文章目录

一、整数规划
- 1、整数规划概念
- 2、整数规划分类
二、整数规划示例
三、整数规划解决的核心问题
四、整数规划问题解的特征
五、整数规划问题与松弛问题示例
六、分支定界法
- 1、整数规划概念
- 2、分支定界法求解整数规划步骤
- 3、分支定界理论分析
七、分支过程示例
八、分支定界法求整数规划示例
- 1、分支定界法求整数规划示例
- 2、求整数规划的松弛问题及最优解
- 3、第一次分支操作
- 4、第二次分支操作
- 5、第三次分支操作
- 6、整数规划最优解

一、整数规划

1、整数规划概念

线性规划使用单纯形法求解 , 线性规划中的运输规划使用表上作业法求解 ;

之前讨论的都是线性规划问题 , 非线性规划如何求解 , 没有给出具体的方法 ;

整数规划问题 : 要求一部分或全部决策变量取值整数的规划问题 , 称为整数规划 ;

整数规划问题的松弛问题 : 不考虑整数变量条件 , 剩余的目标函数和约束条件构成的线性规划问题称为整数规划问题的松弛问题 ;

整数线性规划 : 如果上述整数规划问题的松弛问题是线性规划 , 则称该整数规划为整数线性规划 ;

整数规划与之前的线性规划多了一个约束条件 , 变量大于等于 000 , 并且都是整数 ;

整数线性规划数学模型一般形式 :

maxZ=∑j=0ncjxjs.t{∑j=1naijxj=bi(i=1,2,⋯,m)xj≥0(j=1,2,⋯,n)部分或全部为整数\begin{array}{lcl} \rm maxZ = \sum_{j = 0}^{n} c_j x_j \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_j = b_i \ \ \ ( \ i = 1, 2, \cdots , m \ ) \\\\ \rm x_j \geq 0 \ \ \ ( \ j = 1, 2, \cdots , n \ ) 部分或全部为整数 \end{cases}\end{array}maxZ=∑j=0ncjxjs.t⎩⎪⎨⎪⎧∑j=1naijxj=bi ( i=1,2,⋯,m )xj≥0 ( j=1,2,⋯,n )部分或全部为整数

2、整数规划分类

整数线性规划分为以下几类 : ① 纯整数线性规划 , ② 混合整数线性规划 , ③ 0-1 型整数线性规划 ;

① 纯整数线性规划 : 全部决策变量都必须取值整数的整数线性规划 ;

② 混合整数线性规划 : 决策变量中有一部分必须取整数值 , 另一部分可以不取值整数值的整数线性规划 ;

③ 0-1 型整数线性规划 : 决策变量只能取值 000 或 111 的整数线性规划 ;

二、整数规划示例

资金总额 B\rm BB , 有 nnn 个投资项目 , 项目 jjj 所需的投资金额是 aja_jaj , 预期收益是 cjc_jcj , j=1,2,⋯,nj = 1,2,\cdots,nj=1,2,⋯,n ;

投资还有以下附加条件 :

① 如果投资项目 111 , 必须投资项目 222 ; 反之如果投资项目 222 , 没有限制 ;

② 项目 333 和项目 444 必须至少选 111 个 ;

③ 项目 5,6,75,6,75,6,7 只能选择 222 个 ;

决策变量分析 : 选择合适的决策变量与决策变量取值 ;

选取变量 , 使得变量的一组取值 , 能更好对应线性规划问题的解决方案 ;

每个项目有对应的两个选择 , 投资 / 不投资 , 分别使用 111 和 000 表示 ;

令 xjx_jxj 表示第 jjj 个项目的投资选择 , 投资 111 , 不投资 000 ; ( j=1,2,⋯,nj = 1,2, \cdots, nj=1,2,⋯,n )

投资额约束条件 : 所有的投资总额不能超过 B\rm BB , ∑j=1najxj≤B\sum_{j = 1}^{n} a_{j} x_j \leq B∑j=1najxj≤B ;

分析条件 ① : 投资项目 111 , 必须投资项目 222 , 此时 x1=x2=1x_1 = x_2 = 1x1=x2=1 ; 投资项目 222 可以投资项目 111 , 可以不投资项目 111 , 同时投资的情况上面已经分析过 , 分析后者 x1=1,x2=0,此时x1>x2x_1 = 1, x_2 = 0 , 此时 x_1 > x_2x1=1,x2=0,此时x1>x2 ; 综合上述两种情况就有 x2≥x1x_2 \geq x_1x2≥x1 ;

