tr}=\frac 1 2(m_1+m_2)\vec v_{CM}^2Etr=21(m1+m2)vCM2
⟨Etr⟩=12(m1+m2)⟨v⃗CM2⟩=⟨121m1+m2[m12v12+m22v22+2m1m2(v⃗1⋅v⃗2)]⟩\langle E_{tr} \rangle=\frac 1 2(m_1+m_2)\langle \vec v_{CM}^2 \rangle=\langle \frac 1 2\frac 1 {m_1+m_2}[m_1^2v_1^2+m_2^2v_2^2+2m_1m_2(\vec v_1\cdot\vec v_2)] \rangle⟨Etr⟩=21(m1+m2)⟨vCM2⟩=⟨21m1+m21[m12v12+m22v22+2m1m2(v1⋅v2)]⟩
∵v⃗1和v⃗2相互不相干，相对方向各个方向都有，所以总体加起来平均是0\because \vec v_1和\vec v_2相互不相干，相对方向各个方向都有，所以总体加起来平均是0∵v1和v2相互不相干，相对方向各个方向都有，所以总体加起来平均是0
∴⟨Etr⟩=12(m1+m2)⟨v⃗CM2⟩=⟨1m1+m2[12m12v12+12m22v22]⟩=⟨1m1+m2[m12m1v12+m22m2v22]⟩=⟨1m1+m2[m132KT+m232KT]⟩=32KT\therefore \langle E_{tr} \rangle=\frac 1 2(m_1+m_2)\langle \vec v_{CM}^2 \rangle=\langle \frac 1 {m_1+m_2}[\frac 1 2m_1^2v_1^2+\frac 1 2m_2^2v_2^2]\rangle=\langle \frac 1 {m_1+m_2}[\frac{m_1}2m_1v_1^2+\frac{m_2}2m_2v_2^2] \rangle=\langle \frac 1 {m_1+m_2}[m_1\frac 32KT+m_2\frac 32KT] \rangle=\frac 32KT∴⟨Etr⟩=21(m1+m2)⟨vCM2⟩=⟨m1+m21[21m12v12+21m22v22]⟩=⟨m1+m21[2m1m1v12+2m2m2v22]⟩=⟨m1+m21[m123KT+m223KT]⟩=23KT
还是满足能均分原理
内能U正比于NKT正比于PV,令
PV=(γ−1)UPV=(\gamma-1)UPV=(γ−1)U

7.2 γ\gammaγ是什么

考查对气体做功导致体积变化及内能的变化：

∵U=1γ−1PV\because U=\frac 1{\gamma-1}PV∵U=γ−11PV
∴PdV=−dU=−1γ−1d(PV)\therefore PdV=-dU=-\frac 1{\gamma-1}d(PV)∴PdV=−dU=−γ−11d(PV)
γPdV+VdP=0\gamma PdV+VdP=0γPdV+VdP=0
γ=−VdPPdV\gamma=-\frac {VdP}{PdV}γ=−PdVVdP
忽略负号，γ=CvCp\gamma=\frac {C_v}{C_p}γ=CpCv
Cv{C_v}Cv是定容热容，Cp{C_p}Cp是定压强热容。这两个都可以测出来
γ\gammaγ是热容比，又叫绝热指数
上面的式可以变换为：
dPP+γdVV=0\frac{dP}P+\gamma\frac{dV}V=0PdP+γVdV=0
d(lnP)+d(lnVγ)=0d(ln P)+d(lnV^\gamma)=0d(lnP)+d(lnVγ)=0
d(ln(PVγ))=0d(ln(PV^\gamma))=0d(ln(PVγ))=0
∴PVγ\therefore PV^\gamma∴PVγ是常数
回顾下第5课用到了γ\gammaγ,空气取1.4:
v=γRTμmv = \sqrt{\frac{\gamma RT}{\mu_m}}v=μmγRT

单原子分子

PV=NKT=N23(32KT)=23U=(γ−1)UPV=NKT=N\frac 2 3(\frac 3 2KT)=\frac 2 3U=(\gamma-1)UPV=NKT=N32(23KT)=32U=(γ−1)U
∴γ=53\therefore \gamma=\frac 5 3∴γ=35
对于氦，测出确实是1.6

双原子分子

双原子分子的内能=平动Etr+转动Ero+振动Evib+原子间势能Ep平动E_{tr}+转动E_{ro}+振动E_{vib}+原子间势能E_{p}平动Etr+转动Ero+振动Evib+原子间势能Ep，自由度分别为：3，2，1，1. 按能均分原理，每个自由度的能量都是12KT\frac 1 2KT21KT,总能量是72KT\frac 7 2KT27KT
γ=1+27=97=1.28≠1.4\gamma=1+\frac 2 7=\frac 9 7=1.28\neq1.4γ=1+72=79=1.28=1.4与实验不符
如果原子间势能不要，
γ=1+26=86=1.33≠1.4\gamma=1+\frac 2 6=\frac 8 6=1.33\neq1.4γ=1+62=68=1.33=1.4与实验不符
如果振动能也不要，
γ=1+25=75=1.4\gamma=1+\frac 2 5=\frac 7 5=1.4γ=1+52=57=1.4与实验相符

7.3 量子力学解释为什么势能和振动能不参与能量分配

分子能是有能级的，能级差是普朗克常数*固有频率：ℏω\hbar\omegaℏω

分摊能量进入激发态的概率Prob∝e−ℏωKTProb\propto e^{-\frac{\hbar\omega}{KT}}Prob∝e−KTℏω
振动能和原子间势能分子间力很大，固有频率很大，所以能级差很大，这个概率很小，导致大部分分子处于基态，基本不会分摊能量。
转动能的能级非常小，所以会分摊能量。
对于碘气和溴气，分子较大，分子间力弱，固有频率较小，7个自由度都会分摊能量，所以γ\gammaγ值是1.28
对于氧气和氢气，固有频率很大，只有5个自由度分摊能量，所以γ\gammaγ值是1.4