【张朝阳的物理课笔记】8. 黑体辐射，瑞丽金斯公式的推导(上)

2024-06-11 12:21:00

8.1 阻尼振动

单摆在小夹角时，回拉力和距离成正比，近似看成谐振子
如果把单摆放在流体里，会受到流体的阻力，阻力和速度成正比，运动方程写为：
md2xdt2=−kx−mγdxdtm\frac {d^2x}{dt^2}=-kx-m\gamma\frac{dx}{dt}mdt2d2x=−kx−mγdtdx
d2xdt2=−kmx−γdxdt=−ω02x−γdxdt\frac {d^2x}{dt^2}=-\frac k mx-\gamma\frac{dx}{dt}=-\omega_0^2x-\gamma\frac{dx}{dt}dt2d2x=−mkx−γdtdx=−ω02x−γdtdx
令 x=x0eiωtx=x_0e^{i\omega t}x=x0eiωt,上式化为
−ω2x0=−ω02x0−γiωx0-\omega^2x_0=-\omega_0^2x_0-\gamma i \omega x_0−ω2x0=−ω02x0−γiωx0
ω2−iγω−ω02=0\omega^2-i\gamma \omega-\omega_0^2=0ω2−iγω−ω02=0
得：
ω=12iγ±ω02−γ24\omega=\frac 1 2i\gamma \pm\sqrt{\omega_0^2-\frac{\gamma^2}4}ω=21iγ±ω02−4γ2
x=x0eiωt=x0e−12γte±iω02−γ24=空气中γ很小x0e−12γt∗e±iω0x=x_0e^{i\omega t}=x_0e^{-\frac 1 2\gamma t}e^{\pm i\sqrt{\omega_0^2-\frac{\gamma^2}{4}}}\xlongequal{空气中\gamma很小}x_0e^{-\frac 1 2\gamma t}*e^{\pm i\omega_0}x=x0eiωt=x0e−21γte±iω02−4γ2空气中γ很小x0e−21γt∗e±iω0
前半部分说明振幅在随时间衰减（ω\omegaω的虚数部分导致了振幅衰减）

E=12mω02A2=A=x0e−12γt12mω02x02e−γtE=\frac 1 2m\omega_0^2A^2\xlongequal{A=x_0e^{-\frac 1 2\gamma t}}\frac 1 2m\omega_0^2x_0^2e^{-\gamma t}E=21mω02A2A=x0e−21γt21mω02x02e−γt
能量随时间衰减：
dEdt=−γE\frac {dE}{dt}=-\gamma EdtdE=−γE

8.2 电荷振动

电荷振动时因为有辐射，所以是阻尼运动。
3.3节中：辐射功率平均值 ⟨P⟩=q2x0212πϵ0c3ω4\langle P\rangle=\frac{q^2x_0^2}{12\pi\epsilon_0c^3}\omega^4⟨P⟩=12πϵ0c3q2x02ω4
能量损失等于辐射，即：−dEdt=⟨P⟩-\frac {dE}{dt}=\langle P\rangle−dtdE=⟨P⟩
又 dEdt=−γE=−γ12mω02x02\frac {dE}{dt}=-\gamma E=-\gamma \frac 1 2m\omega_0^2x_0^2dtdE=−γE=−γ21mω02x02
γ=q2ω26πϵ0c3m=23q24πϵ01mc2ω2c\gamma=\frac{q^2\omega^2}{6\pi\epsilon_0c^3m}=\frac 2 3\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0}\frac 1{mc^2}\frac{\omega^2}{c}γ=6πϵ0c3mq2ω2=324πϵ0q2mc21cω2
令电子常数平方e2e^2e2=q24πϵ0\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0}4πϵ0q2；令r0=e2mc2r_0=\frac{e^2}{mc^2}r0=mc2e2，这是个常数，有：γ=23r0ω2c\gamma=\frac 2 3\frac{r_0\omega^2}cγ=32cr0ω2

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