分析条件 ② : 项目 333 和项目 444 必须至少选 111 个 , 两者选择一个 , 或者都选择 , 二者相加之和是 111 或 222 ; 有约束方程 x3+x4≥1x_3 + x_4 \geq 1x3+x4≥1 ;

分析条件 ③ : 项目 5,6,75,6,75,6,7 只能选择 222 个 , 则三者相加等于 222 即可 ; 约束方程 x5+x6+x7=2x_5 + x_6 + x_7 = 2x5+x6+x7=2 ;

投资问题可以表示为以下线性规划 :

maxZ=∑j=1ncjxjs.t{∑j=1najxj≤Bx2≥x1x3+x4≥1x5+x6+x7=2xj=0,1(j=1,2,⋯,n)\begin{array}{lcl} \rm maxZ = \sum_{j = 1}^{n} c_j x_j \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm \sum_{j = 1}^{n} a_{j} x_j \leq B \\\\ \rm x_2 \geq x_1 \\\\ \rm x_3 + x_4 \geq 1 \\\\ \rm x_5 + x_6 + x_7 = 2 \\\\ \rm x_j = 0 , 1 \ \ \ ( \ j = 1, 2, \cdots , n \ ) \end{cases}\end{array}maxZ=∑j=1ncjxjs.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧∑j=1najxj≤Bx2≥x1x3+x4≥1x5+x6+x7=2xj=0,1 ( j=1,2,⋯,n )

根据【运筹学】整数规划 ( 相关概念 | 整数规划 | 整数线性规划 | 整数线性规划分类 ) 博客中的整数线性规划概念 , 上述线性规划是整数线性规划 ;

上述整数线性规划的松弛问题是一个线性规划 , 可以使用单纯形法对其进行求解 , 求出最优解后 , 可能是小数 , 那么如何得到整数问题的最优解 , 不能进行简单的四舍五入 ;

三、整数规划解决的核心问题

给出整数规划问题 ,

先求该整数规划的松弛问题的解 ,

松弛问题就是不考虑整数约束 , 将整数线性规划当做普通的线性规划 , 使用单纯形法求出其最优解 ;

简单的将其松弛问题最优解上下取整 , 得到的四个值 , 可能不在可行域中 , 选择的整数解 , 必须在可行域中 ;

根据整数规划问题的的松弛问题的最优解 , 如何找其整数规划问题的整数最优解 , 是整数规划问题的核心问题 ;

四、整数规划问题解的特征

整数规划问题解的特征 :

① 整数规划问题与松弛问题可行解集合关系 : 整数规划问题可行解集合 , 是该整数规划问题的松弛问题可行解集合的子集 , 任意两个可行解的凸组合 , 不一定满足整数约束条件 , 不一定是可行解 ;

② 整数规划问题与松弛问题最优解关系 : 整数规划问题的可行解一定是其松弛问题的可行解 , 松弛问题的可行解不一定是整数规划问题的可行解 , 整数规划问题的最优解不会优于松弛问题的最优解 ;

松弛问题比整数规划问题条件少一些 , 整数规划问题比松弛问题变量限制多一条 " 约束变量必须都是整数 " ;

五、整数规划问题与松弛问题示例

假设有如下整数规划问题 :

maxZ=x1+x2s.t{14x1+9x2≤51−6x1+3x2≤1x1,x2≥0并且为整数\begin{array}{lcl} \rm maxZ = x_1 + x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm 14 x_1 + 9x_2 \leq 51 \\\\ \rm -6 x_1 + 3x_2 \leq 1 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \ 并且为整数 \end{cases}\end{array}maxZ=x1+x2s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧14x1+9x2≤51−6x1+3x2≤1x1,x2≥0 并且为整数

上述整数规划问题对应的松弛问题 : 松弛问题比整数规划问题条件少一些 , 整数规划问题比松弛问题变量限制多一条 " 约束变量必须都是整数 " ;

maxZ=x1+x2s.t{14x1+9x2≤51−6x1+3x2≤1x1,x2≥0\begin{array}{lcl} \rm maxZ = x_1 + x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm 14 x_1 + 9x_2 \leq 51 \\\\ \rm -6 x_1 + 3x_2 \leq 1 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array}maxZ=x1+x2s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧14x1+9x2≤51−6x1+3x2≤1x1,x2≥0

使用图解法 , 解上述松弛问题的最优解为 {x1=32x2=103\begin{cases} \rm x_1 = \cfrac{3}{2} \\\\ \rm x_2 = \cfrac{10}{3} \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x1=23x2=310

此时目标函数值 maxZ=x1+x2=296\rm maxZ = x_1 + x_2 = \cfrac{29}{6}maxZ=x1+x2=629

简单的将其松弛问题最优解上下取整 , 得到的四个点 , 如上图的四个红色点 , 都不在可行域中 , 选择的整数解 , 必须在可行域中 ;

根据整数规划问题的的松弛问题的最优解 , 如何找其整数规划问题的整数最优解 , 是整数规划问题的核心问题 ;

穷举法 ( 有局限性 ) : 直接看上图中可行域内的整数点 , 然后再逐一代入目标函数 , 得到一个整数规划问题的最优解 , 但是这种方法无法推广应用 , 如果点的个数比较多 , 如几万个 , 变量的维数多 , 如 101010 个约束变量 , 这种方法肯定不适用 ;

整数规划问题的求解方法有 : ① 分支定界法 , ② 割平面法 ;

推荐使用分支定界法 ;

六、分支定界法

1、整数规划概念

分支定界法相关概念 :

分支 : 将一个问题不断细分为若干子问题 , 之后逐个讨论子问题 ;

定界 : 分支很多的情况下 , 需要讨论的情况也随之增多 , 这里就需要定界 , 决定在什么时候不在进行分支 ; 满足 ① 得到最优解 , ② 根据现有条件可以排除最优解在该分支中 , 二者其一 , 就可以进行定界 ;

定界的作用是剪掉没有讨论意义的分支 , 只讨论有意义的分支 ;

2、分支定界法求解整数规划步骤

分支定界法求解整数规划步骤 :

( 1 ) 求整数规划的松弛问题最优解 :

如果该最优解就是整数 , 那么得到整数规划最优解 ;

如果该最优解不是整数 , 那么转到下一个步骤分支与定界 ;

( 2 ) 分支与定界 :

任选一个非整数解变量 xix_ixi , 在松弛问题中加上约束 :

xi≤[xi]x_i \leq [x_i]xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1x_i \geq [x_i] + 1xi≥[xi]+1

形成两个新的松弛问题 , 就是两个分支 ;

上述分支 , 分的越细致 , 限制条件越多 , 同时最优解的质量就越差 ;

新的分支松弛问题特征 :

原问题求最大值时 , 目标值是分支问题的上界 ;
原问题求最小值时 , 目标值是分支问题的下界 ;

分支 111 的最优解是 x∗x^*x∗ , 将最优解代入目标函数后得到最优值 f1f_1f1 ;

分支 222 的最优解是 y∗y^*y∗ , 将最优解代入目标函数后得到最优值 f2f_2f2 ;

如果目标函数求最大值 , 那么就讨论 f1,f2f_1, f_2f1,f2 谁更大 ;

检查分支松弛问题的解及目标函数值 :

① 得到最优整数解 : 如果该分支的解是整数 , 并且目标函数值大于等于其它分支的目标值 , 则剪去其它分支 , 停止计算 ;

② 没有得到最优整数解 : 如果该分支的解是小数 , 并且目标函数值大于整数解的目标值 , 需要继续进行分支 , 直到得到最优解 ;

3、分支定界理论分析

假设考虑分支 111 松弛问题 , 每次都要给问题找到一个界 , 开始先使用观察法找到一个界 , 找到一个整数解 fff , 将该解代入目标函数 , 然后在不断地计算中, 修改该界 ;

假设分支 111 松弛问题目标函数求最大值 ,

如果求解分支 111 松弛问题最优解恰好也是一个整数解 f0f_0f0 , 如果 f0>ff_0 > ff0>f , 此时需要重新定界 , 将 f0f_0f0 作为新的界来讨论 ;

根据新的界来看分支 222 松弛问题是否需要讨论 , 求出分支 222 的最优解对应的目标函数最优值 f∗f^*f∗ ;

如果分支 222 的最优值小于分支 111 的最优值 f∗≤f0f^* \leq f^0f∗≤f0 , 此时分支 222 不用再进行分支了 , 再进行分支 , 其最优值会越来越差 ;

定界法的作用是将不符合条件的分支剪去 ;

七、分支过程示例

如上篇博客【运筹学】整数规划 ( 整数规划问题解的特征 | 整数规划问题与松弛问题示例 ) 中 , 求解如下整数规划解 :

其对应的松弛问题是 : 去掉整数解限制 ;

分支都是基于松弛问题进行的 , 为松弛问题分支 , 组成两个新的松弛问题 ;

下图是求解结果 ( 图解法 ) :

最优解 x1=32x_1 = \cfrac{3}{2}x1=23 , 分别为 x1x_1x1 添加 xi≤[xi]x_i \leq [x_i]xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1x_i \geq [x_i] + 1xi≥[xi]+1 约束 , 形成两个新的线性规划 ;

分支 111 整数规划 : 添加 xi≤[xi]x_i \leq [x_i]xi≤[xi] 约束 , 即 x1≤1x_1 \leq 1x1≤1 ;

maxZ=x1+x2s.t{14x1+9x2≤51−6x1+3x2≤1x1≤1x1,x2≥0\begin{array}{lcl} \rm maxZ = x_1 + x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm 14 x_1 + 9x_2 \leq 51 \\\\ \rm -6 x_1 + 3x_2 \leq 1 \\\\ \rm x_1 \leq 1 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array}maxZ=x1+x2s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧14x1+9x2≤51−6x1+3x2≤1x1≤1x1,x2≥0

分支 222 整数规划 : 添加 xi≥[xi]+1x_i \geq [x_i] +1xi≥[xi]+1 约束 , 即 x1≥2x_1 \geq 2x1≥2 ;

maxZ=x1+x2s.t{14x1+9x2≤51−6x1+3x2≤1x1≥2x1,x2≥0\begin{array}{lcl} \rm maxZ = x_1 + x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm 14 x_1 + 9x_2 \leq 51 \\\\ \rm -6 x_1 + 3x_2 \leq 1 \\\\ \rm x_1 \geq 2 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array}maxZ=x1+x2s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧14x1+9x2≤51−6x1+3x2≤1x1≥2x1,x2≥0

这样就将一个线性规划 , 分解成了两个问题分支 , 分别找两个分支问题的所有整数解 ;

整数规划的整数解 , 肯定在上述两个分支之一中 , 中间将一部分可行域排除在外了 , 就是下图中两个红色箭头之间的可行域部分 , 被排除掉的部分肯定没有整数解 , 都是小数 ;

八、分支定界法求整数规划示例

1、分支定界法求整数规划示例

使用分支定界法求如下整数规划 :

minW=−x1−5x2s.t{x1−x2≥−25x1+6x2≤30x1≤4x1,x2≥0并且为整数\begin{array}{lcl} \rm min W = -x_1 -5 x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - x_2 \geq -2 \\\\ \rm 5x_1 + 6x_2 \leq 30 \\\\ \rm x_1 \leq 4 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \ 并且为整数 \end{cases}\end{array}minW=−x1−5x2s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1−x2≥−25x1+6x2≤30x1≤4x1,x2≥0 并且为整数

2、求整数规划的松弛问题及最优解

求上述整数规划 ( IP\rm IPIP ) 的松弛问题 ( LP\rm LPLP ) : 去掉整数限制即可得到一个一般的线性规划 ;

minW=−x1−5x2s.t{x1−x2≥−25x1+6x2≤30x1≤4x1,x2≥0\begin{array}{lcl} \rm min W = -x_1 -5 x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - x_2 \geq -2 \\\\ \rm 5x_1 + 6x_2 \leq 30 \\\\ \rm x_1 \leq 4 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=−x1−5x2s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1−x2≥−25x1+6x2≤30x1≤4x1,x2≥0

可以使用单纯形法求上述线性规划的最优解 , 本次使用图示法 , 求的最优化 ;

使用图示法解得上述松弛问题最优解 {x1=1811≈1.64x2=4011≈3.64\begin{cases} \rm x_1 = \cfrac{18}{11} \approx 1.64 \\\\ \rm x_2 = \cfrac{40}{11} \approx 3.64 \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x1=1118≈1.64x2=1140≈3.64 , 将上述最优解代入约束方程 ,

得到整数规划最小值 minW=−x1−5x2=−21811≈−19.8\rm min W = -x_1 -5 x_2 = - \cfrac{218}{11} \approx -19.8minW=−x1−5x2=−11218≈−19.8

如果上述松弛问题最优解是整数 , 则该整数线性规划的最优解就是松弛问题的最优解 ;

上述松弛问题 LP\rm LPLP 最优解不是整数 , 这里需要进行分支操作 , 分成两个分支松弛问题 LP1\rm LP1LP1 和 LP2\rm LP2LP2 ;

3、第一次分支操作

分支操作 : 任选一个非整数解变量 xix_ixi , 在松弛问题中加上约束 , xi≤[xi]x_i \leq [x_i]xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1x_i \geq [x_i] + 1xi≥[xi]+1 , 形成两个新的松弛问题 , 就是两个分支 ;

选择非整数取值的变量 x1=1811≈1.64x_1 = \cfrac{18}{11} \approx 1.64x1=1118≈1.64 , 作为分支变量 ,

xi≤[xi]x_i \leq [x_i]xi≤[xi] 对应的分支新增约束条件是 x1≤1x_1 \leq 1x1≤1 ;

xi≥[xi]+1x_i \geq [x_i] + 1xi≥[xi]+1 对应的分支新增约束条件是 x1≥2x_1 \geq 2x1≥2 ;

在 LP1\rm LP1LP1 分支松弛问题中加入 x1≤1x_1 \leq 1x1≤1 条件后为 :

minW=−x1−5x2s.t{x1−x2≥−25x1+6x2≤30x1≤4x1≤1x1,x2≥0\begin{array}{lcl} \rm min W = -x_1 -5 x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - x_2 \geq -2 \\\\ \rm 5x_1 + 6x_2 \leq 30 \\\\ \rm x_1 \leq 4 \\\\ \rm x_1 \leq 1 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=−x1−5x2s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1−x2≥−25x1+6x2≤30x1≤4x1≤1x1,x2≥0

求上述 LP1\rm LP1LP1 分支的最优解 {x1=1x2=3\begin{cases} \rm x_1 = 1 \\\\ \rm x_2 = 3 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧x1=1x2=3 , 将上述最优解代入约束方程 ,

得到整数规划最小值 minW=−x1−5x2=−16\rm min W = -x_1 -5 x_2 = - 16minW=−x1−5x2=−16

LP1\rm LP1LP1 分支的界就是 −16-16−16 ;

在 LP2\rm LP2LP2 分支松弛问题中加入 x1≥2x_1 \geq 2x1≥2 条件后为 :

minW=−x1−5x2s.t{x1−x2≥−25x1+6x2≤30x1≤4x1≥2x1,x2≥0\begin{array}{lcl} \rm min W = -x_1 -5 x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - x_2 \geq -2 \\\\ \rm 5x_1 + 6x_2 \leq 30 \\\\ \rm x_1 \leq 4 \\\\ \rm x_1 \geq 2 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=−x1−5x2s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1−x2≥−25x1+6x2≤30x1≤4x1≥2x1,x2≥0

求上述 LP2\rm LP2LP2 分支的最优解 {x1=2x2=103\begin{cases} \rm x_1 = 2 \\\\ \rm x_2 = \cfrac{10}{3} \end{cases}⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x1=2x2=310 , 将上述最优解代入约束方程 ,

得到整数规划最小值 minW=−x1−5x2=−563≈−18.7\rm min W = -x_1 -5 x_2 = - \cfrac{56}{3} \approx -18.7minW=−x1−5x2=−356≈−18.7

LP2\rm LP2LP2 分支的目标值是 −18.7-18.7−18.7 ;

LP1\rm LP1LP1 分支的最优解时整数 , 界是 −16-16−16 ,

LP2\rm LP2LP2 分支目标值还不是整数 , 因此需要继续分支 ;

判定某个分支松弛问题是否继续向下分支的依据 :

① 根据整最优解是否是整数判定 : 首先看分支松弛问题最优解是否是整数 , 如果是那就停下来 , 如果不是继续向下分支 ;

② 根据界的优劣判定 ( 定界思想 ) : 是否继续向下分支 , 还需要看界的值 , 通过该界的值 , 讨论是否继续向下分支 ;

分支条件 : 如果本分支的界比另外一个分支的界要好 , 则继续分支下去 ;
不分支条件 : 如果本分支的界比另外一个分支的界差 , 那么本分支就不再向下分支了 ;

4、第二次分支操作

LP2\rm LP2LP2 继续向下分支 , x1x_1x1 变量已经是整数变量了 ,

这里选择非整数取值的变量 x2=103≈3.33x_2 = \cfrac{10}{3} \approx 3.33x2=310≈3.33 , 作为分支变量 ,

xi≤[xi]x_i \leq [x_i]xi≤[xi] 对应的分支新增约束条件是 x2≤3x_2 \leq 3x2≤3 ;

xi≥[xi]+1x_i \geq [x_i] + 1xi≥[xi]+1 对应的分支新增约束条件是 x2≥4x_2 \geq 4x2≥4 ;

这里得到了 LP2\rm LP2LP2 分支下的两个分支松弛问题 LP21\rm LP21LP21 和 LP22\rm LP22LP22 ;

在 LP21\rm LP21LP21 分支松弛问题中加入 x2≤3x_2 \leq 3x2≤3 条件后为 :

minW=−x1−5x2s.t{x1−x2≥−25x1+6x2≤30x1≤4x1≥2x2≤3x1,x2≥0\begin{array}{lcl} \rm min W = -x_1 -5 x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - x_2 \geq -2 \\\\ \rm 5x_1 + 6x_2 \leq 30 \\\\ \rm x_1 \leq 4 \\\\ \rm x_1 \geq 2 \\\\ \rm x_2 \leq 3 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=−x1−5x2s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1−x2≥−25x1+6x2≤30x1≤4x1≥2x2≤3x1,x2≥0

求上述 LP21\rm LP21LP21 分支的最优解 {x1=125=2.4x2=3\begin{cases} \rm x_1 = \cfrac{12}{5} = 2.4 \\\\ \rm x_2 = 3 \end{cases}⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x1=512=2.4x2=3 , 将上述最优解代入约束方程 ,

得到整数规划最小值 minW=−x1−5x2=−17.4\rm min W = -x_1 -5 x_2 = - 17.4minW=−x1−5x2=−17.4

LP21\rm LP21LP21 分支的最优解不是整数 , 而且比 LP1\rm LP1LP1 分支的界 −16-16−16 要好 , 可需要继续分支 ;

在 LP22\rm LP22LP22 分支松弛问题中加入 x2≥4x_2 \geq 4x2≥4 条件后为 :

minW=−x1−5x2s.t{x1−x2≥−25x1+6x2≤30x1≤4x1≥2x2≥4x1,x2≥0\begin{array}{lcl} \rm min W = -x_1 -5 x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - x_2 \geq -2 \\\\ \rm 5x_1 + 6x_2 \leq 30 \\\\ \rm x_1 \leq 4 \\\\ \rm x_1 \geq 2 \\\\ \rm x_2 \geq 4 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=−x1−5x2s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1−x2≥−25x1+6x2≤30x1≤4x1≥2x2≥4x1,x2≥0

上述 LP22\rm LP22LP22 分支没有可行解 , 直接停止 ;

5、第三次分支操作

LP21\rm LP21LP21 继续向下分支 ,

这里选择非整数取值的变量 x1=125=2.4x_1 = \cfrac{12}{5} = 2.4x1=512=2.4 , 作为分支变量 ,

xi≤[xi]x_i \leq [x_i]xi≤[xi] 对应的分支新增约束条件是 x1≤2x_1 \leq 2x1≤2 ;

xi≥[xi]+1x_i \geq [x_i] + 1xi≥[xi]+1 对应的分支新增约束条件是 x1≥3x_1 \geq 3x1≥3 ;

这里得到了 LP21\rm LP21LP21 分支下的两个分支松弛问题 LP211\rm LP211LP211 和 LP212\rm LP212LP212 ;

在 LP211\rm LP211LP211 分支松弛问题中加入 x1≤2x_1 \leq 2x1≤2 条件后为 :

minW=−x1−5x2s.t{x1−x2≥−25x1+6x2≤30x1≤4x1≥2x1≤2x2≤3x1,x2≥0\begin{array}{lcl} \rm min W = -x_1 -5 x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - x_2 \geq -2 \\\\ \rm 5x_1 + 6x_2 \leq 30 \\\\ \rm x_1 \leq 4 \\\\ \rm x_1 \geq 2 \\\\ \rm x_1 \leq 2 \\\\ \rm x_2 \leq 3 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=−x1−5x2s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1−x2≥−25x1+6x2≤30x1≤4x1≥2x1≤2x2≤3x1,x2≥0

求上述 LP211\rm LP211LP211 分支的最优解 {x1=2x2=3\begin{cases} \rm x_1 = 2 \\\\ \rm x_2 = 3 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧x1=2x2=3 , 将上述最优解代入约束方程 ,

得到整数规划最小值 minW=−x1−5x2=−17\rm min W = -x_1 -5 x_2 = - 17minW=−x1−5x2=−17

LP21\rm LP21LP21 分支的最优解是整数 , 而且比 LP1\rm LP1LP1 分支的界 −16-16−16 要好 , 是当前最好的界 ;

因此这里将界更新为 −17-17−17 ;

在 LP212\rm LP212LP212 分支松弛问题中加入 x1≥3x_1 \geq 3x1≥3 条件后为 :

minW=−x1−5x2s.t{x1−x2≥−25x1+6x2≤30x1≤4x1≥2x1≥3x2≤3x1,x2≥0\begin{array}{lcl} \rm min W = -x_1 -5 x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - x_2 \geq -2 \\\\ \rm 5x_1 + 6x_2 \leq 30 \\\\ \rm x_1 \leq 4 \\\\ \rm x_1 \geq 2 \\\\ \rm x_1 \geq 3 \\\\ \rm x_2 \leq 3 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=−x1−5x2s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1−x2≥−25x1+6x2≤30x1≤4x1≥2x1≥3x2≤3x1,x2≥0

求上述 LP212\rm LP212LP212 分支的最优解 {x1=3x2=2.5\begin{cases} \rm x_1 =3 \\\\ \rm x_2 = 2.5 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧x1=3x2=2.5 , 将上述最优解代入约束方程 ,

得到整数规划最小值 minW=−x1−5x2=−15.5\rm min W = -x_1 -5 x_2 = - 15.5minW=−x1−5x2=−15.5

定界 : LP212\rm LP212LP212 分支的最优解不是整数 , 其目标值 −15.5- 15.5−15.5 要比当前的界 −17-17−17 要差 , 因此该分支直接裁减掉 ;

6、整数规划最优解

该整数规划 IP\rm IPIP 的最优解 {x1=2x2=3\begin{cases} \rm x_1 = 2 \\\\ \rm x_2 = 3 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧x1=2x2=3 , 将上述最优解代入约束方程 ,

得到整数规划最小值 minW=−x1−5x2=−17\rm min W = -x_1 -5 x_2 = - 17minW=−x1−5x2=−17

分支记录如下 :

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文章目录

一、整数规划

1、整数规划概念

2、整数规划分类

二、整数规划示例

三、整数规划解决的核心问题

四、整数规划问题解的特征

五、整数规划问题与松弛问题示例

六、分支定界法

1、整数规划概念

2、分支定界法求解整数规划步骤

3、分支定界理论分析

七、分支过程示例

八、分支定界法求整数规划示例

1、分支定界法求整数规划示例

2、求整数规划的松弛问题及最优解

3、第一次分支操作

4、第二次分支操作

5、第三次分支操作

6、整数规划最优解

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一、整数规划

1、整数规划概念

2、整数规划分类

二、整数规划示例

三、整数规划解决的核心问题

四、整数规划问题解的特征

五、整数规划问题 与 松弛问题 示例

六、分支定界法

1、整数规划概念

2、分支定界法求解整数规划步骤

3、分支定界理论分析

七、分支过程示例

八、分支定界法求整数规划示例

1、分支定界法求整数规划示例

2、求整数规划的松弛问题及最优解

3、第一次分支操作

4、第二次分支操作

5、第三次分支操作

6、整数规划最优解

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